Файл: Митропольский Ю.А. Интегральные многообразия в нелинейной механике.pdf
ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 10.04.2024
Просмотров: 259
Скачиваний: 1
§ 1. УРАВНЕНИЯ СПЕЦИАЛЬНОГО ВИДА |
225 |
Тогда на основании соотношений
I
(Г, л". • • • , Г- h ") - |
(Г, Л'...... |
Г. h ') |
|
|
I |
= J (Г +
О
+ S(Г - Г). Л...... |
5, h ) ( Г Г ) rfs + J & т (S. Л' + |
|
О |
+ 5(Т)" — л ' ) ............ |
£, h) (Г)" — г]') ds + • • • + |
I
+№ % & * ) ......Г + s(Г - О-*) ( С - nrfs +
о
1 |
|
|
|
|
|
+ f Ѵ>%а, л ,. . . , |
S, h + |
S (h' - |
h')) (h" — h')ds |
(1.16) |
|
ö |
|
|
|
|
|
можем написать |
|
|
|
|
|
I ¥ \ (Г, л". • • • , Г. h") - |
9>?(g', |
r j',. . . , |
£', h') I < |
|
|
< Я (а 2, ß2, ... ,а 2, 62) { | Г - Г | |
+ |
іл" - л'| + ••• |
+ |
||
+ |Г - С '1 + |А '- А '|} |
(/ = |
1, . . . ,k). |
(1.17) |
Аналогичное неравенство справедливо и для R° (£, г), ...
h).
В результате имеем
{^, (t, & Л- • • • . £. h, г), R (t, g, л, • • • , С. h, е)} £
€ Lip {£, л.........С. h; А (г) + Я (а2, ß2, ... , а2, 62)}, |
(1.18) |
|||||
где Л (е) + |
Я (а2, ß2, ... , о2, 82) = Я (е, а2, ß2, ... , а2, б2) |
О |
||||
при е |
0, |
а ->• 0, |
ß — О, ..... о -*■ О, |
б -> 0. |
правой |
|
Таким |
образом, |
вектор-функции, |
стоящие в |
части уравнений (1.10), со значениями в инвариантных
подпространствах |
R1, ... , R k, ..., |
соответственно, |
определены в области |
|
|
*€ Я, |g| < a lt |
h K ß i ......... |£І <<Л ,\h \< б А, е£ Е Еі, |
|
|
|
(1.19) |
непрерывны, 2л-периодические по і, ограничены при h = 0
функцией |
М (е, |
а 2, |
ß2,...., а2) -> 0 |
при е |
0, а -> 0, |
ß -> 0 ,... , |
а -> 0 |
и |
удовлетворяют |
условию |
Липшица |
S Ю. А. Митропольский. О. Б. Лыкова
226 ГЛ. V. ИССЛЕДОВАНИЕ ОКРЕСТИ. ПОЛОЖЕНИЯ РАВНОВЕСИЯ
no £, т),... , £, Л с константой типа Липшица X (е, а2, ß2, ...
... , а2, 62)-> 0 при |
е-ѵО, а -> 0 , ß->0, |
... , а-> 0, б О*). |
Если алгебраическая кратность а,- каждого собственного |
||
значения Xt (j = I, |
2,... , к) матрицы А |
равна 1, или алге |
браическая кратность каждого собственного значения Xf равна его геометрической кратности, то придем к уравне ниям
Л - — t(o11 |
|
(t , £, т), • |
• • |
, S. h, |
e), |
|||
|
d t |
|
|
|
|
|
|
|
|
dr\ |
|
^2 (*, £> Л. • • • |
, S, A, e), |
||||
ИГ- = «Ч1! + |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
( 1.20) |
|
d t |
|
|
•. ,£ ,M ). |
|
|||
|
H h |
-f- R (t, |
г], .. • >£А |
e), |
|
|||
|
d t |
|
|
|
£, h, |
|
|
|
в которых |
функции |
5s/ (/, |
£, ri,..., |
е) |
( /= 1 ,...,£ ) , |
|||
R (t, g, т], |
... , £, Tj, е) |
обладают |
свойствами, аналогич |
ными свойствам функций в правой части уравнений (1.10). З а м е ч а н и е 1.1. Если повысить порядок гладкости функций X (х), V (t, X), то соответствующим образом по высится также порядок гладкости функций в правой части
уравнений (1.10), (1.20).
Представляет интерес рассмотреть частный случай урав нения (1.1), когда X (х) = Ах, где А — постоянная матри ца. В этом случае приведение исходного уравнения к спе циальному виду может быть произведено либо изложенным выше способом, либо при помощи метода А. М. Ляпунова [1151.
§ 2. Двупараметрические локальные интегральные многообразия
Для простоты ограничимся случаем, когда критический спектр мат рицы А в уравнении (1.4) состоит из двух собственных значений, рас положенных на мнимой оси, которые полагаем простыми изолирован ными точками спектра.
*) В дальнейшем функцию f (t, £, г|...... |
|
£, h, е), обладающую ука- |
аанными свойствами, будем полагать принадлежащей классу |
||
(/2Я; Л4(е, a 2,ß 2 ------ -- |
а3, |
) |л=0; |
% (в, а 2, ß2, -------а2, б2)(5| |
^ |
Х( ft)). |
§2. ДВУПАРАМЕТРИЧЕСКИЕ ЛОКАЛЬНЫЕ МНОГООБРАЗИЯ 227
Вэтом случае исходное уравнение (1.1) приводится к уравнениям вида *)
J L = « K5+$>(*, £, Г. А. е).
d t
|
|
dt |
|
+ Q(/, i, Г, h,&), |
|
|
(2. 1) |
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
J L |
= H h + R (t, l, |
h, e), |
|
|
|
|
|||
|
|
d t |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
где функции |
(/, |
£*, ft, e,), Q ((. £> 5*. A, e), |
|
((, g, g*. А, e) |
опре |
||||||
делены в области |
U K « « . |
I 6*1< |
Po. |
IAI < |
öo. |
e£E8i |
|
||||
|
'€ *> |
|
|||||||||
и принадлежат в этой области классу |
|
|
|
|
|
|
|||||
|
(/2Я; |
М ( в , а \ ßa) |A=0; |
Me, «2, ßa, öa)(S>. |
|
(2.3) |
||||||
Сформулируем |
и докажем ряд утверждений |
о |
существовании и |
||||||||
свойствах двупараметрического локального интегрального многооб |
|||||||||||
разия |
уравнений |
(2 .1). |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1. |
Доказательство существования |
и единственности дву |
|||||||||
параметрического локального |
интегрального |
многообразия. |
|||||||||
Справедлива следующая |
лемма. |
|
|
|
|
|
|
||||
Л е м м а |
2.1. Пусть функции в правой части уравне |
||||||||||
ний |
(2.1) обладают сформулированными выше свойствами. |
||||||||||
Тогда всегда можно указать такое положительное е, ( е ^ |
|||||||||||
< Е0), что для |
каждого положительного е < ех уравнения |
||||||||||
(2.1) |
обладают двупараметрическим локальным интеграль |
||||||||||
ным |
многообразием ЗЛ() |
представимым |
соотношением |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(2.4) |
в котором вектор-функция / |
(/, |
£, |
£*, |
е) определена в об |
|||||||
ласти |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
t£R, IÉI < |
«і. |
U * K ß i, |
e(EEei) |
(2.5) |
непрерывна относительно своих аргументов, 2п-периоди- ческая по t и удовлетворяет неравенствам
I /(/, Г, Г . £ )-/((, Г. Г". в)| <А (8. а 2, ß2)(| Г ~ Г I + (2.6) + І Г - П ) . .
*) I* комплексно сопряжено с g.
«*
228 ГЛ. V. ИССЛЕДОВАНИЕ ОКРЕСТИ. ПОЛОЖЕНИЯ РАВНОВЕСИЯ
где D (г) -> О, А (е, |
а 2, ß2) -> 0 при е |
0, |
а -> О, |
ß -> О |
(а < a lt ß < ßi). |
|
при |
доказательстве |
|
Д о к а з а т е л ь с т в о . Как и |
||||
леммы 2.1 гл. Ill, |
расширим область определения |
функ |
ций в правой части уравнений (2.1) и будем рассматривать
следующую |
систему |
уравнений: |
|
|
|
|
|
|||
|
|
- § - = і ^ |
+ ѴЛІ, g ,r , |
ft, 8), |
|
|
|
|||
|
|
= ~ |
ivl* + |
Ql (t, I |
Г, h, e), } |
(2.7) |
||||
|
|
-§ - = Hh + R1(t, 1,1*, ft, e), |
|
|
|
|||||
в |
которой |
функции |
^ |
(t, |
l, £*, |
ft, e), |
Qi (f, |, £*, |
ft, |
e), |
|
^ i |
І, I*, ft, e) определены в |
области |
|
|
|
|||||
|
|
t £ R , |
E ,r e Z , |f t|< 6 0, eGEei, |
(2.8) |
||||||
где Z — расширение локальной области |
изменения |
|, |
Е* |
|||||||
для t £ R, |
обладают в области |
(2.8) теми же свойствами, |
||||||||
что и функции S5 (/, I, I*, ft, е), |
Q (t, Е, |
ft, е), /? (Д Е. |
||||||||
Е*, ft, е) в области (2.2), и в области (2.2) совпадают с |
ними. |
|||||||||
|
Определим теперь |
матрицу G (О следующим образом: |
||||||||
|
|
0(0 = |
О, |
t > 0 , |
|
|
|
|||
|
|
е~ш, / < О, |
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
где Н — матрица, спектр которой не пересекается с мнимой осью и расположен слева от нее.
Очевидно, что матрица G (t) будет удовлетворять урав нению
|
|
~ = — HG = — GH |
|
|
(2 9> |
|||
с условиями |
|
|
|
|
|
|
||
|
|
G(— 0) = |
/, G (+ 0) = |
0 |
|
|
|
|
и для |
нее будет выполняться неравенство |
|
|
|
||||
|
|
\ G ( 0 \ < K e - ^ , |
|
|
|
(2.10> |
||
где |
К, |
у — положительные постоянные. |
|
D, |
А и |
|||
|
Фиксируем теперь |
положительные |
числа |
|||||
рассмотрим класс С (D, |
А) функций |
*) |
F (t, |
£, |
Е*), |
|||
так |
*) Для простоты записи |
зависимость функций |
F от е как |
здесь, |
||||
и в дальнейшем указывать |
не будем. |
|
|
|
|
§ 2. ДВУПАРАМЕТРИЧЕСКИЕ ЛОКАЛЬНЫЕ МНОГООБРАЗИЯ 229
определенных |
для |
|
|
|
6 |
,Г € Z, |
(2.11) |
удовлетворяющих неравенствам |
|
||
|
|
|
( 2. 12) |
] F (/, Г. Г ') - |
F (t, Г, Г") I < |
А П Г - |
Г 1+ ] Г ' - Г" 1} |
|
|
|
(2.13) |
иобладающих периодом 2л по отношению к t. Рассмотрим уравнения
jJ - ^ e e g |
+ |
^ / , g,g*,F(f, |
g, g*), в), |
|
|
Щг = |
- |
|
+ Qi (t, і, Г , |
F (<, I, Г), |
( 2- 1 4 > |
|
е). |
||||
Принимая |
во внимание свойства |
функций |
5^ (/, g, g*, |
||
h, 8), Qj (/, g, |
g*, |
h, |
e), нетрудно |
установить следующие |
|
соотношения: |
|
|
|
|
|
{I ^ i (/, І, І*. F (f, g, Г), e) |. I Ql (t, g, g*. F (f, g, g*), e) |} <
< M (e, aa, ß2) + Цг, a2, ß2) D, (2.15)
{ І, І*, F(t, І, g* e), 8) Qt (f, g, g*f F (it, g, g*f e), e)} g € Lip (g, g*; Я(е, a 2, ß2)(l -f- A)}. (2.16)
Задаваясь далее начальными условиями
S = É0. |
= S при * = *o, |
(2.17) |
принадлежащими области (2.2), в силу теоремы Коши мож но построить единственное решение уравнений (2.7). Обозна чим его символически в виде
Ь = LZtßo’ 5S); Г = ^ о(І0, Го), |
(2.18) |
где г — t — (0. |
_ |
Рассмотрим теперь некоторые функции F к F т класса С (D, А) и положим
% — |
L ,<„ (io> |
І< — |
L , / 0 (io> Іо ), |
|
|
|
(2.19) |
І / = |
М г,,0(Іо, Іо), |
I* = |
M z,tt (fo , Іо)- |
Из уравнений (2.14), принимая во внимание соотношения (2.15), (2.16), после ряда выкладок получаем следующие