Файл: Митропольский Ю.А. Интегральные многообразия в нелинейной механике.pdf
ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 10.04.2024
Просмотров: 271
Скачиваний: 1
§ 1. МНОГООБРАЗИЯ НЕРЕГУЛЯРНО-ВОЗМУЩЕННЫХ СИСТЕМ 255
до второго порядка включительно равномерно непрерывны
и ограничены. |
|
корни |
А,- (х, t) матрицы |
|
||
3°. Характеристические |
|
|||||
|
U(x, |
t ) ~ F z (х, ф(х, О, О |
|
|||
для |
всех значений x £ D , |
t £ R |
удовлетворяют условию |
|||
|
Re {%j (х, /)} < — 2у < |
0. |
( 1.8) |
|||
2. |
Существование |
интегрального |
многообразия. |
При |
||
сделанных предположениях относительно системы (1.1)
имеет место следующая теорема [52]. |
|
нерегулярно-воз |
|||||||||||
|
Т е о р е м а |
|
1.1. Пусть |
для |
системы |
||||||||
мущенных уравнений |
(1.1) |
выполняются |
условия |
1°—3° |
|||||||||
и область D неограничена. Тогда существует такое положи |
|||||||||||||
тельное е0, что |
для |
всех положительных |
е ■< в0 |
система |
|||||||||
(1.1) |
имеет единственное т-параметрическое интегральное |
||||||||||||
многообразие |
S t, |
представимое |
соотношением |
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
г = |
ф(X, t) + |
(х, |
t, |
е), |
|
|
(1.9) |
|
в котором вектор-функция т|э (х, |
t, |
в) |
определена для всех |
||||||||||
X £ D, |
t £ R |
и |
в < е0, равномерно |
непрерывна |
по |
всем |
|||||||
аргументам |
и удовлетворяет неравенствам |
|
|
||||||||||
Ж |
* . |
е) |< Р ( е)> |
Ж |
* ' , |
е)г|5—(х ", |
t, |
е) I-С / (е) IJC' — х"\, |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
( 1. 10) |
где |
р (в) -V 0, |
/ (в) -+■0 при |
в -> 0. |
|
|
|
|
|
|||||
|
Если в области (1.7) смешанные частные производные |
||||||||||||
функции ф (х, |
t) по X |
и t до р + 2-го порядка, а частные |
|||||||||||
производные по г функций f (х, г, t), F (х, z, t), соответствен
но, до р + 1 и р + 2-го порядков |
равномерно |
непрерывны |
и ограничены, то вектор-функция г |
= ф (х, і) + |
^ (х, t, в) |
будет иметь ограниченные производные по х до р-го порядка включительно.
Д о к а з а т е л ь с т в о . Совершим в системе |
(1.1) |
преобразование с помощью замены |
|
г = ф(x,f) + y. |
( 1 .1 1) |
В результате получим следующую систему: |
|
Л(х, t)y + Q(x, у, t, в), |
(1.12) |
2 5 6 |
ГЛ. VI. Н Е Р Е Г У Л Я Р Н О - В О З М У Щ Е Н Н Ы Е СИСТЕМЫ |
где введены обозначения
|
|
Ф (.X, у, |
t) = |
f (х, ф(х, t) + |
у, |
f), |
|
|
||
|
|
А(х, |
t) = |
Fz(х, Ф (х, t), /), |
|
|
|
|||
|
Q(x, д, |
t, г) = |
F (х, ф(х, t) + g, |
О — |
|
|||||
|
— Fz(х, ф (X, |
і), |
t)g — е(ф( + фжФ), |
|
||||||
причем, как |
нетрудно показать, вектор-функции Ф (х, у, t) |
|||||||||
и Q (х, у, t, |
г) удовлетворяют неравенствам |
|
|
|||||||
Іф (*, У, 0 І < ^ . |
|Q(x, у, t, е)| < М \ у \ 2+ |
е/Ѵ, |
|
|||||||
|
IФ (x ', |
y ' , t) |
- |
Ф(X", |
у", t) I < А (I X' - |
х" I + |
|
|||
IQ(x', y', t, e) — Q(x", y", |
t,e) |< |
+ \д' — !f\), |
(1.14) |
|||||||
|
|
|
|
|||||||
|
|
< (В I у I + |
eC)(| x' — X" I + [ g' — у" |), |
|
||||||
в которых L, M, N, А, В, С — положительные постоянные, |
||||||||||
\У\ = |
m a x ( \у' I- |
IУ" I l - |
|
|
|
|
|
|
||
Рассмотрим теперь семейство «-мерных вектор-функций |
||||||||||
Y (х, |
/, е), определенных |
для всех |
х £ D, t £ R, |
е £ Е6о |
||||||
и удовлетворяющих неравенствам |
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
I Y (х, t, е) I < р0 < |
р, |
|
|
(1.15) |
||
|
IY (x', t, |
г) — Y (х", t, е) | С I \ х' — х" |
||||||||
|
|
|||||||||
где р и I — фиксированные положительные числа. Рассмотрим для некоторой функции Y (х, t, г) этого
■семейства уравнение
- § - = Ф(х, Y(x, t, е), 0 |
(1.16) |
•с начальным условием х (t0) = х0.
Так как правая часть уравнения (1.16) удовлетворяет условиям (1.14), а область D, по предположению, неограничена, то уравнение (1.16) имеет для всех ( £ R единствен ное решение, удовлетворяющее заданному начальному ус
ловию, которое обозначим |
|
x(t,e) = X{s,i0, x„\Y), где s ~ t — t0. |
(1.17) |
Если Y и Y — две функции рассматриваемого семейства и X (t, е) является решением уравнения (1.16), в котором
s i . М Н О Г О ОБ РА ЗИ Я Н Е Р Е Г У Л Я Р Н О - В О З М У Щ Е Н Н Ы Х СИСТЕМ 257
Y заменено на Y, то имеем тождественно x(t, е) — х((, е) — х0— х0+
|
і |
|
+ |
I {ф [х (Г, е), Y (х(х, е), т, е), т] — |
|
|
— Ф[*(т, е), Y (х(т, е), т, е), т]} dx, (1.18) |
|
а учитывая неравенства (1.14) и (1.15), получим |
||
\x(t, e) — x(t, |
е) ] = |
I X (s, t0, x0\Y) — X (s, t0, x0|K ) |< |
|
t |
|
< |x 0 — x0| -f A j [(1 |
+ /)\x(x, E) — X(x, e)| -f-jjF — Y\\]dx, |
|
|
to |
(1.19) |
|
|
|
где введено обозначение
IУ — K|| = sup| Y (x, t, г) — Y (X, t, 8)|.
X, t
Одновременно с неравенством (1.19) рассмотрим ин тегральное уравнение
T|W = I*O- * 0| + Л j[(l +l)r](x)+\\Y - Y\)]dx (1.20)
и |
соответствующее |
ему |
дифференциальное уравнение |
||||||
|
|
- ^ - = |
А(\ |
+ 0 Т Ң - ЛЦК-ГЦ, |
( 1.21) |
||||
|
|
•П(^o) = |
S^0 |
|
хо\- |
|
|||
|
|
|
|
|
|||||
с |
Решая это |
уравнение |
и сравнивая выражение |
( 1.20) |
|||||
неравенством |
(1.19), |
получаем |
|
|
|||||
\x(t, 8 ) |
— X(t, в) I < |
Ц |
( |
0 |
= |
|
|
||
|
= |
|х0 — * окЛ(1+° 5+ |
(еА 0+0 5 — 1). |
(1.22) |
|||||
|
Обозначим через U ((, s, е) фундаментальную матрицу |
||||||||
решений |
системы |
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
A{x,t)ix, |
u (s )= /, |
(1.23) |
|
где / — единичная матрица порядка п. Принимая во внима ние условие 3° теоремы 1.1, нетрудно показать, что для матрицы U (t, s, е) справедлива оценка
IU(t, s, е) [ •< Ке |
, |
— o o < s < « o o , (1.24) |
где / С и у — постоянные.
9 ІО. А. Митропольский, О. Б. Лыкова
258 |
ГЛ. VI. Н Е Р Е Г У Л Я Р Н О - В О З М У Щ Е Н Н Ы Е СИСТЕМЫ |
Принимая теперь во внимание, что второе из уравнений системы (1.12) может быть представлено в интегральной форме
і
y(t) = U (t, і0, е) у (g + - ^ j Н (t, s, е) Q (х (s), у (s), s, е) ds,
(1.25)
рассмотрим преобразование некоторой функции Y (х, t, е) выбранного нами семейства в функцию
Y* (X, t, е) = |
|
о |
U(t,s + t,e)Q [X(s, |
|
t, х \ Y), |
|
|
|||||||||||
4 - J |
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
Y ( X (s, t,x\ Г), s |
+ |
t, е), s + |
t, |
e] ds. |
(1.26) |
||||||||
|
Па |
основании |
неравенств |
(1.14) |
и |
(1.15) |
имеем оценки |
|||||||||||
| Q |
[ X ( |
M , |
x\Y),Y(X(s, t, X I У |
) |
) , |
s , |
е |
] | |
< |
Л |
4 І Г |
| 2 |
+ |
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
+ eJV < |
Mpo + |
£N, |
|
|||||
j Q [X (s, t, |
x \ Y ) , Y |
(X (s, t, X I У)), |
s + t, e] - |
|
|
|
||||||||||||
- |
Q ix (S, t, X! Y), |
Y (X (s, t, X I У)), s + |
|
t, £] I < |
|
(1-27> |
||||||||||||
< |
(Яро + |
eQ |
{(! + |
О I * |
(s>t, X I Y) — X (s, t,x\Y) \ + |
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
+ |
I |
|
! |
ID- |
и |
Учитывая эти неравенства, а также |
неравенства |
(1.22) |
|||||||||||||||
(1.24), |
получаем |
|
|
О |
|
V |
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
I У* ( * , |
t, |
е) I < |
(У И ро + е ( Ѵ ) - jв- |
|
jj |
- 7 * |
* |
= т ( ^ Р“ + |
е^)- |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
—со |
|
|
|
|
|
' |
|
|
|
|
IY* (х0, t, |
е) — Y* (х0, t, |
е) | < |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(1.28) |
|||||
|
|
|
О |
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
< |
( ^ P o + |
e C ) ( l |
|
+ |
|
0 |
|
| а-0 — ] x 0 j + |
|
|||||
|
|
|
|
|
|
+ |
i g |
r |
i |
j |
j |
i « |
' 4 |
- |
ds. |
(1.2Э) |
||
|
Определим теперь р0 и / как функции параметра е таким |
|||||||||||||||||
образом, чтобы Ро (е) -> 0 и / (е) -> 0 при е |
0, и подберем |
|||||||||||||||||
§ 1. М Н О Г О О Б Р А З И Я Н Е Р Е Г У Л Я Р Н О - В О З М У Щ Е Н Н Ы Х СИСТЕМ 259
«о > 0 так, чтобы для всех положительных е < е0 одновре менно имели место следующие три неравенства:
(Мро + еЛО < р0>
Д * (е )= ^ (В р 0+еС)(1 + / ) < / , |
(1.30) |
К (ßpo + еС) = /г< 1.
Тогда из неравенств (1.28) и (1.29) для всех положитель ных 8 < е0 получим
|
|
IУ* (X, |
/, е)I< |
р0 (е) < р, |
|
(1.31) |
|
I Y* ( х 0> t, е) - |
Y* ( х 0, |
t, е ) | < |
I (г) | х 0 — х 0 1 + |
k || Y — Г ||. |
|||
При Y = |
Y из |
неравенства |
(1.32) |
получаем |
(U32) |
||
|
|||||||
IY* (х0, t, в) - Y* (х0, |
е) | < |
/ (8) I х0 - |
*01, |
(1.33) |
|||
а при х0 = |
х0 приходим к неравенству |
|
|
||||
|
||Г* — К *||< £||Г — Н||, |
k < L |
|
(1.34) |
|||
Неравенства (1.31) и (1.33) обеспечивают принадлеж ность функций Y* рассматриваемому семейству, а неравен ство (1.34) гарантирует существование единственного ре
шения уравнения
о
Y (х, t, е) = -і- j U (i, s + t, е) Q [X (s, t, x) \ Y),
—oo |
|
|
Y (X(s, t, XI Y), s + |
t, e), s -f-1, e] ds. |
(1.35) |
Обозначим это решение ф (х, t, |
е) и покажем, что |
|
y = ty(x,t,e) |
(1.36) |
|
определяет интегральное многообразие для системы урав нений (1.12).
Для этого, пользуясь уравнением (1.35), запишем тож
дество
о
Ф (X, t, е) ==-і- J U (t,S + t, 8) Q [X (s, t, XIФ),
^(X(s, t, х|ф)), s + t, e] ds. (1.37)
9*
