Файл: Митропольский Ю.А. Интегральные многообразия в нелинейной механике.pdf

250гл. V. ИССЛЕДОВАНИЕ ОКРЕСТИ. ПОЛОЖЕНИЯ РАВНОВЕСИЯ

3.Доказательство ограниченности функции Ф (t, \it і], е). Совершим в уравнениях (2.64) замену

—статическое решение уравнений (4.11). Имеет место следующая теорема.

Т е о р е м а 4.1. Пусть для уравнений (4.10) выполня­

ются следующие условия.

1°. Для уравнений в вариациях

еР\с (0, 0) 6С + еРіс* (0, 0) 6С*.

(4.13)

eQic (0, 0)6С 4-eQic. (0, 0)6С*

оба характеристических показателя имеют отрицатель­ ные вещественные части, т. е. решение (4.12) устойчиво.

2°. Существует окрестность Un„ X Ut>„ решений (4.12), в которой функции Рх (t, (at, С, С*, г), Qx (t, соt, С, С*, е)

для каждого положительного е ■< е2 уравнения (4.10) имеют единственное решение

(4.10), находящиеся в начальный момент времени ( = t0 соответственно в окрестностях Ua„ Uв,, стремятся с

течением времени к С (t), С* (t) по экспоненциальному за­ кону

ные значения которых принадлежат соответственно окрест­ ностям U0„ Иьг, ограничены функциями

252 гл. V. ИССЛЕДОВАНИЕ ОКРЕСТИ. ПОЛОЖЕНИЯ РАВНОВЕСИЯ

при этом всегда можно выбрать такое достаточно большое

e0.

4.Теорема об устойчивости. Оценка (4.18) получена

сдругой стороны, х £ £>Ра придля

Г £ Оценка (4.6) установлена для х (t0) £ DP2.

сформулировать следующую теорему [101 ].

Т е о р е м а 4.2. Пусть относительно уравнения (4.5) выполняются условия теоремы 2.1, обеспечивающие сущест­ вование и свойства локального интегрального многообразия S t, а относительно уравнений (4.10), к рассмотрению ко­ торых сводятся уравнения, описывающие поведение решений на многообразии S t,— условия теоремы 4.1.

Тогда всегда можно указать такое достаточно малое положительное постоянное е2 и положительное постоянное р2 (е2 < 8Х< е0; р2 < рг < р0; х (t) £ Dp, при С (t) £ Uat. С* (t) £ Uб2), что для всех г < е2 любое решение уравне­ ния (4.5), начальное значение которого принадлежит окрестности DP2 (0), попадет с течением времени в Ь-окрест­ ность решения х0 = 0, которая при t -*• оо, е -> 0 стяги­ вается к х() — 0.

Г л а в а VI

НЕРЕГУЛЯРНО-ВОЗМУЩЕННЫЕ СИСТЕМЫ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ

В настоящей главе мы приведем ряд результатов [6]—[9], [47]— [53], относящихся к исследованию интегральных многообразий нере­ гулярно-возмущенных дифференциальных систем, а также ограниченных решений таких систем.

§ 1. Интегральные многообразия нелинейных нерегулярно-возмуіденных систем дифференциальных уравнений

1. Постановка задачи. Рассмотрим систему т -|- п дифференциальных уравнений

( 1 . 1 )

где х — m-вектор, z — л-вектор, / (х, z, t) и F (х, г, f) — соответственно т- и л-вектор-функции, е — малый положи­ тельный параметр.

В дальнейшем систему уравнений (1.2) будем называть вырожденной, а систему (1.1) по отношению к системе (1.2) — нерегулярно-возмущенной.

Очевидно, исследование вырожденной системы (1.2) на решении г — <p (х, t) системы F (х, г, 0 = 0 приводится к исследованию системы т дифференциальных уравнений

Поэтому естественно попытаться доказать для систе­ мы (1.1) существование некоторого соотношения г =

— W (x,t, г), позволяющего заменить эту систему экви­ валентной системой более низкого порядка.

где правая часть зависит от параметров хх,х2, ... ,хт, аргу­ мента t и малого параметра в.

Будем называть S t интегральным многообразием систе­ мы (1.1), если для всякого решения х (/, е), z (t, е) этой системы из соотношения

z(t, e) = W(x(t, е), t, г),

справедливого в некоторый момент t = t0, вытекает его справедливость для любого вещественного t и всех е < е*, где е* — некоторое фиксированное положительное число.

Если удастся построить интегральное многообразие S t, то исследование системы т + п уравнений (1.1) на этом многообразии сведется к исследованию т уравнений вида

При этом, если W (х, t, е) является регулярной функ­ цией е в окрестности точки е = 0 (что в ряде случаев удает­ ся доказать), то рассмотрение системы (1.1) сводится не толь­ ко к системе более низкого порядка, но, кроме того, к эквивалентной ей регулярной системе уравнений.

Перейдем к установлению условий существования и единственности интегрального многообразия S t.

Предположим, что для системы (1.1) выполняются сле­ дующиеусловия. ^ 1°. Для всех X £ D и / £ R, где D — открытая область

m-мерного евклидова пространства, система уравнений

имеет изолированное решение г — tp (х, /), причем функция <р (х, t), ее первая частная производная по /, частные про­ изводные по Xдо второго порядка включительно исмешанные производные по / их равномерно непрерывны и ограничены.

2°. В области