Файл: Митропольский Ю.А. Интегральные многообразия в нелинейной механике.pdf
ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 10.04.2024
Просмотров: 275
Скачиваний: 1
264 ГЛ. VI. НЕРЕГУЛЯРНО-ВОЗМУЩЕННЫЕ СИСТЕМЫ
§ 2. Интегральные многообразия нелинейной нерегулярно-возмущенной системы дифференциальных уравнений в общем случае
Впредыдущих параграфах для системы (1.1) было доказано сущест вование единственного m-параметрического интегрального многообра зия St и установлены его свойства. При этом существенным ограничением являлось требование, чтобы все собственные значения матрицы А (t, х ) удовлетворяли условию (1 .8 ).
Вданном параграфе мы также рассмотрим вопрос о существовании
исвойствах m-параметрического интегрального многообразия нерегу лярно-возмущенной системы (1 .1), однако при более общих ограниче
ниях на спектр матрицы А ((, х ) .
1. Основные предположения. Будем |
рассматривать |
сле |
|||||||||||
дующую систему уравнений: |
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
~âr = f(x’ У- |
е). |
|
|
|
|
( 2 . 1) |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
е ~сW = = A { t ' Х^У + |
g ( x ’ У< |
е ) ’ |
|
|
|
|||||||
где X, f — m-векторы, у, g — |
п-векторы, |
А |
(t, х) — |
(п |
X |
||||||||
X п)-матрица, е — малый положительный параметр. Пусть |
|||||||||||||
относительно системы (2.1) выполняются следующие |
пред |
||||||||||||
положения. |
|
/ (х, |
|
е), |
|
|
і, е) определены |
и |
|||||
1°. Функции |
у, t, |
g |
(х, у, |
||||||||||
непрерывны в области |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
x £ D , |
I у \ < р < р 0, |
t£R, |
е < е 0, |
(2.2) |
||||||||
где D — открытая |
неограниченная область, |
е0, р0 — по |
|||||||||||
ложительные постоянные. |
|
|
|
|
|
|
|
s) |
|||||
2°. В области (2.2) функции / (х, у, t, е) и g (х, у, |
t, |
||||||||||||
удовлетворяют |
неравенствам |
|
|
|
|
|
|
|
|||||
\f(x, У, |
t, |
е )|< С 1, |
lg-(л:, 0, t, |
е)|< ц (е), |
(2.3) |
||||||||
где Cj > 0, |
а ц (е) ->- 0 при е -> 0. |
t, е) удовлетворяют |
|||||||||||
3°. Функции f |
(х, |
у, t, |
е) и g (х, у, |
||||||||||
в области |
(2.2) |
условиям |
Липшица |
|
|
|
|
|
|||||
I f (x', y', t, e) — f (x\ |
y", t, e) | < |
k (| x' — x"\ + |
1у ' — у" |), |
1 |
|||||||||
I g {x', y', t, |
e) — g ( x 7 , |
y", t, |
e)|<Ä,(| х' ~ х " \ |
+ \ у ' — У" | ) , |
1 |
||||||||
где k > 0, |
а к = к (г, р) -> 0 |
|
|
|
|
|
(2.4) |
||||||
при s |
-> 0, |
р |
0. |
|
|
§ 2. ОБЩИЙ СЛУЧАЙ |
265 |
4°. Функции А, At -f A xf непрерывны *) в области (2.2), ограничены и, кроме того, вещественные части всех соб ственных значений матрицы А удовлетворяют неравенствам
Re Я* (Л) |
< — ах |
( і = 1 , |
. . . . г); |
|
|||
Re Кс(А) ,> а 2 |
(і = |
г + |
1, |
... , п), |
[ } |
||
где « і (г = 1, |
2) — положительные |
постоянные. |
|
||||
2. Теорема о существовании интегрального многообра |
|||||||
зия системы (2.1). |
[6]. |
Пусть |
относительно |
системы |
|||
Т е о р е м а |
2.1 |
||||||
(2.1) выполняются условия |
1°—4°. |
|
|
|
|||
Тогда можно указать такое положительное число е0 <с |
|||||||
< 8Х, что для всех г < |
е0 система (2.1) |
имеет т-параметриче- |
ское интегральное многообразие S t, представимое соотноше
нием у — ф (х, |
/, |
е), |
где вектор-функция ф (х, /, е) |
опреде |
|||||||||
лена для всех |
X £ D, |
і £ R, |
|
eg Е£о, |
непрерывна |
по |
t и, |
||||||
кроме |
того, |
|
Ж * , t, |
e ) |< p ( e ) < Pl, |
|
|
(2.6)г |
||||||
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
I ф (x', |
t , e ) ~ |
яр (х", t, |
е) | < |
А (е) | х' — х" |, |
|
(2.6)2 |
|||||
где |
р (е) -> О, |
А (е) -> О |
при |
е -> 0. |
|
|
мето |
||||||
да |
Д о к а з а т е л ь с т в о . |
|
Воспользуемся схемой |
||||||||||
доказательства, изложенного |
в |
§ 1. |
Обозначим |
через |
|||||||||
С (р, |
А) класс |
/г-мерных вектор-функций |
Y (х, і) **), опре |
||||||||||
деленных в области |
x £ D , |
|
t £ R , |
непрерывных |
по ( и |
||||||||
удовлетворяющих |
в этой |
области |
неравенствам |
|
|
||||||||
I Y(x, |
t) |< р < р 1; |
I Y(x', |
t) — Y (x", t) | < A | x ' - x " | , |
(2.7) |
|||||||||
где p, |
px и А — некоторые положительные числа. |
|
|
||||||||||
|
Для некоторой |
функции |
Y (х, |
t) £ С (р, А) рассмотрим |
|||||||||
уравнение |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
~ZT~f(x, Y (X, |
t), |
t, е), |
|
X (t0) = х0. |
|
(2.8) |
Так как область D неограничена, а вектор-функция f ограничена, непрерывна по t и удовлетворяет условию Липшица
\f(x',Y {x', t), t, г) — f (x, Y (X, t), / , £ ) ( <
<k{\x' — x \ + IY {x',t)— Y {X, /)|)< £ (1 + A) \x' — x|,(2.9)
*) Непрерывность везде понимается в смысле равномерной непре рывности.
**) Зависимость вектор-функций У (х, t) от е не указываем ради про стоты.
266 ГЛ. VI. НЕРЕГУЛЯРНО-ВОЗМУЩЕННЫЕ СИСТЕМЫ
то уравнение (2.8) имеет единственное решение на всей действительной оси. Обозначим его символически в виде
|
x{t) = |
X{s,t0, x 0\Y), |
s = t— t0. |
|
|
Если |
функции Y (х, |
і) |
и Y' (x', t) |
принадлежат |
классу |
С (р, |
А), то, в силу (2.7), |
|
|
||
|
I Y'(x', t) — Y (х, |
0 / < Д | * ' — xj + l Y ' — Y\\, |
(2.10) |
||
где |
|
|
|
|
|
\\Y' — Y\\ = sup I Y' (x, t) — Y (x, t)\.
X,І
Из уравнения |
(2.8) следует |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
t |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x' (/) — X (t) = XQ— *0 + |
j”{/ {x'(T), Y {X' (T), T),T, e)— |
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
in |
|
— f(x (T), Y {X (T), |
T), T, 8)} dx. |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
Мажорируя правую часть полученного уравнения с уче |
||||||||||||||||
том |
неравенств (2.9) и |
|
(2.10), |
получаем |
неравенство |
|||||||||||
где |
обозначено |
|
11 |
|
{0 < |
Л W |
+ Я. |
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
t |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
11 (0 = \х’ (0 — x{t)\, |
|
R = k \ |
[(1 + |
А) т](т) + |
\\Y' — Y II] dx. |
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
К |
|
|
|
|
|
|
|
|
В силу |
введенных |
обозначений |
имеем |
|
|
|
||||||||||
|
- ^ - < * ( 1 |
+ |
А) [Л (^о) 4- 7?] + |
^ I |
I |
К | |
| . |
|||||||||
поэтому |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
_d_{Re-k ( I + Д ) 1) < |
|
[k (1 |
|
+ |
Д) л (g |
+ k \ r - Y |
Id е~к(І+Л) |
|||||||||
Интегрируя это неравенство и принимая во внимание обо |
||||||||||||||||
значения, |
получаем окончательно |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
\х' (0 — * |
( 0 = | r |
i |
( |
/ |
) |
< |
| |
x |
o |
- |
* |
o |
k |
* ( 1 + A , , s | |
+У — Дк|1 [ek (|+Д> l sl — 1]. (2.11)
3.Вспомогательная лемма. Для завершения доказатель ства теоремы воспользуемся следующей леммой.
|
|
|
§ 2. ОБЩИЙ |
СЛУЧАЙ |
|
|
|
267 |
||
|
Пусть дана однородная |
система |
|
|
|
|
||||
|
|
|
E ^ - = A(t,X(t))u. |
|
|
( 2. 12) |
||||
Пусть |
/„, /, — единичные матрицы порядков п и г соответ |
|||||||||
ственно, Р = |
diag [Iг; |
0]. |
|
|
|
|
|
|
||
Л е м м а |
2.1. Если выполнены условия 4°, то сущест |
|||||||||
вуют такие положительные числа е2, |
N, |
у (е2 •< е^, |
что |
|||||||
для |
каждого |
положительного значения |
е << е2 |
система |
||||||
(2.12) |
имеет |
фундаментальную |
матрицу |
решений |
U (t) |
|||||
такую, |
что матрица |
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
U (t, t0) = U(t) PU~l (Q |
|
при i0< t, |
|
|
||||
|
|
U(t, t0) = U(t)(P — In)U - l {t0) |
при |
t0> t |
|
|
||||
удовлетворяет |
условию |
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
\U(t, g | < y v e“ Tlsl, |
|
s = t — tQ, |
(2.13) |
|||||
для всех действительных t, s. |
лемма следует из теоре |
|||||||||
|
Д о к а з а т е л ь с т в о . |
Эта |
||||||||
мы 3 работы 173]. Действительно, |
положив в системе (2.12) |
|||||||||
t = |
ет, |
получим |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
~ |
= А{х (ет), ет) и. |
|
|
(2.14) |
Принимая во внимание условие 4°, нетрудно убедиться, что матричная функция А (і) = А (х ((), t) непрерывна по t. Следовательно, она непрерывна и по т. Аналогично убеж даемся в непрерывности А' (х, у, t, е) как функции т при
х = х(ех), |
у — У (л: (ет), ет), |
t — гт. |
Из условия 4° следуют неравенства: |
||
\А (х(ех), ет) |< с 2; |
|
|
dt А (X(ет), ет) | < |
е | А' (х (t), Y (х (/), |
t), t, е) < На |
значит, для малых значений е существует фундаментальная матрица U (ет) решений системы (2.14), удовлетворяющая условиям
I U (ет) P U ^ (ет0) | < Ке~ |
(х- г"), |
т > |
т0; |
IU (ет) (Р - Іп) U- 1(ет0) | < L e ^ |
™ , |
х < |
т0, |
268 |
ГЛ. VI. |
НЕРЕГУЛЯРНО-ВОЗМУЩЕННЫЕ |
СИСТЕМЫ |
|
||
где о < |
< |
min (а, ß), а |
положительные |
постоянные К |
||
и L зависят лишь от с2, а -f |
ß, е. Полагая в этих неравенст |
|||||
вах |
|
|
|
|
|
|
N ---■max (К, |
L), |
у = min (a — Pu ß — Pi), |
т = |
, |
||
получим оценку |
(2.13). |
|
|
|
||
Заметим, что при t — tn |
|
|
|
с: |
1 О |
а при t ф. t0
0) = 4 |
(2.15) |
dU (t, /„) |
а |
(х (/), t)U(t, g ; |
(2.16) |
|
dt |
||||
|
|
|
||
3 а м е ч а н и е 2.1. В |
работе [221] показано, |
что |
||
утверждение леммы 2.1 справедливо и в том случае, |
когда |
матрица только равномерно непрерывна, ограничена и вещественные части всех ее собственных значений удовлет
воряют |
неравенствам |
(2.5). |
|
|
|
|||||
4. |
|
Продолжение доказательства теоремы 2.1. Рассмотрим |
||||||||
теперь преобразование |
функции Y (х, і) £ С (р, А) в функ |
|||||||||
цию |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
оо |
|
|
|
|
|
|
|
|
SY = |
— |
j |
U ( t , t + s ) g [Л (s, |
t, X I Y), |
|
|
||||
|
|
— CO |
|
Y {X (s, |
t, XI Y), t -j- s ) , t -f- s , e] ds. |
(2.17) |
||||
|
|
|
|
|||||||
Так |
как |
из |
условий |
2°, |
3° |
и неравенства |
(2.10) |
следует |
||
і g(x, |
у, |
Uе ) |
I < |
I g (х, у, |
t, е) — g (X, 0, t, е) j |
+ |
|
|||
|
|
|
|
+ |
\g(x, 0, t, в) |< - \ |г / | |
+ р(е), |
(2.18) |
|||
I g (x', Y' |
(x', |
t), |
e) — g (X, Y (X, |
t), e) I < |
|
|
||||
|
|
< 4 1 * |
* | H- |
| ^ |
(* >t) — 'A(*> 0 1) < |
|
||||
|
|
|
|
< 4 |
1 |
+ |
A)|*' — *1 + 4 Y' — Y l |
(2.19) |
то, мажорируя правую часть выражения (2.17) с учетом неравенств (2.7), (2.13) и (2.18), получим