Файл: Митропольский Ю.А. Интегральные многообразия в нелинейной механике.pdf
ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 10.04.2024
Просмотров: 255
Скачиваний: 1
214 |
ГЛ. IV. П Р И М Е Н Е Н И Е |
К |
И СС ЛЕД ОВАН ИЮ Р Е Ш Е Н И Й |
|
(все п корней характеристического уравнения |
|
|||
|
det IInz — еЛ | = |
0 |
(еЛ = ePj (7°)) |
(5.58) |
имеют отрицательные вещественные части). Для этого ста ционарного решения угловым переменным будут соответ ствовать частоты
(оПр = Я (7°) + еГ2 (7°, Я, е), |
(5.59) |
и, следовательно, система уравнений первого приближения (5.56) будет обладать устойчивым квазипериодическим ре шением вида
T W |
0, |
I |
(5.60) |
w = |
[X(7°) + |
_ - |
|
еГ2 (7°, Я, е)) t -j- wQ, j |
|
При этом, в силу сделанного предположения о корнях урав нения (5.58), любые решения уравнений (5.56), начальные значения которых близки к решению (5.60), с течением времени будут стремиться к нему.
Введем теперь в уравнениях (5.55) вместо 7 новые пере менные h посредством замены
|
|
7 = 7° + |
e'/*h. |
(5.61) |
В результате |
получим |
уравнения |
|
|
^ + |
ev, - f = |
гР (7°) + |
г'/гР-j (7°) h + |
• |
+ еГх (w, e'/>h, Я, с),
4 |
г |
= |
* . ( 7 ° ) + |
е ‘ / * Я 7 ( 7 ° ) А + |
• ■ • + |
+ еГ2 (w, г'ігіі, Я, е)
или
-д - = t-Ah -f eS1(na, h, X, e1/.),
(5.62)
~ = X (7°) + еЯ7 (P)h + eS2 (w, h, X, eV.),
где еЛ — постоянная матрица, все характеристические числа которой имеют отрицательные вещественные части, функции Si (w, Л, Я, е‘/г) (і = 1,2) определены в области
w £ Q, Л е и 6, 8 £ Еео
§ 5. И С С Л ЕД О ВА Н ИЕ К В А З И П Е Р И О Д И Ч Е С К И Х Р Е Ш Е Н И Й 215
(U& — некоторая достаточно малая окрестность /°, Q — отрезок [0,2я], Е8„ = (0, е01), принадлежат в этой области
классу |
8С,м> |
удовлетворяют неравенствам |
|
|||
|
I St (до, 0, X, е‘/.) I < |
М, (е1/.) -► 0 |
при е1/* -> 0, |
(5.63) |
||
условию Липшица |
|
|
|
|
||
IS, (до', h', X, eV.) - St (до", h", X, |
e‘/.) | < |
|
||||
|
|
< у (.(8Ѵ2,6)(|ш' —w"\ + \h' — h" I), |
(5.64) |
|||
гдеуі |
6) |
О при е1/г |
0, 6 -> 0 |
( і = 1, 2), и, |
кроме |
|
того, S± (до, h, |
X, в1/«) удовлетворяет |
условию |
|
|||
|
|
S-^to, h, X, 8*/>) = |
0 (|/i|a, 8l/*). |
(5.65) |
||
Уравнения (5.62) с указанными |
свойствами правых частей |
|||||
принадлежат к типу рассмотренных нами ранее уравнений, для которых доказано существование и установлены свой ства интегральных многообразий. Поэтому, доказав для уравнений (5.62) существование «-мерного тороидального многообразия и установив его свойства, придем к рассмот рению п уравнений на многообразии и, исследовав структу ру решений этих уравнений, докажем существование квазипериодического решения уравнений (5.62). Возвратившись затем, согласно формулам замены переменных, от перемен ных h, w к переменным /, до, установим существование ква-
зипериодического |
решения исходных |
уравнений |
(5.53). |
|
Л е м м а 5.1. |
Пусть |
правые части |
уравнений |
(5.62) |
обладают указанными выше свойствами. |
|
|
||
Тогда всегда можно указать такое достаточно малое |
||||
положительное постоянное |
(ех •< е0), |
что для всех 0 < |
||
< е < 8 , уравнения (5.62) |
имеют п-мерное тороидальное |
|||
интегральное многообразие ЗП,, представимое соотношением вида
h = ф (до, е1/.) |
(h = hy.........hn), |
(5.66) |
||
где ф (до, е1/*) определена в области й X Е8і, |
принадлежит |
|||
в этой области классу |
8f™Еѵ, (w — |
|
ДОЛ)> и> кроме |
|
того, удовлетворяет неравенствам |
|
|
||
I ф (до, eVi) I < D (е1/*) < |
6, |
(5.67) |
||
|ф(до', е1/«) — <р(до", e '/.)|< ß (eV.)|B>'—до"|, (5.68) |
||||
где D (е1/*) ->- О, ß (е1^) |
О |
при е1/« |
0. |
|
216 |
ГЛ. IV. |
П Р И М Е Н Е Н И Е |
К |
ИСС ЛЕ ДО ВА Н ИЮ Р Е Ш Е Н И Я |
|
||
С л е д с т в и е |
5.1. |
Из |
леммы вытекает, что |
пере |
|||
менные w для решений h, |
|
лежащих на многообразии ЯП,, |
|||||
удовлетворяют уравнениям |
|
|
|
||||
-|р - = |
Я (7°) + |
е'/Ж7 (7°) cp (w, г V.) + eS2 (w, cp (w, e1/.), Я, e‘/>) = |
|||||
|
|
|
|
|
|
= X(7°) + e53 (w, Я, e1/»), |
(5.69) |
где 5 3 (до, Я, |
e’^) |
£ 21“ |
i/e, |
Я (/°) — частота системы в ну |
|||
левом |
приближении. |
|
правые части уравнений |
(5.62) |
|||
Л е м м а |
5.2. |
Пусть |
|||||
обладают указанными свойствами.
Тогда всегда можно указать такие положительные постоянные е2, 6Х(е2 •< ех), что для каждого 0 < е <; к2 будет существовать п-мерная область начальных значений
h: |
Uа,, |
такая, что если для t — t0: h £ £/6і, то для всех |
і > |
70 |
имеет место неравенство |
|
Iht — ф(до„ e-V.) I < С (6Х, е)е~^й-и) \h0 — q>(до0, е'б) |( |
|
|
|
(5.70) |
где С — положительная постоянная, зависящая от парамет ров бх и е.
С л е д с т в и е 5.2. Из леммы 5.2 вытекает, что в окрестности U&, многообразие ЯП, является единственным.
Исследуем теперь структуру решений уравнений (5.69). Приведем уравнения (5.69) к несколько иному виду. Для этого введем расстройку ѵ между точной частотой систе
мы иг и Я (7°): |
|
|
Я (7°) = (Op -f- V |
(5.71) |
|
и предположим, что при любом целочисленном |
векторе |
|
т частоты сор удовлетворяют условию |
|
|
\{т, сог)1>- |
|т |
|
(т, со) = т хсох + • • ■+ тпап,\т \ = | т х| + • • • Ң- |т„|. |
||
Представим функцию S3 (w, |
Я, е'/*) в виде |
(5.72) |
|
||
S 3(до, cor + V, 8s/*) = Я |
S 3m (v, s’6) eimw. |
(5J3) |
Введем теперь в уравнении (5.69) вместо до (дох, ..., до,,) |
||
новую переменную Ѳ(Ѳх,..., Ѳ„) согласно формуле |
|
|
до ~ Ѳ+ еѵ (Ѳ, ѵ), |
(5.74) |
|
§ 5. ИСС ЛЕ ДО ВА Н ИЕ |
К В А З И П Е Р И О Д И Ч Е С К И Х |
Р Е Ш Е Н И Й |
217 |
|||
где |
|
|
|
|
|
|
ѵ(Ѳ, ѵ) = |
2 |
• |
s 3m(v, в,/.)е"пв |
(5.75) |
||
|
||||||
|
|
тфО |
і ( т , <лТ ) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
При этом, как |
легко |
видеть, справедливо равенство |
|
|||
дѵ |
= 53 (Ѳ, |
Юг + |
V, е1/*) —53 0 (сог + |
ѵ , е1/*). ( 5 |
.76) |
|
(От-щ- |
||||||
Подставляя выражение (5.74) в уравнение (5.69), получаем
~dt— 8 — Ш----- ®г + v -f- eS.}(Ѳ -f- eü, «г + v, e•'«)
или, |
принимая во внимание (5.76), |
(l + |
8 -|^-) (-^ ---- юг) = V -f е5зо(юг + v, вV.) + |
|
+ е254(Ѳ, V, 8‘/.). (5.77) |
Разрешая систему (5.77) относительно ~ — юг, нахо дим
= cor + V+ eS30 (юг + V, е1/2) + eG (Ѳ, ѵ, е)
или, |
обозначая |
|
|
|
|
|
V + 8S30 (юг + |
ѵ, в1/2) = А, |
|
||
окончательно получаем |
|
|
|
||
|
|
= cor + А + |
8 G (Ѳ, А, е), |
(5.78) |
|
при |
этом G (Ѳ, А, |
е) £ 2Тѳд,в Ф = |
Ѳ1( ... , |
Ѳ„). |
|
Воспользуемся |
далее теоремой |
из [22] |
о приводимости |
||
кчистому вращению системы дифференциальных уравнений
сгладкими правыми частями, заданной на я-мерном торе.
Т е о р е м а |
5.3. Пусть / ( ф) = |
(/і (ф),... , L (ф)) — |
2п-периодическая |
функция ср, ю = |
(ю,....... ю„) — вектор |
с несоизмеримыми компонентами, такой, что при любом
целочисленном |
|
k =\{k1,..., |
km) выполняется условие |
|||
|
I (ю, k) I > |
К I k |- m (\k \ ФО). |
(5.79) |
|||
Тогда для |
заданных |
положительных |
постоянных е, С0 |
|||
и целого s0 >- |
1 |
существует такое 60 = |
80 (С0, е, s) и целое |
|||
I = I (s0), что, |
если / (ф) |
имеет непрерывные |
производные |
|||
218 |
г л . IV. |
П Р И М Е Н Е Н И Е к |
ИСС Л ЕД О ВА Н ИЮ |
Р Е Ш Е Н И Й |
до порядка |
I включительно и удовлетворяет неравенствам |
|||
|
|
І/(ф )Іо< бо> |
|/(ф )Ь < С 0, |
(5.80) |
то существуют постоянный вектор А = (Al t .. . , Д„), удовлетворяющий неравенству
1^ Іо <7 е> |
(5.81) |
2я-периодическая по Ѳ = (Ѳх, ... , Ѳ„) |
и s0 раз непрерывно |
дифференцируемая функция Ф (Ѳ) = |
(Фі , ... , Фт), удовлет- |
воряющая неравенству |
|
|Ф (Ѳ )и < е,
такие, что система уравнений на торе
— со + А + / (ф)
заменой переменных
ф = Ѳ+ ф (Ѳ) (0 = 0 ! , ... , Ѳ„)
приводится к виду *)
гіѲ dt
При этом
(5.82)
(5.83)
(5.84)
(5.85)
|/(Ф )|/ = max 1£>$/(cp) 1, |
Dll |
(^Р< = р) • |
Уравнения (5.78) являются |
уравнениями |
типа (5.83) |
и для них выполняются условия теоремы 5.3. Следовательно, найдется непрерывно-дифференцируемая достаточное число
раз функция Ф (а) (Ф = Фи ..., Фт), |
2я-периодическая по |
|||
а (а,,..., |
ап) |
такая, |
что преобразование |
|
|
|
|
Ѳ= а + ф (а) |
(5.86) |
приводит уравнения |
(5.78) к чистому |
вращению |
||
Из (5.87) |
находим |
-Ж- = “ Г ■ |
<5-87> |
|
|
|
|||
а = (£>rt + |
а 0 |
(со?- = |
с»г„ .. . , соТп- а = |
а оь ... , а 0„), (5.88) |
*) Для зависимости I и s0, связывающей порядок дифференцируе мости функций / (ф) и Ф (Ѳ), выведена оценка / (s0) < /0 = 1 + 8 (s0 + + 2)а • ( т + 1).
