Файл: Митропольский Ю.А. Интегральные многообразия в нелинейной механике.pdf
ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 10.04.2024
Просмотров: 260
Скачиваний: 1
230 гл. V. ИССЛЕДОВАНИЕ ОКРЕСТИ. ПОЛОЖЕНИЯ РАВНОВЕСИЯ
неравенства:
I І І и (Іо. Іо) - iZ u (SoSo)l = I S < — U <
< 4 - ( l I o - g o l + l i o - ^ I H - - f { l I o - S o l +
1M l u (So So — |
M -lu (So. So) I *= I % — S< К |
{ i r o - s ; i - i i o - S o i } + 4 - { H o - S o ( + |
|
+ |
I lo — Sol} е2[^ 1+ д)+(0^121+ |
( 2. 20)
Исходя из тех же соображений, что и в § 2 гл. Ill, рассмотрим преобразование S, преобразующее функции F из класса С (D, А) в функции
со |
|
S ,!.!* (f)= j |
G W R ^t + z-, Lb(l,t*y, |
—00 |
\Z.Zl ) |
g*); F(t + z; Lif, Mit); г} dz.
В силу свойств функции Ri (t, £, £*, h, e) и неравенств (2.12) и (2.13) имеем
I Rx {t + г; Li/, M Fz,f; F[t + z; LFt<t; МргЛJ; e} | <
<M(e, а 2, Р2) + Я(е, a 2, ß2)£>. Учитывая неравенство (2.10), из выражения (2.21) находим
|St.6.£. (F)\ < -у - [М (в, a 2, ß2) + Я (е, а 2, ß2) D), (2.22) а также
I ^/,1,1* (^) — |
(^7) I |
|
|
|
< I F — F\\ |
(/СЯ (е, a 2, ß2) |
KW (8, a 2, |
ß2) |
|
Я (e, a 2, ß2) ( l + |
Д ) + to X |
|||
|
|
§ 2. ДВУПАРАМЕТРИЧЕСКИЕ ЛОКАЛЬНЫЕ МНОГООБРАЗИЯ 231
|
|
OQ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
X j" |
exp {— y\z\)dz-\- КЪ (г, а 2, ß2)(l |
+ |
Д) х |
|
|
||||||||
|
о о |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
X |
j |
exp {— ѵ |г| + |
2[Я,(е, а 2, ß2)(l |
+ А) + |
со] |г|} |
х |
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
ß2) (1 + |
А)’|| F — F\\ |
X |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
X(е, а 2, ß2)(l |
+ |
Д) + w |
|
|
||||
X |
\ |
ехр {— Y\z\ |
і- [2Я/(е, а 2, ß2)(l |
+ А) +■ ю]|г|} dz. |
(2.23) |
||||||||||
|
Выберем теперь в неравенствах (2.22) и |
(2.23) D |
и А |
||||||||||||
как функции параметров е, а, ß: D = |
D (е, |
|
а 2, |
ß2), |
А = |
||||||||||
= |
А (е, а2, ß2), |
таким образом, чтобы D (е, |
а 2, |
ß2) |
-> О, |
||||||||||
А (г, |
а 2, ß2) -> 0 |
при |
е -> О, |
а -> О, |
ß -> О |
и чтобы для |
|||||||||
всех положительных е < ех < |
е0 и а < |
“ і < |
а 0; ß < |
ßx •< |
|||||||||||
< |
ßo выполнялись неравенства |
|
4К к (е, а 2, ß2) |
|
|
) |
|||||||||
|
[Я, (е, а 2, ß2)(l |
+ |
А) -[- со] < |
; |
< |
|
|||||||||
|
1; |
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
V |
|
|
|
|
|
|
|
|
4/СХ(е, а 2, ß2) ( l + А ) |
д. |
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
а 2, ß2) + Я.(е, а 2, ß2) D2} < |
D. |
|
|
|
|||||||
Такой подбор D и А всегда возможен, |
|
|
|
|
|
(2.24) |
|||||||||
поскольку AI (е, а 2, |
|||||||||||||||
ß2) -> О, Я, (е, а 2, ß2) |
0 при е -> 0, а -> 0, ß -*■ 0. |
|
|
|
|||||||||||
|
В результате неравенства (2.22) и (2.23) окончательно |
||||||||||||||
можем записать |
в |
виде |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
I StXi* (F) I C D (e, |
а 2, ß2), |
|
|
|
|
(2.25) |
|||||
<Д (8, а 2, ßa) ( |i |
— g| + |i* — 5*1) + - J - |
I? — /7!. |
(2.26) |
||||||||||||
где D (e, а 2, ß2) -> О, |
А (e, а 2, |
ß2) |
0 |
при |
s — 0, а -> 0, |
||||||||||
ß -> 0 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
В частности, когда F = F, имеем |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
I |
|
№ ' |
■S t X f {F) I < А (е, а 2, ß2) |
( I ! — SI + I і* — Е* | ). |
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(2.27) |
|
232 ГЛ. V. ИССЛЕДОВАНИЕ ОКРЕСТИ. ПОЛОЖЕНИЯ РАВНОВЕСИЯ
Таким образом, видим, что при 0 < е -< еъ а С |
с |
а 0, |
|||
ß •< Pi •< ßo преобразование |
S переводит |
функции |
F |
из |
|
класса С (D , А) в функции того же класса. |
|
|
|||
При I = I, g* = I* |
из неравенства |
(2.26) получаем |
|||
IISF — 5 F I |
[I F |
F II, где |f! = |
su p |/|. |
(2.28) |
|
После этого с помощью принципа сжатых отображений легко установить существование и единственность реше ния уравнения
F = SF |
|
|
|
(2.29) |
в классе функций С (D, А). Введем обозначение |
|
|
||
F = h it, ІЛ*, |
*)■ |
|
|
(2.30) |
По самому определению f1 (t, |, |
g*, е) видим, |
что оно |
||
принадлежит классу С (D , А). |
|
|
|
|
Не представляет затруднений показать, что |
|
|
||
It = U L ,„ и ц , Г); 6? = м Ь м і |
Г ); а „ |
= / , ( * , |
g„ |
& e) |
|
|
|
|
(2.31) |
представляют решения уравнений |
(2.7), |
сводящиеся |
при |
|
(2-32)
и, следовательно, согласно определению, многообразие ЭН), определяемое посредством соотношения
Аі = М*. É, Г. в), |
(2.33) |
является интегральным многообразием для уравнений (2.7). Действительно, раскрывая уравнение (2.29), имеем
ос
flit, I, Г , е )= J 0 (2 ) ^ [t + z-, Util, l*, 8); M[\til, Г , e);
h [t + г; U\t il, Г, |
e); М[\, Ц, g*. e), e]; |
e} dz. |
(2.34) |
|||
Заменим |
здесь I |
на |
fl |
I* — на M'ti |
на |
|
L‘ |
||||||
t—tn и заметим, что |
имеет место тождественно |
|
|
|||
U'to iU —l ta,t„', |
Mt'—t0,t0) |
= U+t~t„,tal |
(L/L<0><0; |
M!tLt0,ta) = |
||
§2. ДВУПАРАМЕТРИЧЕСКИЕ ЛОКАЛЬНЫЕ МНОГООБРАЗИЯ 233
Вкачестве новой переменной интеграции вместо z вве
дем X = 2 -f- t И ПОЛОЖИМ
Ь = |
ti-u,u (Е, Е*. |
8). |
1* = м Ь „ л (Е, Е*. е), |
1 |
||||
h u |
= |
fl {t, |
L L U,U (E, r . |
e); M l/, |
(E, Г, е); в}, |
f ( |
||
Тогда |
из |
(2.34) получим |
|
|
|
|||
оо |
|
|
|
|
|
|
|
|
hu = j |
G(x — t)Ri { i , l %Xz ,h u, e ) d x = |
|
|
|||||
— О о |
|
|
t |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= |
I |
G(x — t) /?і (т, gT, g*, Au, e) dx + |
|
|||
|
|
|
+ |
J G (T - |
0 /?! (T, Ex, i ; |
hlx, e) dx. |
(2.36) |
|
|
|
|
|
t |
|
|
|
|
Дифференцируя соотношение (2.36) по t как по парамет ру и учитывая свойство матрицы G (t), находим, что hu удовлетворяет уравнению
^ и _ = Hhu + Ri {tf 6*t hut e). |
(2 37) |
Итак, функции (2.35) являются решениями уравнений (2.7) , сводящимися при t = /„ к g, g \ Д (Д, g, g*, e). Отсюда, согласно определению, следует, что многообразие, определяемое соотношением (2.33), является интегральным для уравнений (2.7). Так как в области (2.2) уравнения (2.7) эквивалентны уравнениям (2.1), то отсюда следует, что в этой области функция
fi(t, Е. Е*. — Е Е*, е) (2.38)
является представлением локального интегрального мно гообразия ЭД, уравнений (2.1).
С л е д с т в и е 2.1. Из уравнений (2.1) следует» что переменные g, g* для решений, лежащих на многообразии Э2Д, удовлетворяют уравнениям
-§-= Н^ + З Д Е. Е*. f { t , Е,Е*. 8). 8).
(2.39)
dl*
Л- i v ? + Q f(t , Е» Е*>/(*> Е, 6*. 8), в),
234 гл. V. ИССЛЕДОВАНИЕ ОКРЕСТИ. ПОЛОЖЕНИЯ РАВНОВЕСИЯ
в которых функции |
(t, |, |*. f (t, |, |
|*, е), |
е), |
Qf (t, |, |*. |
/ (Л £, I*» е)> е) определены в области |
|
|
|
|
*€Я,151<«1. І Г К Р і, |
е€Ее, |
|
(2.40) |
|
«обладают свойствами, аналогичными свойствам функций
вправой части уравнений (2.1).
З а м е ч а н и е |
2.1. Если функции в правой части |
|||
уравнений (2.1) обладают ограниченными и равномерно |
||||
непрерывными частными производными по |, |
|*, h до |
|||
г-го порядка (г = 0, |
1,...), то функция / (/, |, |
|*, е) также |
||
будет обладать ограниченными и равномерно-непрерывны |
||||
ми частными производными по |, |
|* до r-го порядка (г — |
|||
= 0, 1,...). Это свойство доказывается по аналогии с лем |
||||
мой 2.1, гл. III. |
устойчивости |
локального |
интегрального |
|
2. |
Свойство |
|||
многообразия ЭИ*. Установим теперь свойство притяжения локальным интегральным многообразием Щ траекторий любых решений уравнений (2.1), выходящих в начальный момент времени из некоторой (п — 2)-мерной области £/6t, которое сформулируем в виде следующей леммы.
Л е м м а 2.2. Пусть функции, стоящие в правой части уравнений (2.1), обладают указанными ранее свойствами. Тогда всегда можно указать такие положительные постоян ные у, e', а2, ß2, 62 (а2 < аи ß2 < ßx, ö2 < 6Д), что если спектр матрицы Н расположен в левой полуплоскости, то для каждого положительного е < г', любого вещественного
t0 и любых |о, |о, для которых выполняются |
условия |
ІІ0 І< « 2. |Й < Р » |
(2-41) |
существует (п — 2)-мерная область U(,aначальных значений
h, такая, что если для t *= t0 h1/ £ U^, то для всех f > t 0 справедливо неравенство
|
< V (е, а®, ß®)е-т(і-<о) jft"— f |
(t0, |0, |*, |
e) |, |
(2.42) |
|||||
в котором Io, |
|o, ho |
представляют |
| #, |
|*, |
ftf |
при |
t — tQ; |
||
/if — любое |
решение |
уравнений |
(2.1), |
не |
принадлежащее |
||||
интегральному многообразию Щ , |
и ѵ |
(е, а2, ß2) — |
положи |
||||||
тельная |
постоянная, |
зависящая |
от параметров е, а и ß |
||||||
(е < е \ |
а < |
а 2, ß < |
ß2). |
|
|
|
|
|
|
