Файл: Митропольский Ю.А. Интегральные многообразия в нелинейной механике.pdf
ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 10.04.2024
Просмотров: 263
Скачиваний: 1
240 ГЛ. V. ИССЛЕДОВАНИЕ ОКРЕСТИ. ПОЛОЖЕНИЯ РАВНОВЕСИЯ
при этом свойства функций ffy (t, Е, Е*, е), Q, (t, Е, Е*, е) аналогичны свойствам функций & (t, Е, £*, е), Q (/, Е, Е*, е).
3. Локальное интегральное многообразие S t обладает свойством притяжения траекторий любых решений урав нения (1.1), выходящих в начальный момент времени из области DPl, и это притяжение осуществляется по закону
I * (*) - Ф (*, Іи £о е) I < С (г, а \ ß2) ег*-Ы |
(2.65) |
(до тех t, пока |£,| < а 2, |£ | < ß2).
4. Если в области R X DPo X Ево X (х) £ Сх+2, Y (t, х) £
£ Сгх, то в области (2.62) Ф (t, I*, е) £ Cg,£*.
§ 3. Интегральные многообразия уравнений, близких к линейным
1. Постановка задачи. Рассмотрим уравнение
|
|
|
= Ах + |
гХ (t, X), |
|
(3.1) |
|
где А — постоянная |
матрица с |
элементами а/* (у, k — 1,... |
|||||
..., |
n), X, X — п-векторы, е — малый положительный пара |
||||||
метр. |
|
|
|
|
|
|
|
|
Пусть выполняются следующие условия. |
|
|
||||
|
1°. Вектор-функция X (t, х) определена |
и непрерывна |
|||||
для |
t g R, |
е £ Ее„ |
и X, принимающего значения в |
Rn, |
|||
2л-периодическая по t и, кроме того, X (t, х) £ С*. |
|
|
|||||
чек |
2°. Критический спектр матрицы А состоит из двух то |
||||||
гг = іщ, z2 — —ісо2. Остальной спектр |
о0 (А) |
не |
пе |
||||
ресекается |
с мнимой осью и расположен |
слева |
от |
нее. |
|||
|
При этих предположениях докажем существование и |
||||||
установим |
свойство |
двупараметрического |
интегрального |
||||
многообразия уравнений (3.1), причем в отличие от преды дущего параграфа, в котором речь шла о локальных интегральных многообразиях, в настоящем параграфе исследуются обычные не локальные интегральные мно гообразия.
2. Приведение исходного уравнения к специальному ви ду. Следуя методу Ляпунова 1115], введем в невозмущен ной системе уравнений
§ 3. МНОГООБРАЗИЯ УРАВНЕНИЙ, |
БЛИЗКИХ К ЛИНЕЙНЫМ |
241 |
|
новые переменные ^ |
и £2 при помощи подстановки |
|
|
h = |
2 CjXh |
= S fy*/, |
(3-3> |
|
У=1 |
/=1 |
|
причем постоянные су, bj подберем таким образом, чтобы
два |
уравнения из системы (3.2) приняли вид |
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
■ £ - = - < * » |
Т Г = “Ь- |
|
|
|
(3.4) |
|||||
п |
В |
результате |
получим |
равенства |
|
|
п |
|
|||||||
|
п |
|
|
п |
|
|
п |
п |
|
|
|||||
2 |
О |
2 |
a ikXk = |
— со 2 |
V |
/ , |
2 |
Ьі 2 |
CtikXk = |
со 2 |
CjXj. |
||||
/■=1 |
ft=l |
|
|
/=1 |
|
|
/=1 |
*=1 |
|
|
1 |
(3.5> |
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Приравнивая в обеих частях этих равенств коэффициен |
||||||||||||||
ты при одинаковых x k, |
для определения |
су и bj |
получим, |
||||||||||||
систему линейных уравнений |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
п |
|
|
|
|
|
п |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 a ikCj + |
СОbk = 0 , 2 a ikbi — cocfe = |
0 |
(k — |
\ , |
, п ) . |
(3.6> |
|||||||||
/=1 |
|
|
|
|
|
/=і |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Умножив вторую группу уравнений на і и сложив ее с |
||||||||||||||
первой, |
получим |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
П |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
ü jk d j — ісоdk = 0 |
( k ~ \ |
, . . . , « ) , |
|
|
(3.7) |
|||||
|
|
|
|
л_.1. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
где |
|
d / |
= |
с/ -f- i'ö/. Определитель системы |
(3.7) |
D |
( к о ) , |
||||||||
очевидно, |
равен |
нулю. Таким образом, система (3.7) |
до |
||||||||||||
пускает нетривиальные решения. Выделяя в полученном
решении действительную и мнимую часть, находим |
с к У |
bk и тем самым, согласно (3.3), и | 2. |
и Н2. |
Приняв найденные таким образом переменные |
вместо двух каких-нибудь переменных х/, а остальные обо значив через у (у3, ... , у„), приведем систему уравнений (3.2> к виду
= ®Іі> |
(3.8> |
—1- — Gy + |
+ <7і 2> |
|
J |
где G = flgsJ — [(« —.2) X ( п |
— 2) 1-постоянная матрица. |
242 ГЛ. V. ИССЛЕДОВАНИЕ ОКРЕСТИ. ПОЛОЖЕНИЯ РАВНОВЕСИЯ
Вводя вместо |
и g2 |
новые переменные g и |
g* по форму |
||
лам |
|
|
|
|
|
£і = |
£ + |
Г . |
= - |
£ + '£*. |
(3.9) |
можем представить систему (3.8) в виде |
|
||||
Л |
/ü)g, |
|
|
||
|
dt |
|
|
||
|
|
|
|
|
|
dl* |
− |
≈4 . |
|
(3.10) |
|
|
dt |
|
|||
dy |
Gy + rg + |
~r\*. |
|
||
~df |
|
||||
|
|
|
|
||
где r = p — iq, r = p -f iq.
Произведя указанные преобразования в системе нений (3.1), сможем записать ее в виде
+ е ^ (/, g, г , у),
+ eF2 (t, g, Г, у),
= GV+ rg + rg* + *F3(/, g, Г, у).
урав
(З.Н)
Чтобы освободиться от членов rg и rg*, введем новые переменные h посредством замены
h — y-fag -fag * , |
(3.12) |
где а и а подлежат определению. Очевидно, имеем
~ = G (h — a t — а g*) + rg - f rg* -f a [za>g -f
+ & (t, l, l*, h, e)] + ä [ - ml* -f eQ(t, g, g*, h, e)J +
+ etf(U , l*,h, e). (3.13)
Чтобы освободиться здесь от членов, содержащих g и I* линейно, приравняем нулю коэффициенты при g и g*; в результате получим
Ga — та — г, Ga -j- /соа = г |
(3.14) |
§ 3. МНОГООБРАЗИЯ УРАВНЕНИЙ,- БЛИЗКИХ К ЛИНЕЙНЫМ 243
или, |
принимая |
во внимание, |
что г = |
rs (s = 1 ,..., п — 2), |
|||
G = |
||ЫІ> имеем |
(Ss.s — « |
|
|
|
||
gs.1«! + |
gS,20CaH- |
- - +- |
ö ) a - s- |
-- 1-+ - |
gs,n- -2ßn-2 = Г$, |
||
|
|
|
|
+ (gs,s |
|
|
(3.15) |
gs.l«! + |
g s A + |
• • • |
iu) 0ts —(- ... |
—J- gs'n—2<%n—2 = |
|||
|
|
|
|
|
|
|
(3.16) |
Определители этих систем отличны от нуля, и следо вательно, системы (3.15), (3.16) допускают нетривиальные
решения а г и а,-.
Таким образом, в результате преобразования (3.12) си
стема уравнений |
(3.11) примет |
вид |
* |
|
|
|
|
- § - |
= і(0?4V-8( t , I |
Г , h), |
|
dg* |
iu?+BQ(t, I, Г, h), |
(3.17) |
|
|
|||
dt
-§ - = tfA + e/?(/,g, g*. A),
где введено обозначение H — G. Принимая во внимание свойства функции X (t, х, г), для функций, стоящих в пра вой части уравнений (3.17), устанавливаем следующие
свойства: |
еФ (t, g, g*, /г), eQ(t, g, g*, h), eR (t, g, g*, h) |
||||||
1) функции |
|||||||
определены для |
t |
R , e £ |
EE(I |
любых конечных значений |
|||
g, g*, h, являются |
непрерывными |
функциями своих аргу |
|||||
ментов, 2я-периодическими£ |
по |
и/; |
|
|
|
||
2) для любых конечных значений h эти функции ограни |
|||||||
чены некоторой функцией |
М (е) -> 0 |
при г ->- 0; |
|||||
3) для всех |
t £ R, е £ Ее„ и любых |
конечных |
значений |
||||
g, g*, h функции |
ef7> (t, g, |
g*, |
h), |
eQ (t, g, g*. A), |
eR (t, g, |
||
g*, h) удовлетворяют условию |
Липшица no g, g*, h с кон |
||||||
стантой Липшица |
X (e) ->■ 0 при e |
0; |
|
|
|||
4) спектр матрицы H не пересекается с мнимой осью и |
|||||||
расположен слева |
от нее. |
|
|
|
|
|
|
3. Теорема о нелокальном интегральном многообразии.
Применяя для исследования уравнений (3.17) тот же метод, что и для уравнений (2.1) (с учетом нелокального характера изменения g, g*), можем сформулировать следующий результат.
