Файл: Митропольский Ю.А. Интегральные многообразия в нелинейной механике.pdf

Скачать файл (21,78Мб)

Заказать решение

ВУЗ: Не указан

Категория: Не указан

Дисциплина: Не указана

Добавлен: 10.04.2024

Просмотров: 264

Скачиваний: 1

ВНИМАНИЕ! Если данный файл нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам.

5 2. ДВУПАРАМЕТРИЧЕСКИЕ ЛОКАЛЬНЫЕ МНОГООБРАЗИЯ 235

Д о к а з а т е л ь с т в о . Рассмотрим				интегро-диффе-
ренциальную систему
ht «	f в"«-" R (X, gx,		A„ e) dx +	t > t0,
=	/соIt +	(t, &,	ht, e),
- § - =	- f <	+ Q(<. іо Г Л .е ) .
				(2.43)

Используя ту же идею, что в предыдущей главе, для построе ния решений системы уравнений (2.43) воспользуемся вспомогательной системой

	/о—f
ht = -	J в"*/? (/ + г; lt,	ht, г) dz +е«<‘- 4 4 , t > f„,

=+ іо Гр Аі.е),

- f l — = — і<»Г( + Q (t> Іо i*. Af, e),

									(2.44)
\t — io .	r<	=	S5	П Р И	*==<<>•
В ы б е р	е м	п	р о и з	в о л	ь	н у ю	ф у н к ц и ю	J 0 ( t , 5,	5> )* У Д о в -
л е т в о р я ю щ у ю			у с л о в и ю			Л и п ш и ц а :
			/„(*,£, г ,				в) G Lip {g,	А},	(2.45)

а также вектор А таким образом, чтобы выполнялось усло вие

М * .І.і* .е) + * И і '< 0 ( е ) < 0 8,			(2.46)
где К — постоянная	из	условия (2.10).
Положив
/0(t, 6, Г, А,	г) =	/0 (/, I, %, е) + е " < ‘г - ) А ,	(2.47)

236 ГЛ. V. ИССЛЕДОВАНИЕ ОКРЕСТИ. ПОЛОЖЕНИЯ РАВНОВЕСИЯ

получим,

согласно

(2.46),

IM * .É .É * .4 e )l< ö (e )< 6 „

І/(*,Г. r U

', e ) - / ( / ,

|М*'И",8) |<

А (IZ -

Г I

I Г -

|)K+ e - w - ы I А ' -

А " |-

Рассмотрим

уравнения

/о

І.

Е),

(2.48)

HZ* =

ш і + V (t, g,

Г .

(*,

Г .

а , г),

(2.49)

Л -

y t =

fog* + Q (t, g, Г ,

Г . А,

г),

г).

Согласно свойствам функций/оФ(*,(t,£,g, g*, h,

г),

Q (i, g,

g*, h, e), нетрудно видеть, что

для

уравнений

(2.49)

вы

полняются условия

теоремы

Коши

и, следовательно,

эти

уравнения обладают при заданных начальных условиях

единственным	решением, которое обозначим
Ь =	Lb. (6, Г. А),			Ь =	м \ \ (g, g°, А).			(2.50)
Подставляя	значения		g„	gj,	/„ (/, g,, gj,	Л,	е) в урав
нения (2.44), получаем в первом					приближении
Ь Ѵ , 1 ? , А , г ) =
=	- to-t Je"-7? (t +			г;	(g, g. А); М& (g, g. А);
	о		м[у, Л; е))dz + е"«*-«Л.
f0( t + z ; L&;			м[у, Л; е))dz + е"«*-«Л.					(2.51)
Воспользовавшись		свойствами			функций	f/5 (f, g,		g*,
h , е), Q (, g, g, h, e), Я (i, g,				g*,	h, e), после ряда выкла
док нетрудно установить следующие неравенства:
£*. А, е )\|< —		(УИ(е, а 2, ß2) + К (е, а 2, ß2)D ) +
				+ /С \|Л \|< £ » (8, а 2, ß2),				(2.52)
\|/і(/, Г. Г', А', е) - М * , g\ g*\ Л", е ) \|<
< ^ ( е , а 2, ß * )( \|g '- g '\| + \|6*' - Г '\| ) +
	+	Кг (е, а 2, ß2) <r-w.-o \| Л' -					Л"	(2.53)
где Vj (е, а2, ß2) ->■ 0, Кі (е, а 2, ß2) -> К при						е	0, а	-►0,
ß -> 0 .

§ 2. ДВУПАРАМЕТРИЧЕСКИЕ ЛОКАЛЬНЫЕ МНОГООБРАЗИЯ 237

Значение h во втором приближении определяется по средством выражения

hit, g, g*. А,	в) =
			tn—t
	=	-	.[	e"R(t + г; Lfz\t (g, g, А);	м{\((g, g*. A);
			0
h (t +	г;	Lilt-		Miy, A, e); e) dz +	A,	(2.54)
где g, = Lilt, It		=	M!z,t — решения уравнений
=	ІСОІ +		& it, g, g*, h it, g, r , A, 8),		8),	(2.55)
						(2.55)
=	-	ш Г + Qit, Б, r . fi it, Б, Г, A,			e), e).

Нетрудно проверить, что вектор-функция /2 it, g, g*, Л, e) удовлетворяет неравенствам типа (2.52), (2.53).

Таким способом можем построить последовательность вектор-функций

hit, g, g*, А, г), hit, g, g*. А, г).........fn (t, g, g*, А, г), ...

(2.56)

Используя обычный мажорационный прием, можно по казать, что построенная таким образом последовательность равномерно сходится к некоторой функции / (t, g, g*, А, е), также удовлетворяющей неравенствам типа (2.52), (2.53).

Нетрудно показать, что вектор-функция / it, g, g*. А, е) является решением интегро-дифференциальной систе мы (2.43). Кроме того, легко убедиться, что решения систе мы (2.43) являются решениями дифференциальной системы

уравнений	(2.1).				решение дифференци
Назовем решением типа 62 любое					решение дифференци
альной системы (2.1) gt, g’, h„ для которого
Б=	Бо.	Г =	С	К € и іш (б2 <	6Х) при t =	t0,
I =	it,	г =	б;,	fh е и 6, (63 <	ба) при t >	t0.

Можно показать, что любое решение типа б2 является решением интегро-дифференциальной системы при А = /і„.

С другой стороны, согласно лемме 2.1, любое решение уравнений (2.1), лежащее на многообразии Ш(, удовлетво-

238 ГЛ. V. ИССЛЕДОВАНИЕ ОКРЕСТИ. ПОЛОЖЕНИЯ РАВНОВЕСИЯ

ряет условию || А0Ц= Ц/(*,,, I» Г . е) || < 6г и, следова тельно, является решением интегро-дифференциальной си стемы (2.43) при некотором А = А', удовлетворяющем условию |Л '|< б а. Поэтому, полагая в неравенстве типа (2.53), справедливом для решений интегро-дифференциаль

ной системы (2.43),	вместо	одной из функций / (і, £, £*,
А, е) функцию f(t,	£, £*,	е), представляющую решение

ht на многообразии, и соответствующее ей значение А =

=	А', получим
I/(/,		1,1*, е ) - / ( / , I				Г, А, в ) \|<
						</С (8, а 2, р>-ѵ<*-(о>\|Л — Л'\|._			(2.57)
З а м е н я я			в	э т о м		н е р а в е н с т в е	п р о и з в о л ь н ы е	g,	н а
L/,f0		(\|> I*,	е)	и	Л 4 ^ 0 (I, £*, е) ,		п р и н и м а я в о в н и м а н и е , ч т о
/	(*;		(I. I*,		е);	Г» е); в) = А,, получаем			окон
чательно неравенство
\f(t,		l t , l l	е ) - А ,\|<
		<	К (е, а 2, ß2) e-v<‘- ‘o>\| f (/„, £0, & e) -					A01,	(2.58)

справедливое для любых решений %t, gj, ht уравнений

(2.1),	для которых \ht \ < 62. При этом	следует помнить,
что неравенство (2.58) справедливо до тех		значений t, пока
II/ I <	а2> \|\|/ I < р2-

Сл е д с т в и е 2.2. Из леммы 2.2 вытекает, что в окрестности U^, находится лишь одно интегральное много образие уравнений (2.1), а именно многообразие 9Л,.

Сл е д с т в и е 2.3. Прибавим, а затем вычтем в пра вых частях уравнений

-§ - = /аЪ + Ѵ(і, lt, l l ht, е),

(2.59)

+Л/, е)

соответственно выражения

& ( t , Ь ,	І І	f ( t , I ,	t l	г), e) =	V>f (t,	Ь ,	г),
Q (t, It,	b\	f (t. It,	It,	e), e) -	Qt (/,	I,, l l	e).

Применяя затем обычный мажорационный прием, учитывая при этом свойства функций З3 ((, £, £*, Л, е), Q (t, £, £*, Л, е)

§2. ДВУПАРАМЕТРИЧЕСКИЕ ЛОКАЛЬНЫЕ МНОГООБРАЗИЯ 239

инеравенство (2.58), после ряда выкладок, получаем не равенства

db		т ^ — Ф, (t, &*, e)	< C i(e, a 2, ß2) ц-чЧ-и)'
dt		т ^ — Ф, (t, &*, e)	< C i(e, a 2, ß2) ц-чЧ-и)'
dt
dl)	+	Qi (t, £f, I M e)	< C 2(e, a2, ß2)e -v«-<.)(
dt			(2.60)
			(2.60)

в которых C1 (e, a2, ß2) и C2 (e, a 2, ß2) — положительные постоянные, зависящие от параметров е, a, ß (а •< а2;

ßß2)-


3.	Теорема об		интегральном			многообразии		исходно
го уравнения. Возвращаясь к исходному уравнению (1.1),
можем	сформулировать		следующую теорему.
Т е о р е м а		2.1. Пусть относительно уравнения (1.1)
выполняются условия, приведенные на стр. 221—222.
Тогда всегда можно указать такие положительные посто
янные у, elt e'; аг, a 2; ßlf			ß2; px, p2 (e' <			ex < e0, a 2 <		аг <
C a 0; ß2 <1 ßi •< ß0; p2 -< p, -< Po), что для любого положи
тельного 6 < е'		справедливы следующие утверждения.
1.	Уравнение (1.1) имеет двупараметрическое локальное
интегральное многообразие				S t,	лежащее		в области DPi,
параметрическое		представление			которого		имеет вид
		х= Ф						(2-61)
где вектор-функция Ф (t, \|,				\|*,	е) определена в области
	t £ R ,	П К « ! ,		i r i < ß i .		eGEe„		(2.62)