Файл: Митропольский Ю.А. Интегральные многообразия в нелинейной механике.pdf

Скачать файл (21,78Мб)

Заказать решение

ВУЗ: Не указан

Категория: Не указан

Дисциплина: Не указана

Добавлен: 10.04.2024

Просмотров: 252

Скачиваний: 1

ВНИМАНИЕ! Если данный файл нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам.

2 1 0	ГЛ. IV.	П Р И М Е Н Е Н И Е			К И СС ЛЕД ОВАН ИЮ Р Е Ш Е Н И Й
к решению(5.37)			близких		решений:
			—JÜLt
ЦА<— f(0e+ ö>O!Cne				2 -»-о,
Iф; -- Ѳ0 -- СО1 — Ф(с“°) (Ѳ0					(dt, f (Ѳ0 -f* ®0) 0) \|\|=
=	II ф(-) (Ѳ0 +	(dt, ht, 0) -			ф(-) (Ѳ0 + (dt, f (Ѳ0 +	(dt), 0)I-V о
при t - + o o И		Ѳ0 — ф 0 ф		"ф ( ф 0 , h0).
						(5.40)
	В результате справедлива следующая теорема.
	Т е о р е м а		5.2.	Пусть в уравнениях		(5.4) функции

Q (ф, h, А, e), P (ф, h, А, e) удовлетворяют условиям, при веденным на стр. 204.

Тогда эти уравнения при соответствующем выборе А имеют квазипериодическое решение с частотами со вида

А, = /(«„ +	<•0.	1 ,5 4 „
— Ѳо +	+ ф(°°) (Ѳ0 -f- соt, f (Ѳ0 -{- соt), 0).	j

Если ht, фt — любые решения уравнений (5.4), началь ные значения которых h0, ф0 удовлетворяют условиям

« U < - b

(5-42)

то ht, cpt асимптотически приближаются к этому квазипериодическому решению.

2. Квазипериодические режимы в системах, близких к гамильтоновым. Изложим применение метода интеграль ных многообразий для доказательства существования квазипериодического решения канонической системы, находя щейся под воздействием малых возмущений [107], [150].

Пусть даны уравнения вида

d p	d H	dq	d H	^
d t ~ ~	dq ’	d t ~	d p ’

где Н — Н (рІУ... , рп, ql t ... , qn, е) — функция Гамильтона, непрерывно-дифференцируемая и ограниченная вместе со своими частными производными по р, q любого порядка, 2л-периодическая по q.

В дальнейшем функцию f (р, q), обладающую указан ными свойствами, будем считать принадлежащей клас

су

§ 5. И СС Л ЕД О В А Н И Е К В А З И П Е Р И О Д И Ч Е С К И Х Р Е Ш Е Н И Й

211

Предположим, что система уравнений (5.43) мало от личается от точно интегрируемой, т. е. функцию Н (р, q, е) можно представить в виде

Н(р, q, е) = Н0(р, q )+ eH 1(p, q) + е2 . .. ,
где Н0 (р, q) — функция		Гамильтона		системы
dp __	дН0 (р, q)	’	dg	дН0 (р, q)	(5.44)
dt	dq		dt	dp

приводящая к интегрируемому уравнению Гамильтона — Якоби

дѴ	) Япі	âV	дѴ	\	0.
dt + #oUi>		d<h ’	dqn	i
Как известно, с помощью производящей функции V
можно перейти от переменных		р (рг, ... , рп),		q (qlt ... , qn)
к п ерем ен н ы м /^,...,	/„),	w (wl t ... ,	wn) — действие-
угол — таким образом,	что в новых переменных функция

Гамильтона //0 будет зависеть только от переменных дей ствия

		^о =		^о(/і.		• • •	, 1а)
и уравнения (5.44) примут вид
dl __	dH0	__р,	dw		Mp	= m		Ю-
dt	dw.	’	dt		dl	= m		Ю-
								(5.45)
В дальнейшем полагаем, что выполняется следующее
условие:		dl			VHQ
		dl			VHQ			(5.4Ѳ)
		dl	/= /•		дР	/=/» ¥=0.		(5.4Ѳ)
В новых переменных /,					w функция Н — Н (w,I) будет
принадлежать классу 9				)	кроме		того, ее можно предста
вить в	виде
	Н (w, /) = Н0(/) + еЯі (w, /) + е2 ... ,							(5.47)
а уравнения		(5.43) примут вид
		dl	— 8 d lh		(w, I)
		dt			dw			(5.48)
								(5.48)

7) + e a

212 ГЛ. IV. П Р И М Е Н Е Н И Е К ИСС ЛЕ ДО ВА Н ИЮ Р Е Ш Е Н И Й

Раскладывая Нх (ш, I) в ряд в окрестности точки / = /°,

можем	представить		уравнения				(5.48)	в виде
	I дНі		,	dZH^W'I«) .. _				/0.
	[	d w	'		d w	d l	'	'
							еЯ(і2) iw, l,		e),	(5.49)
dw	x / n ,	„ d//t to, 1°)				а2Я! (w, 1°)				(5.49)
dw	x / n ,	„ d//t to, 1°)				а2Я! (w, 1°)		( / - / ° )	+
~di	^ (') + 6 ---- 57-----						dl3	( / - / ° )	+
	+	e#i(3) (да, /,			e) = X(/) + еЯ2 (w, /,				e),
где, в	частности,
	гНТ iw, /,			е) =		О (е I / — /° \|2, е2).				(5.50)

Предположим теперь, что на рассматриваемую систему воздействуют внешние силы, определяемые функциями

eP(w, /), e.Q(w, /),

которые полагаем принадлежащими классу 21®,/. Ограничимся рассмотрением нерезонансного случая. Очевидно, функцию гР (w, I) можно представить в виде

где	еР (w, Г) =		еР (/) -j- EPX{W, I),				(5.51)
где		2я	2я
		2я	2я
гР (7) = -^ГѵГ \			\	Р iw’ ;)	• • • •	dwn>
	(■ *п )	Q	О
при этом полагаем, что
	Рх (w, I) = О (I / — /° j2).						(5.52)
В результате получим следующие уравнения:
dl	dH, (w, /«)		+ d*Hxjw, Р)		(/ __ /0)	+
dt	dw		1	d l dw		+
	Л(2) ,				еРх (ш, /),		[ (5.53)
	+ гН\	(w, /, е) + еР (/) +			еРх (ш, /),		[ (5.53)
— =	Я ( / ) - f - е / /	а ( о у ,	/ , e ) +	eQ(a>, / ) .			j
Предположим, что функция Нх (w, I) представима в виде
полинома	относительно sin w,			cos w. Тогда для		—	-1

§ 5. И С С Л Е Д ОВ А Н ИЕ К В А З И П Е Р И О Д И Ч Е С К И Х Р Е Ш Е Н И Й										213
02Я , (И), /°)		можем написать разложение:
и —	—-	можем написать разложение:
d l d w
	дНу (w, /°)			H3(w, /»)=* 2			Нъь{Пе'ш ,
		d w		H3(w, /»)=* 2			Нъь{Пе'ш ,
		d w
			= Н>(“’• '*>= S				Я ..('")е '" .
Введем теперь в уравнениях						(5.53) вместо / (/х, .				In)
новые	переменные 7 (7Х, , /„)					согласно			формулам
				,lkw	-s	Нік(Пе		ik w
I — I ■ ■е £		Нък{Р)е‘				Нік(Пе			(7 — /°). (5.54)
I — I ■ ■е £		ikX(I)			кфо	ik'K(/)			(7 — /°). (5.54)
					кфо

После ряда выкладок получим следующую систему урав нений в переменных /~, до:

dl		е#1' (до, /, е) е2		—	1
dt —• гР (/) 4- &Р\ (wl) +		е#1' (до, /, е) е2		—
		=	е Р(7) 4- еГі (до, 7, Я, е),			(5.55)
dw	' Л.(/) 4- еГа(до, /, Я, е),
dt	' Л.(/) 4- еГа(до, /, Я, е),
dt
где Г, (до, I, Я, е) (і = 1,		2)	принадлежат	классу	2	и,
кроме того,