Файл: Митропольский Ю.А. Интегральные многообразия в нелинейной механике.pdf
ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 10.04.2024
Просмотров: 176
Скачиваний: 1
•82 |
ГЛ. I. В В Е Д Е Н И Е |
Согласно (2.12) для производной ~ еІА получаем
= А (/ + ІА + ~ Л2 + . . .) = Ае‘А,
откуда следует, что матрица еіл является решением урав нения
-ч г = АУ-
Для любой невырожденной матрицы А существует пе рестановочная с А матрица В, удовлетворяющая условию
вя
е= А .
Матрица В называется логарифмом матрицы А и обозна чается В =* In Л, при этом In Л является многозначной функцией. Если невырожденная матрица Л является дей ствительной, то существует действительная матрица В и перестановочная с Л, удовлетворяющая условию
е8‘з Л !.
4. Функции оператора. Пусть А — оператор, соответст вующий матрице Л. По аналогии с определением регуляр ной точки для матрицы вводится понятие регулярной точки оператора. Комплексное число % называется регулярной
точкой оператора А , |
если |
существует |
оператор R% = |
|
— (А — Я/)-1, который |
называется резольвентой операто |
|||
ра А . |
резольвенты вводится понятие функции от |
|||
С помощью |
||||
ограниченного |
оператора. Так, если / (X) — функция, ана |
|||
литическая в области, |
содержащей спектр оператора А , |
|||
то под функцией / (А) |
понимается оператор |
|||
|
f{A ) = |
— |
|
(2.15) |
где контур Г окружает спектр оператора А . |
||||
Предположим, что спектр |
оператора А |
распадается в |
||
сумму конечного числа непересекающихся частей
П
о (А ) = % а к (А ). |
(2 . 16) |
§ 2. С В Е Д Е Н И Я ИЗ Л И Н Е Й Н О Й А Л Г Е Б Р Ы И А Н А Л И З А |
33 |
|||||||
Положим |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
f(A ) = |
|
|
З ф ы ь ) а д . |
(2.17) |
|||
|
|
|
|
*=і I |
|
|
|
|
где функция fk (Я) определена и аналитична лишь в окрест |
||||||||
ности |
каждого ак (Л) |
и контур Гй окружает область Dk, |
||||||
содержащую спектр ок (А). |
|
|
|
|
||||
Задав fk (Я) в виде |
|
при |
Я £ |
|
|
|
||
|
|
(1 |
|
|
|
|||
|
fk ^ |
= ІО |
при |
Я £ Df, |
j ф |
к, |
(2-18) |
|
можем |
написать |
|
|
|
|
|
|
|
Рк = fk (А) = |
- |
|
$ fk М а д |
= - |
~èü Ф а д * |
|||
|
|
|
|
г* |
|
|
Г* |
(2.19) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Нетрудно проверить выполнение следующих свойств опе |
||||||||
ратора |
Рк: |
|
|
|
|
|
П |
|
|
о (і=^/г), |
|
|
|
|
|
||
РіРк = |
Р\ = Р к |
( k = \ , .... л); |
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
(2.20) |
которыми характеризуются операторы параллельного про |
||||||||
ектирования. |
|
|
|
|
|
|
|
|
Проекторы Рк проектируют исходное пространство Сп в |
||||||||
инвариантные подпространства Ск = РкСп, при этом спек |
||||||||
тром оператора^ в СІ является ак (А). |
|
|
||||||
5. |
Корневые |
и |
собственные |
подпространства. Пусть |
||||
спектр а (Л) состоит из k собственных значений Яь ..., Хк, которые полагаем изолированными точками спектра матри цы А. Пусть алгебраическая кратность каждого собственно го значения Я/ равна щ. Тогда существует базис, состоящий
из k |
групп |
векторов |
|
|
|
|
|
|
|
<?і, • • • |
, саі, fi, |
. . . |
, fa2, |
• • • . |
hi, .. . , |
h<xk, |
(2.21) |
в котором преобразование Л имеет вид |
|
|
||||||
А ві |
— Я ^; |
Ле2 — |
-f- |
Я ^; |
. . . ; |
A eai — £а,—i + |
|
|
' T ZI / |
— |
= |
/ 1 |
+ |
^ 2 i/ 2 |
Afa> 3•~• |
/• 2а—1 + |
^ г / o s . ’ |
Ashi —Я^/^2, |
c/Z/^2 ~ |
-f" |
Я/j/Zg, . • • , |
A hak= ha^—l ~T2 |
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
(2 .2 2 ) |
2 Ю. А. Митропольский, О. Б. Лыкова |
|
|
|
|
||||
34 ГЛ. I. В В Е Д Е Н И Е
Базисные векторы каждой группы при преобразовании переходят в линейную комбинацию векторов той же груп пы, т. е. каждая группа базисных векторов порождает под пространство, инвариантное относительно преобразова ния Л . В каждом из этих подпространств имеется, с точнос
тью до множителя, лишь один собственный |
вектор. Так, |
в подпространстве, порожденном векторами еи |
..., ер, таким |
собственным вектором является ві. |
|
Клетка матрицы, соответствующая данной группе век
торов, имеет вид |
|
|
|
|
0 |
Я, |
1 |
0 |
. . |
0 |
|
0 |
ях |
1 |
. . |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
. ■ к |
1 |
|
0 |
0 |
0 |
. .. |
0 |
к |
Вся матрица А оказывается составленной из таких кле |
|||||
ток соответственно порядков а ь а2, ..., ak. |
|||||
Размерность инвариантного подпространства С£-, по |
|||||
рождаемого группой векторов, |
соответствующей собствен |
||||
ному значению Я/ алгебраической кратности а/, совпадает с этой алгебраической кратностью. Подпространство Са)
называется корневым подпространством, соответствующим собственному значению Я/ алгебраической кратности а,-.
Если алгебраическая кратность собственного значения Я/ равна 1, то ему будет соответствовать лишь собственный вектор, присоединенные элементы отсутствуют. Этому соб ственному значению будет соответствовать одномерное инва риантное подпространство, порожденное соответствующим собственным вектором.
Если все собственные значения Яь ..., Яй имеют алгебраи
ческую кратность, равную 1, то пространство Сп распада ется в прямую сумму одномерных собственных подпро
странств
сп= с?+ ... + а
Собственному значению Я/ алгебраической кратности щ будет соответствовать ссу одномерных инвариантных под пространств (собственных подпространств), если эта ал гебраическая кратность совпадает с геометрической крат ностью собственного значения Я/. В этом случае инвариант-
§ 2. С В Е Д Е Н И Я ИЗ Л И Н Е Й Н О Й А Л Г Е Б Р Ы И А Н А Л И З А |
35 |
ное подпространство Сау распадается в прямую сумму а/
одномерных собственных подпространств.
6. Норма матрицы, интеграл, производная. Под нормой матрицы Л = (aik) понимается неотрицательное число ||Л||, удовлетворяющее аксиомам норм:
И + Я К И І -И Я Ц ; Ц Л В К И Ц -И !; 1аЛ 1 = а 1Л|.
(2.24)
Имеются различные способы определения норм:
IIЛI = max Уі I aik |; i k
||Л || = max 2 I aik |; k j
1ЛI = |
I |
~ (‘5рЛ*Л)1/* (евклидова норма). |
Заметим, что, вообще говоря, в задании норм имеется большой выбор. Однако при рассмотрении конечномерных матриц все нормы применимы в одинаковой мере.
Если элементы матрицы Л = (аік) являются дифферен цируемыми функциями aik (t) скалярного аргумента t, то пишут
|
= |
|
|
|
|
|
(2.25) |
Интеграл от матрицы Л (т), t{ < |
т < |
t.2, |
определяется по |
||||
средством выражения |
|
|
|
|
|
|
|
] Л (т) dx = |
И аік (т) dx\ |
(і — 1......... m; |
k = |
\ , |
, n). |
||
■о |
A |
|
|
|
|
|
(2.26) |
|
|
|
|
|
|
|
|
Рассмотрим вектор-функцию |
|
|
|
|
|
||
|
|
fi(x) |
|
|
|
|
|
|
/(*) = |
- |
|
|
|
|
|
компоненты которой /)■(х) = |
fm (X) |
.... хп) |
|
1.......т) за |
|||
// (хи |
(/ = |
||||||
висят от переменных х = |
(лу, ..., хп) |
и |
являются |
непре |
|||
рывно-дифференцируемыми |
функциями своих |
аргументов. |
|||||
2 *
86 |
ГЛ. |
1. В В Е Д Е Н И Е |
Тогда под производной |
понимается матрица Якоби |
|
Если |
и = f (х), |
и = |
(ць .... ит), |
X = (хь |
..., хп), где |
|||
X = cp (/), |
t — (tu ..., |
tp), |
причем f(x) |
и ф (t) |
непрерывно |
|||
дифференцируемы, |
то |
получаем |
|
|
|
|||
duj |
П |
|
|
|
|
|
|
|
\ ди/ dx |
(/ = 1, |
m\ |
k |
P). |
||||
dth |
S=1 |
dtk |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
или, используя правило умножения матриц,
du |
ди( |
dxs |
dt |
dxs |
dth |
T. e.
duj dxj dxh
d |
f(x(t)) = f'(x) dx |
dt |
dt |
Применяя известную формулу Ньютона — Лейбница
i(x + u ) - m = \ j t t £ ± l ± da,
о
согласно изложенному выше правилу дифференцирования сложной функции, для матрицы (2.27) можем написать
а^ х + аи)- = ф (х + аи)и, |
|
откуда получаем |
|
г 1 |
|
f(x + aw) — /(х) = £ Ф (х + aw) da и |
(2.28) |
(лемма Адамара).
7.Лемма Гронуолла — Веллмана. Пусть на полупрямой
[/0, оо] определены две непрерывные функции и (I) |
0 и |
} (0 >■ 0, причем при t^ > tü выполнено неравенство |
|
