Файл: Митропольский Ю.А. Интегральные многообразия в нелинейной механике.pdf
ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 10.04.2024
Просмотров: 256
Скачиваний: 1
§ 5. И С С ЛЕ ДО ВА Н ИЕ К В А З И П Е Р И О Д И Ч Е С К И Х Р Е Ш Е Н И Й 219
откуда следует, что уравнения (5.78) имеют квазипериоди-
ческое решение вида |
|
Ѳ= сo Tt + а 0 + ф (сйТі + а 0), |
(5.89) |
где Ф (соTt -f- а 0) — достаточное число раз |
непрерывно |
дифференцируемая функция, периодическая по а с перио дом 2я.
Принимая во внимание формулы преобразования (5.74), получаем следующее квазипериодическое решение системы
уравнений (5.62): |
|
|
w = ют t + |
а 0 + Ф (<М + |
«о) 4- 8У (®4 + а 0 + Ф (соft + |
|
+ а 0). ѵ) = |
®Tt+ а 0 + Ч'і (®4 + а0. ѵ>е). |
h = ср (w , |
&!•) — ср (со'rt -f- а 0 -f- |
|
+ |
Ч'і {<öTt+ а 0, V, е), е1/») = 'F2 (соTt + а 0, ѵ, е), |
|
|
|
(5.90) |
где функции VF1, *F2 принадлежат классу Ша,ѵ,я-
И, наконец, согласно формулам (5.54), (5.61), получаем
выражение для |
квазипериодического |
решения |
уравнений |
(5.53): |
|
|
|
w = |
a>Tt + а 0 + 'IMcor^ + |
а0, ѵ, в), |
| |
/ = |
70 + Z(ca^ + ao, ѵ,е), |
(5'9І) |
|
где функции ^Pj, Z принадлежат классу 2(а,ѵ.8-
Резюмируя сказанное, приходим к следующему утвер ждению.
Т е о р е м а 5.4. Пусть относительно системы урав нений (5.53) выполняются следующие условия.
1°. Функции, стоящие в правой части уравнений (5.53),
определены в области fi |
X U/s |
X Еео |
и принадлежат в этой |
||
области классу 2С,/,8- |
удовлетворяют условию |
|
|||
2°. Частоты Â (/) |
|
||||
Я/ (/) (ь=/о Ф 0, где |
Х(1) = |
дН0(/) |
r=r° |
(5.92) |
|
|
|
|
д і |
|
|
3°. Функция Hl (w, I) является полиномом относительно sin w, cos w.
220 г л . IV. П Р И М Е Н Е Н И Е к ИСС Л ЕД О ВА Н ИЮ Р Е Ш Е Н И Й |
|
||
4°. Все корни характеристического уравнения |
|
|
|
\Іпг — еР’г(7°)\ = 0 |
|
(5 .9 |
3 ) |
имеют отрицательные вещественные части. |
|
малые |
|
Тогда всегда можно указать такие достаточно |
|||
положительные постоянные е \ аи что для всех 0 |
< |
е < |
г' |
система уравнений (5.53) обладает квазипериодическим ре шением вида
ю= (йг/ + а |) + Ч?! (юг/ + а0, ѵ, е), / = 7 0 + Z (соTt + а 0, ѵ, е), (5.94)
причем это решение находится в а^окрестности устойчи вого квазипериодического решения (5.60).
Г л а в а V
ИССЛЕДОВАНИЕ ОКРЕСТНОСТИ ПОЛОЖЕНИЯ РАВНОВЕСИЯ
В настоящей главе рассмотрены локальные интегральные много образия нелинейных дифференциальных уравнений, близких к точно интегрирующимся, в окрестности положения равновесия соответствую щих невозмущенных уравнений. Рассмотрены также интегральные мно гообразия (не локальные) уравнений, близких к линейным. В конце главы дано приложение полученных результатов к исследованию устой чивости при постоянно-действующих возмущениях.
§1. Уравнения специального вида
1.Основные предположения. Рассмотрим нелинейное дифференциальное уравнение вида
= X (х) + еУ (/, х), |
(1.1) |
где х, X, У — и-векторы, е — малый положительный па раметр.
Положим, что невозмущенное уравнение
(1-2) допускает существование изолированного статического ре шения, соответствующего положению равновесия
|
|
|
* = 0 (Х(0) = |
0, |
Х х (0)¥=0). |
(1.3) |
Вектор-функции X (х), У (t, |
х) |
определены и непрерывны |
||||
в |
области |
R |
X D X ЕВо (D cz R n), 2л-периодические по t. |
|||
В |
области |
R X DPo X ЕЁ0, |
где DPo— р0-окрестность точ |
|||
ки |
X = О, |
Y |
(t , х) обладает |
ограниченной и |
равномер |
|
но-непрерывной частной производной по х первого поряд
ка, а |
X (х) — до третьего порядка |
включительно. |
Представим исходное уравнение (1.1) в виде |
||
dx |
— |
Ах ф-Хг (t, X, е), (1.4) |
|
— Ах ф- {-X (х) -j- еУ (/, X)) = |
|
222 г л . V. ИСС ЛЕ ДО ВА Н ИЕ О КР ЕСТ И. П О Л О Ж Е Н И Я Р А ВН О В Е С И Я
где А — Хх (0), при этом предположим, что можно выбрать такое достаточно малое рх •< р0 и постоянное N, чтобы при |д:| < pj имело место неравенство
| В Д | < У Ѵ № |
( 1 .5 ) |
В дальнейшем будем исследовать уравнение (1.4) в окрест ности DPl.
Рассмотрим соответствующее (1.4) линейное уравнение
( 1.6)
Пусть матрица А имеет критический спектр, состоящий из k собственных значений Я/ (/ — 1 ,..., к), расположенных на мнимой оси, каждое алгебраической кратности а/. Осталь ной спектр матрицы А обозначим о0 (А) и предположим, что он не пересекается с мнимой осью и в общем случае располо жен как в левой, так и в правой полуплоскостях.
Обозначим Я регулярную точку матрицы А и введем резольвенту Ri = (А — Я/)-1. Обозначим, далее, Г1( Г2, Г0 — произвольные гладкие замкнутые контуры, окружаю щие соответственно точки %,■(/ = 1,... , к) и спектр о0 (Л), и рассмотрим проекционные операторы
проектирующие пространство Rn в инвариантные подпро странства
R 1, •••, R k , R n~ k; R(А — А,- ( / = 1.........k), P0A = K
При этом спектр матрицы Л/ в подпространстве R1 состоит из точки Яу алгебраической кратности осу, и спектром матри
цы Ад в подпространстве Rn~k является о9 (Л). Размер ность каждого из корневых подпространств /?-',/ = (1,..., к) равна а.}. Обозначая элементы подпространств Rlt..., R k,
Rn~k соответственно через £, rj,..., £, h, имеем по опреде лению
%= р іХ, л = Р2х ......... |
£ = /%*, h = PgX, |
(1.8) |
x = P lX + P iX + . . . + р кХ + роХ> |
(,.9 ) |
|
§ 1. У Р А В Н Е Н И Я С П Е Ц И А Л Ь Н О Г О ВИДА |
223 |
при этом полагаем, что всегда можно выбрать такие |
аи |
|
Рі..... Ои |
/г € t/6l), |
что |
а, определяемое выражением (1.9), не будет выходить из области своего определения DPi.
2. Преобразование исходных уравнений. Дифференци руя соотношения (1.8) с учетом уравнений (1.4) и принимая во внимание свойство коммутативности проекционных опе
раторов Р /'с матрицей Л, находим |
|
|
|
||
-§ - = |
Alt + V>1(t, I, л, ... |
, £, е), |
|
|
|
- jjp = |
Л л + |
^ 2 (*> ь> Ѣ ■ ■ ■ |
. £. е), |
|
|
........................................................\ |
(і.ю> |
||||
-§ - = Akl + V k(t,l, г,, ... |
е), |
|
|||
= |
Я/і + |
Я (/,£, rj, . . . . |
£, е), |
I |
|
где Лу = РуЛ (/ = |
1, ..., |
&)— квадратные |
матрицы |
соот |
|
ветственно порядков аи а2, ... , аА; Я = Р0Л — [л X |
(л — |
||||
— /г)] — матрица, спектр которой не пересекается с мнимой осью и в общем случае расположен в левой и правой полу
плоскостях; |
£, тр ... , £— соответственно а г, а 2, ... , ^-век |
||||||||||||||
торы, |
h = |
|
I ,..., /г„}, |
при этом |
|
|
|
|
|
|
|
||||
(*, I, ц, ■■■Л, h, е) = P j X (Ргх + Р2х + |
|
■■■ + Ркх + |
|||||||||||||
л- |
Рох) 4" sP У |
(t> Р Iх ~Ь Р 2 х Jr |
• • • |
-pPkx |
|
Р о *)= |
|||||||||
= |
|
(£> ц......... i,h) + |
е ^ /(t, g, rj, |
.. . , |
£, h) |
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
( / = |
|
1.........*), |
|
|||
P (* . l, |
Ц......... £, h, |
e) = |
P 0X ( P ^ |
-f P a* |
-f ••• -f |
|
|||||||||
+ |
p kx |
+ |
P Qx ) + |
|
z P < ¥ |
{t, |
P xx |
+ |
P 2x + |
■ ■ • |
+ |
P kx |
+ |
||
+ PQX) = |
Я 0( £ . Л |
. |
■ • • . |
S , |
Л ) + |
eRl (t, І , |
г |
] , . |
. . |
, £ , |
/ г ) . |
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
( 1 . 1 1) |
Из |
выражений |
(1.11) |
легко |
получить |
неравенства |
||||||||||
{ | ? / ( * , S, Л . . •• . S , Л , е) | , | / ? ( / , £ , л , . . . к, е ) ! } <
< Л 1(е,а3,р 2, ... ,а 2,6 2), (1-12)
224 гл. V. ИССЛЕДОВАНИЕ ОКРЕСТИ. ПОЛОЖЕНИЯ РАВНОВЕСИЯ
где М (е, а 2, ß2, ... , о2, б2)-» О при е -> 0, а |
0, ß -> О,... |
||||||||||||||||||
..., о —>■0, |
б ->- 0. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0. |
|||
В частности, неравенства (1.12) выполняются при h = |
|||||||||||||||||||
Из (1.11) устанавливаем также соотношения |
|
|
|
||||||||||||||||
|
Е, Л. • ■• * £, |
К |
е), R ( t,l,r \......... |
£, h, е)) £ |
|
|
|
||||||||||||
|
GLip{g,Ti, |
... , S. А; |
4 e , a 2,ß 2......... |
|
|
ст2,б 2)}, |
(1.13) |
||||||||||||
где |
X (е, |
а2, ß2, |
... , |
а2, |
б2) -> 0 при |
е -> 0, а -> 0, ß -> |
|||||||||||||
0, |
... , о -> 0, |
б -> 0 (а < |
av |
ß < |
ßlt |
... , а < |
аѵ б < |
б^. |
|||||||||||
Действительно, |
согласно |
|
свойствам |
функции &Y (t, |
х) |
||||||||||||||
имеем |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
{ е ^ } |
(t, I , |
л |
..............£ , h ) ; |
E R 1 |
(t, |
£, |
т]................ |
|
£ , |
h ) } |
6 |
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
€ Lip {£, л, |
..■ , С, А; Д(е)}, |
|
(1.14) |
||||||||||
где |
А (е) -> 0 при |
е -> 0 |
|
(/ = |
1....... |
|
k). |
|
|
|
|
|
|
||||||
Рассмотрим функции #>/(£, |
л. ••• . £, |
А) |
(/ = |
1, ... , |
/г), |
||||||||||||||
Я0 (£, Л....... |
|
С. А). |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Обозначим |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
Рі/і (а2, ß2, . .. , а2, б2) = |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
=■ |
|
|
sup |
|
|
|
|
|
|
(і, Л> |
• • • |
. £, |
A) I, |
|
||||
|
(|5 |< а . |T)|<ß____ _ | S l < c r , I A | < 6 } |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
Я-Лі(а2, ß2......... |
|
СГ2, б2) = |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
= . |
|
sup |
|
|
|
|
|
|
|
Л......... |
|
|
£, A)|, |
|
|
|||
|
{|£ |< а , |TiJ<ß.......... |
|
IS|<a, |
|Л К б} |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
я-д («2, ß2. |
• • •. ff2, |
S2) = |
|
|
|
Л , A)|, |
|
|
||||||||
= |
E |
|
sup |
|£I<CT, |A|<6} |
l^/t(5. Л----- |
|
|
|
|||||||||||
|
{|If«x, |4|<ß........ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
V |
(а2, ß2, |
• • • |
, ff2, ß2) = |
|
|
|
|
|
|
|||||||
(|S i< a , in K ß , . . ? .|£ |< о . Iftl< 6 } |
^ |
ih |
|
‘ |
|
|
^ |
^ |
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(1. |
5) |
В силу свойств функции X (л:) следует, что &%, ^°ПІ, ... |
|||||||||||||||||||
..., |
|
|
являются непрерывными функциями своих аргу |
||||||||||||||||
ментов. Следовательно, Хц (а2, ß2, ... , |
а2, б2) ->0, Хіп |
(а2, |
|||||||||||||||||
ß2....... |
ff2, |
б2) -> 0....... |
|
Ь/с (а2, ß2, ... , |
а2, |
б2) -> 0, |
Xih |
(а2, |
|||||||||||
