Файл: Митропольский Ю.А. Интегральные многообразия в нелинейной механике.pdf
ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 10.04.2024
Просмотров: 272
Скачиваний: 1
260 |
ГЛ. VI. Н Е Р Е Г У Л Я Р Н О - В О З М У Щ Е Н Н Ы Е СИСТЕМЫ |
|||||
Совершая в тождестве (1.37) замену х на X (t |
— t0, t0, |
|||||
X |ф), принимая во внимание тождество |
|
|||||
|
X [s, t, X (t — 10, t0, X I ф), t, |
e] = |
X (s -f t — 10, t0, л I ф) |
|||
и вводя |
обозначения |
|
|
|
|
|
Üt |
Ф |
X I ф)» |
t, |
в), |
Xf = X. (t |
XI ф)> |
получаем |
t |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Уі = ф J U(t, |
V, е) Q [хѵ,г/ѵ, ѵ, е] dv, |
(1.38) |
||
где |
V = |
—оо |
|
|
|
|
s -f- /. |
|
|
|
|
||
Так как правая часть уравнений (1.38) дифференцируе ма по параметру t, то, учитывая уравнение (1.23), приходим
к уравнению |
|
|
|
|
8 ^df = А (Xt>о Уі + Q |
у,, t, е). |
(1.39) |
||
Поскольку по определению X (t — t0, t0, х (яр) представ |
||||
ляет собой решение уравнения |
|
|
|
|
-1 Г = Ф (xt,y„t), |
|
|
(1.40) |
|
то xt = X (t — t0, t0, X [ф) |
и yt — ф (Xf, t, |
е) есть решение |
||
системы (1.12), которое при t = t0 сводится к х, |
ф (х0, /0, е). |
|||
Принимая во внимание |
подстановку |
(1.11), получаем |
||
интегральное многообразие системы (1.1). |
|
|
||
Существование ограниченных и равномерно-непрерыв |
||||
ных производных вектор-функции |
г — ф -ф- гр |
легко уста |
||
навливается путем дифференцирования р раз формулы (1.35).
З а м е ч а н и е 1.1. Теорема 1.1 без затруднений пере носится на случай автономной системы, когда правые части системы (1.1) не зависят от времени t, а также может быть обобщена для ряда более сложных систем сингулярно возмущенных уравнений. В случае, если правые части си стемы уравнений (1.1) периодичны по t с периодом Т, то и представление интегрального многообразия (1.9) также бу дет периодической функцией с тем же периодом. То же
самое можно сказать |
и для случая почти-периодических |
и квазипериодических |
правых частей системы (1.1). |
§ I. МНОГООБРАЗИЯ НЕРЕГУЛЯРНО-ВОЗМУЩЕННЫХ СИСТЕМ 261
3.Устойчивость интегрального многообразия. Рассмот
рим систему т + п нерегулярно-возмущенных уравнений
- § - = /(* ,2 ,0 , е -§ - = Р (* ,2,0 , |
(1.41) |
и предположим, что для нее выполняются условия, сформу лированные в предыдущем параграфе, и следовательно, согласно теореме 1.1, существует m-параметрическое ин тегральное многообразие S h представимое в виде
г = ф(х, 0 + ф(х, 0 е). |
(1-42) |
Задаваясь для системы (1.41) начальными |
значениями |
О, *о> го, в общем случае не лежащими на многообразии S t, мы можем найти ее решение xt = * (t, и), zt = z (t, e).
Возникает вопрос: как ведет себя это решение при воз растании t, если в начальный момент оно достаточно близко к многообразию (1.42)? Покажем, что если в начальный мо мент решение достаточно близко к многообразию, то при определенных условиях оно будет с возрастанием t асимп
тотически стремиться |
к многообразию. |
|
|
||
Будем рассматривать преобразованную систему урав |
|||||
нений (1.12), эквивалентную системе (1.41), |
|
||||
-§ - = Ф (x,y,t), |
e - ^ - = |
A(x,i)y + Q(x,y,t,e) |
(1.43) |
||
с начальными |
условиями |
х (t0) = х0, |
у (t„) = |
г (і0) — |
|
— cp (х0, tn) = |
2 0 — гп — у0. |
Обозначим |
решение системы |
||
(1.43), удовлетворяющее этим начальным условиям, хи у,. Имеет место следующая теорема 1521.
Т е о р е м а 1.2. Пусть для системы уравнений (1.43) выполняются сформулированные выше условия (см. стр. 254 — 255). Тогда, если в начальный момент t — tg у0 достаточно мало, то при t - > оу,о асимптотически стремится к инте гральному многообразию системы (1.43), т. е. инте гральное многообразие этой системы асимптотически устойчиво.
Д о к а з а т е л ь с т в о . |
Покажем сначала, |
что |
ес |
||
ли у0 удовлетворяет условию К\ упI <1 у* С Р, где у* — |
|||||
достаточно |
малое положительное |
число, то \yt \ С |
у* |
для |
|
всех t > t0. |
Действительно, |
так |
как хи yt — решения |
си |
|
стемы (1.43) с начальными условиями xt = х0, yt = |
у0 |
при |
|||
262 ГЛ. VI. НЕРЕГУЛЯРНО-ВОЗМУЩЕННЫЕ СИСТЕМЫ
t = t0, |
то имеем |
тождественно |
|
|
|
|
|
|
|
t |
|
|
|
yt = |
U (t, t(» Е)Уо + - ~ - ^ и (*. s- e)Q (xs, ffs, s, e) ds, |
(1.44) |
||||
|
|
|
tn |
|
|
|
а также оценку |
|
|
|
|
|
|
Ы < е |
К |
О |
еУѴ)(1 — е |
--jr <*-'«> |
||
У + ~ |
(Л4Ро(е) + |
Е |
), |
|||
|
|
|
|
|
|
(1.45) |
справедливую для всех положительных г < е.
для |
Подберем |
теперь |
такое положительное |
ех <с е, |
чтобы |
|||||
всех |
е < |
ех |
выполнялось |
неравенство |
|
|||||
|
|
|
- у |
(Л4ро(8) + |
|
еА^)<у*, |
|
(1.46) |
||
что возможно, так как р0 (е) |
0 при е -> 0. Тогда, мажори |
|||||||||
руя |
правую часть |
выражения |
|
(1.44), |
получаем |
|
||||
|
|
|
|
I |
1< У*1 |
|
t > t 0. |
|
|
(1.47) |
Рассмотрим следующие тождества: |
|
|
|
|||||||
|
|
г ~Ш~ = |
А (Хь Ъ У і + |
Щ х ь |
Уі ’ |
е)> |
(!-48) |
|||
е ^ |
= А (xt, f) ф (xt, t, |
е) + Q (xt, -ф(xt, t, e), t, e), |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(1.49) |
первое из которых справедливо на основании того, что xt,
yt — решение |
системы |
(1.43) |
с |
начальными условиями |
|||
xt — х0, yt = |
у0 при t = t0, а |
второе — на основании того, |
|||||
что |
хь ф (xt, |
t, е) удовлетворяют системе (1.43). |
|||||
|
Вычитая тождество |
(1.49) |
из |
(1.48), получаем |
|||
d |
[ y t — ф (xt, |
t, |
8 )] |
А (xt, t) \y, — ф (xt, t, 8)] + |
|||
|
dt |
|
|
||||
|
+ |
Q (Xt, yt, t,e) — Q (xt, Ф (xt, t, 8), t, e), (1.50) |
|||||
|
|
||||||
или в интегральной форме:
Уі — А> (xt, t, г) = U (t, t0, e) ly0—ф (x0, t0, e)] +
t
+ ~T S U V’s>8) |
У*' s>e) ~~Q(xb’ |
s>8). s. e)] ds, (1.51) |
§ 1. МНОГООБРАЗИЯ НЕРЕГУЛЯРНО-ВОЗМУЩЕННЫХ СИСТЕМ 263
откуда следует оценка |
|
|
|
|
|
|
|
|
I yt —4 (+, О е) I < |
Ke |
V |
I Уо —4 |
' (х0, t0, е) | + |
|
|||
|
t |
|
|
4 (xs>s>е) I ds. |
|
|||
Н—г- (ßpo (е) + |
еС) f е |
|
|
I Us |
(1.52) |
|||
8 |
i . |
|
|
|
|
|
|
|
Сопоставляя неравенству (1.52) интегральное уравнение |
||||||||
i}(t) = Ke |
\у0 — 4(*о> + |
е)| + |
|
|
|
|
||
|
|
|
|
* _ JL ц_(0) |
|
|
||
+ ~ |
(ß Po (ß) + |
eQ |
j e |
8 |
r}(s)ds, |
(1.53) |
||
где г| (t0) = К \Уо — 4 |
(*о> |
0. |
е) I. |
выбирая |
е2 > |
0 так, |
||
чтобы выполнялось соотношение |
|
|
|
|
||||
у — К (Вр0(в2) + |
е2 С) = |
, |
|
(1.54) |
||||
после ряда выкладок для всех положительных |
е < е2 |
|||||||
получим неравенство |
|
|
|
|
-у-Й -'о) |
|
||
|
|
|
|
|
|
, (1.55) |
||
\ У і ~ 4 0 + О е )|< /С | г/0 — 4(х0, t0, г)\е |
|
|||||||
которое и доказывает утверждение теоремы 1 |
.2 . |
|
||||||
Чтобы перенести этот результат на решения системы (1.41) с начальными условиями х0, г0, t, запишем зависимости
|
Zt |
ф (-+ 0 + Уti z0= |
ф (х0, g + |
Уо, I |
|
|||
|
г (xt, t, е) = ф (xt, 0 + 4 (Xt, Oe), |
I |
(1.56) |
|||||
|
г (х0, t 0, е) — ф (х0, g + |
4 (+, |
0. в), |
J |
|
|||
из |
которых |
получаем |
неравенство |
|
|
|
|
|
|
\zt — z(xt,t,e,)l<CK\z0 — z(x0, t 0,e)\e |
. |
(1.57) |
|||||
|
Согласно |
этому неравенству, |
если |
Zta = г0 достаточно |
||||
мало, то при |
t -*> оо вектор zt экспоненциально стремится |
|||||||
к |
интегральному многообразию |
2 |
cp |
(х, |
t) + 4 (ч |
0 е) |
||
системы (1.41). |
= ф (х, t) |
+ 4 |
(х, t, |
е) система т +- |
||||
+ |
На многообразии z |
|||||||
я уравнений (1.41) |
эквивалентна системе я уравнений: |
|||||||
|
|
(jy |
|
|
|
|
|
|
~ d T ~ f ( x ’ Ф ( х > 0 + 4 (X, 0 е), 0- |
(1.58) |
