Файл: Митропольский Ю.А. Интегральные многообразия в нелинейной механике.pdf
ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 10.04.2024
Просмотров: 268
Скачиваний: 1
244ГЛ. V. ИССЛЕДОВАНИЕ ОКРЕСТИПОЛОЖЕНИЯ РАВНОВЕСИЯ
Те о р е м а 3.1. Пусть относительно уравнения (3.1) выполняются условия, приведенные на стр. 240.
Тогда можно указать такое положительное |
&' (&' С |
<. ех <; е0), что для любого положительного е < |
е' урав |
нение (3.1) имеет двупараметрическое интегральное много образие S t, представимое соотношением вида
х = Ф (/,g, Г.е), |
(3.18) |
где, согласно формулам перехода к новым переменным,
ПП
|
5і = |
2 |
It = 2 bkxk, |
ck + ibk = dk, |
||
|
|
k—\ |
k=\ |
|
|
|
при |
этом вектор-функция Ф (t, g, |
g*, |
е) |
определена для |
||
t £ R, г £ Ее- |
и любых конечных значений g |
и g*. |
||||
На интегральном |
многообразии S t |
исходные уравнения |
||||
(3.1) |
эквивалентны |
двум уравнениям |
вида |
|
||
(t, l, g*. е).
(3.19)
=+ eQ, (/, g, Г. e).
-й которых функции*) |
|
((, g, g*, е) = |
((, g, g*, / (/, |
g, |
|
Г . е)), |
Q, (/, g, Г . е) |
= |
Q (f, g, Г , f (t, |
g, g*. e)) ол/ю&ле- |
|
ны для |
любых конечных значений g, g*, для t £ R, г £ Ее- |
и |
|||
являются непрерывными, 2п-периодическими по t. Интегральное многообразие St притягивает к себе лю
бые решения уравнения (3.1), при этом выполняются сле
дующие |
неравенства: |
|
|
|
|
|
|
|
|
I * (0 - Ф (t, g, Г, е) I < |
Сл ( |
в |
) |
(3.20) |
|
|
dl |
Йоg — |
(/, g, g*, e) |
< C 2(e) |
|
|
|
|
dt |
|
(3.21) |
||||
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
< C 3(e) |
|
||
^ |
* - + m F - E Q |
f ( t , g,g*, e) |
|
|
|||
З а м е ч а н и е 3.1. В отличие от теоремы 2.1, где притяжение решений к многообразию выполняется лишь для решений X (0, начальные значения которых принадлежали
*) А = / (?, I, g*. е) — представление интегрального многообразия уравнений (3.17).
§ 3. МНОГООБРАЗИЯ УРАВНЕНИЙ, БЛИЗКИХ К ЛИНЕЙНЫМ 245
достаточно малой окрестности DPl, в рассматриваемом случае указанное свойство притяжения выполняется для любых конечных значений х (t).
4. Исследование структуры решений уравнений на мно гообразии. Рассмотрим уравнения (3.19), к которым сво дится исходное уравнение (3.1) на двупараметрическом
многообразии S t. Пусть период |
функций |
(t, g, £*, |
в), |
Ql (t, g, £*, e) равен T — 2л/со. |
Предположим также, |
что |
|
эти функции обладают ограниченными первыми производ ными по I, £*.
Наряду с уравнениями |
(3.19) |
рассмотрим |
уравнения |
|
4 - = |
іо,?. |
JSL = |
- I a ? . |
(3.22) |
Уравнения (3.22) имеют решения |
|
|||
I = |
еіи>%, |
= |
|
(3.23) |
периодические по 1 с периодом Т = 2я/о).
Укажем условия, при которых уравнения (3.19) имеют
периодические решения I |
(t, г), £* (t, е), |
переходящие при |
« -> 0 в периодические |
решения (3.23). |
|
Для простоты запишем уравнения (3.19), (3.22) и реше |
||
ния (3.23) соответственно в виде |
|
|
Ау |
Az -f eZ (t, г, е), |
(3.24) |
— = |
||
-§ - = Л2, |
(3.25) |
|
z — eAtz0, |
(3.26) |
|
где |
|
9і |
1(0 |
2 = |
|
А = |
(3.27) |
|
—1(0
при |
этом |
матрица еАІ |
является Г-периодической, где |
||
Т = 2я/<й. |
|
|
|
|
|
Введем теперь в уравнении (3.24) вместо г новую пере |
|||||
менную у |
посредством замены |
|
|||
|
|
|
г = еАіу. |
(3.28) |
|
В |
результате |
получим |
уравнение |
|
|
|
|
= |
ee~AtZ (t, |
еА,у, е) == еУ (/, у, е), |
(3.29) |
246 гл. V. ИССЛЕДОВАНИЕ ОКРЕСТИ. ПОЛОЖЕНИЯ РАВНОВЕСИЯ
где |
вектор-функция |
Y (t, у, |
е) — Т-периодическая |
по /, |
||
Т «= |
2я/о>. |
|
|
|
|
|
Наряду с уравнением (3.29) рассмотрим соответствую |
||||||
щее ему усредненное уравнение |
|
|
|
|||
|
|
- J - = e 7 0ü/)( |
|
(3.30) |
||
где |
|
|
|
|
|
|
|
«Ѵ’0 (У) = І іт -sr- |
I Y (t, у, |
0) dt. |
|
||
|
|
Т—*■оо J |
|
|
|
|
Пусть выполняются следующие условия: |
|
|||||
1°. Существует вектор г/0, удовлетворяющий условию |
||||||
|
|
Y0(y0) = 0. |
|
(3.31) |
||
2°. Вещественные части всех п характеристических по |
||||||
казателей соответствующих уравнений |
в вариациях, со |
|||||
ставленных для решения у = |
0, |
отличны от нуля *). |
||||
Тогда применима |
теорема |
Н. |
Н. |
Боголюбова |
1.3.12, |
|
согласно которой можно указать такие положительные
постоянные е2, |
о0 (е2 < е' < ех < е0), |
что для |
каждого |
е < е2 уравнение |
(3.29) имеет одно-единственное |
Т-перио- |
|
дическое решение у* (t, е), для которого |
|
|
|
|
\y*(t, е) — у0\ < о 0. |
|
(3.32) |
При этом можно указать такую функцию 6 (е) |
0 при |
||
е -> 0, что |
\ у * { і, г ) - у 0\<д(г). |
|
(3.33) |
|
|
||
Это решение устойчиво, неустойчиво, |
условно устойчиво |
||
в зависимости от знака вещественных частей характеристи ческих показателей соответствующих уравнений в вариа циях (см. теорему 1.3.12).
Таким образом, решение у* (t, е) является искомым периодическим решением, которое при е = 0 переходит в у0. Поэтому, согласно формуле (3.28), уравнение (3.24) имеет Т-периодическое решение
______________ |
г (/, е) = |
еЛІу (t, е), |
|
(3.34) |
||||
•) Заметим, |
что |
условие |
2* |
в |
эквивалентно |
условию, что |
||
«let I — |
!=jfe 0 |
или что уравнение |
вариациях |
■=> |
(у й ) 6 у |
|||
■« имеет |
никакого Г-периодического |
|
решения, кроме |
тривиального |
||||
Ь у ■*=0.
§ 4. ПРИМЕНЕНИЕ К ИССЛЕДОВАНИЮ УСТОЙЧИВОСТИ 247
которое при |
в = 0 переходит в периодическое |
решение |
|
г*=еА% |
(3.35) |
уравнения (3.25). |
приходим |
|
Принимая |
во внимание обозначения (3.27), |
|
кзаключению, что при выполнении для уравнений (3.19) условий теоремы 1.3.12 (см. теорему Ѵ.4.1) эти уравнения бу дут обладать периодическими решениями g (t, е), £* (t, е), которые при е = 0 переходят в периодические решения (3.23). Причем эти решения соответственно устойчивы, неустойчивы, условно устойчивы в зависимости от знака вещественных частей характеристических показателей со ответствующих уравнений в вариациях.
§4. Применение метода интегральных многообразий
кисследованию устойчивости
при постоянно-действующих возмущениях
1. Основные определения. Понятие устойчивости по Ляпунову, как известно, подразумевает устойчивость по отношению к возмущениям начальных условий.
Во многих практически важных случаях приходят к рассмотрению систем, находящихся под постоянным воз действием малых возмущающих сил, учесть которые при составлении уравнений движения практически невозможно. Однако за достаточно большой промежуток времени малые силы способны совершить значительную работу и сущест венно изменить движение материальной системы.
Поэтому, естественно, возникает задача об исследовании устойчивости невозмущенного движения не только по от ношению к возмущениям начальных условий, но также и по отношению к постоянно-действующим возмущениям.
Приведем математическую формулировку данной задачи. Рассмотрим уравнения
* і |
.........*„) |
( s = 1, .. • , п), |
(4.1) |
где функции Xs (t, xl t ... |
, хп) определены в области |
|
|
|
R XА>„ |
|
(4-2) |
( Р о — достаточно малая постоянная), непрерывны, ограни чены, обращаются в нуль при хх — ... = хп — 0 и притом такие, что уравнения (4.1) в области (4.2) допускают един ственный интеграл Коши.
248 ГЛ. V. ИССЛЕДОВАНИЕ ОКРЕСТИ. ПОЛОЖЕНИЯ РАВНОВЕСИЯ
Наряду с уравнениями (4.1) рассмотрим уравнения
/ j у |
(t, хъ . . . , хп) + Rs (t, |
хп), |
(4.3) |
- f 1 = |
где функции R s (t,xu ..., х„), характеризующие постоянно действующие возмущения, определены в области (4.2), ограничены, непрерывны и не обращаются, вообще говоря, в нуль при хг = ... = хп — 0. Полагаем также, что в об ласти (4.2) уравнения (4.3) имеют единственный интеграл Коши.
О п р е д е л е н и е 4.1. Невозмущенное движение (три виальное решение хг = ... = хп — 0 уравнений (4.1)) на зывается устойчивым при постоянно-действующих возму щениях, если для всякого положительного числа в, как бы мало оно ни было, существуют два других положительных числа т)і (е) и г)2 (е) таких, что всякое решение уравнений (4.3) с начальными значениями (при / = t0), удовлетворяю щими неравенствам
I £ I < тіі (е),
при произвольных Rs, для которых в области t >• t0 | xs| •< < e справедливы условия
l#*(*. xlt .. ., Х„)|<Г)2(б),
удовлетворяет при всех t > t0 неравенству
|XS|< 8 .
Отметим, что исследованию устойчивости при постоянно действующих возмущениях посвящены многие работы, при этом основным аппаратом исследования является метод функций Ляпунова.
В данном параграфе мы исследуем устойчивость решений нелинейных дифференциальных уравнений при постоянно действующих возмущениях в одном критическом случае, используя метод интегральных многообразий.
2. Постановка задачи. Исследуем устойчивость положе ния равновесия автономной системы
- W = X(x) (Х(0) = 0) |
(4.4) |
при постоянно-действующих возмущениях, характе ризуемых функцией еК (/, х). В результате придем к
§ 4. ПРИМЕНЕНИЕ К ИССЛЕДОВАНИЮ УСТОЙЧИВОСТИ |
249 |
|||
рассмотрению уравнения |
|
|
|
|
|
- ^ - = X ( x ) + eY(t,x), |
|
(4.5) |
|
где X, X, Y — н-векторы, е — малый |
положительный па |
|||
раметр. |
критический случай, |
когда |
матрица |
А = |
Рассмотрим |
||||
= Х х (0) имеет |
спектр, расположенный на |
мнимой |
оси. |
|
Для простоты ограничимся случаем, когда этот спектр состоит из двух собственных значений, которые полагаем простыми изолированными точками спектра матрицы А. Остальной спектр о0 (Л) не пересекается с мнимой осью и расположен слева от нее.
Пусть для уравнения (4.5) выполняются все условия, сформулированные в § 1 настоящей главы (стр. 221—222),
и уравнение (4.5) |
посредством замены переменных х -> |
|
-> (I, |
g*, h) приводится к уравнениям вида (2.1). |
|
В |
§ 2 доказано |
существование двупараметрического |
локального интегрального многообразия S t уравнения (4.5), представимого соотношением (2.61), обладающего свойством притяжения траекторий любых решений уравнения (4.5), выходящих в начальный момент времени из области D(h (0) (Ра •< Рі •< Po), причем это притяжение осуществляется по закону
\ х ( і ) ~ Ф (t, |
l u l l 8) I < |
С (е, а » , ß2) в“ ** -<в) |
(4.6) |
|
до тех t, пока |gt | < |
сс2, |£*| < |
ß2. Установлено также, что |
||
поведение |
решений на многообразии S t описывается урав |
|||
нениями (2.64). |
|
|
|
|
Для решения поставленной задачи необходимо оценить |
||||
величину |
IX (t) — х01, где х (t) — любое решение уравне |
|||
ния (4.5), |
х0 = 0. |
|
|
|
Очевидно, можем написать |
|
|
||
IX(t) — х01< |
IX (0 — хм(0 1+ I хм (/) — х01, |
(4.7) |
||
где хм(t) определено посредством выражения (2.61). Для первого слагаемого в правой части неравенства (4.7) имеем
оценку |
(4.6). |
Оценим |
второе слагаемое |
|
|
К ( 0 |
- * |
о І = |
W - io |
і*>еA)-I—f (Ii*t и+ і** |
e)| (4.8) |
и одновременно найдем условия, |
при которых |
удов |
|||
летворяют условиям 11* 1< сс2, I g* I < ß2 при всех / £ R.
