Файл: Митропольский Ю.А. Интегральные многообразия в нелинейной механике.pdf
ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 10.04.2024
Просмотров: 274
Скачиваний: 1
§ 2. ОБЩИЙ СЛУЧАЙ |
269 |
Учитывая неравенства (2.11), (2.13) и (2.19), из выражения
(2.17) |
получим |
|
|
| S |
K ' - S r | < ~ { ( l + |
Д ) | х ' о - х 0 | + |
|
|
+ \Y |
• У I I ! |
^ - + / г ( 1 + Д > ) I s I ds. (2.21) |
Определим теперь р и А как функции параметра е, |
|||
так, |
чтобы |
А(е)->-0 при е->0 |
|
|
р(е)-ѵО, |
||
и чтобы для всех положительных е < е0 < |
е2 выполнялись |
||||||||
неравенства: |
|
|
|
|
|
|
Ч |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
— |
^ |
е’ 9(8))Р(£) |
ц(е)} < р (е ); |
|
||||
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
^ (1 + |
А (е)) |
» |
( 2.22) |
|
|
|
|
|
|
+ |
A(e)i<A (в). |
|
||
Тогда |
получим |
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
I SY I < |
р (е), |
|
(2.23) |
|
|
ISY' - S Y |
I < |
Д (е)[ 1хо - |
*01+ |
|
(2.24) |
|||
В |
частности, |
при |
Y ’ = Y |
имеем |
|
|
|||
|
ISY |
(х'о, t) — SY (х0, 0 | <A(e)|xö — х0\, |
(2.25) |
||||||
а при л'о = х0 |
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|S T '- S V '|< 7 ^ | L |
j.|K '_ v '|. |
(2.26) |
|||||
Согласно |
неравенствам (2.24) |
и (2.25) |
SK £ С (р, А), |
||||||
а согласно |
неравенству (2.26) |
отображение 5F |
является |
||||||
сжимающим. Поэтому на основании принципа сжатых отоб ражений уравнение
Y = SY |
(2.27) |
имеет единственное решение
Y — ф (х, t, е).
270 ГЛ. VI. НЕРЕГУЛЯРНО-ВОЗМУЩЕННЫЕ СИСТЕМЫ
Это решение может быть найдено методом последовательных приближений
Уо = 0, Ya+l = SYn (п — 0, 1 , 2 , . . . ). |
(2.28) |
Покажем, что Y = ф (х, t, е) определяет интегральное многообразие системы (2.1) с указанными свойствами.
С этой целью, подставляя в уравнение (2.27) его реше ние, получим тождество
©о
of (X, t, е) = ~ j и (t, s + t)g {X (s, t,x I ф),
—oo
ф [X (s, t, x) I ф), / -f- s, e], t + s, e} ds. (2.29)
Заменим x на X (t -f t0, tQ, x |ф) и используя равенство X (s, t, X(t — t0, t0, XI ф) 14jj) = X (s + t — 10, t0, XI Tj5),
перепишем тождество (2.29) в виде
oo
Уі= ~ |
j u (t, v)g(xv, yv, v, e) dv, |
(2.30) |
|
—oo |
|
где обозначено |
|
|
V= s + t, |
|
|
xt = |
X ( t ~ t0, t0, X1 1(5) , |
|
yt =ty(X(t — t0, tn, х|ф), t, e).
Дифференцируя тождество (2.30) no l, учитывая со отношения (2.15) и (2.16), получаем окончательно
e n fL ~ А (1’ х<)У* + § |
Уь U8)- |
Поскольку xt = X — t0, х|ф) представляет собой ре шение системы
=Уь t. «X
то xt — X (t — i0, to, *|Ф) и yt = ф (xt, t, e) есть решение системы (2.1). которое при t = t0 сводится к г, if (х, t, е). А это означает, по определению, что соотношение
|
У= Ф (X, t, е) |
|
|
представляет |
интегральное |
многообразие |
системы (2.1), |
где функция |
ф {х, t, е) |
непрерывна по |
t и согласно |
§ 2. ОБЩИЙ СЛУЧАЙ |
271 |
неравенствам (2.23) — (2.25) удовлетворяет всем остальным
условиям теоремы 2.1. |
вытекает, что на |
С л е д с т в и е 2.1. Из теоремы 2.1 |
|
интегральном многообразии S t система |
(2.1) эквивалентна |
уравнению |
|
- = f(x, г|)(дс, /, e),t, е).
5. |
Устойчивость |
интегрального многообразия. |
Наряду |
||||
с системой (2.1) рассмотрим интегро-дифференциальную |
|||||||
систему |
|
|
|
|
|
|
|
|
— / ixt>Уь |
8)> |
^ -'> ^о> |
xt — хо Для t |
t0, |
|
|
|
|
|
|
со |
|
(2.31) |
|
|
yt = U{t,t0)a + - ± - \U(t,s)g (xs, ys, s, e) ds, |
|
|||||
где а — произвольный «-мерный вектор, t > |
t0. |
|
|||||
Докажем |
следующую лемму |
[6]. |
|
|
|||
Л е м м а |
2.2. Можно указать такие положительные |
||||||
постоянные |
е, о0, |
(е С е0, сг0 С <*і ■< Pi), |
что для |
всех |
|||
действительных |
t и |
е < е |
система |
(2.31) |
имеет решение |
(х(, yt) такое, |
что |
если |
x0 £D, |
| а [ С |
сг0, то xt £D, |
\yt \ <С оі при всех t > |
tn. |
Рассмотрим |
преобразование |
||
Д о к а з а т е л ь с т в о . |
|||||
функции Y (х, t) £ С (р, А) в функцию |
|
||||
TY = U (t, t0) а + — |
j V(t,t-\-s) |
X |
|
||
X g {X (s, t, x\Y), Y [X (s, t, X I Y), t + s], t 4- s, e} ds. (2.32)
Мажорируя правую часть этого выражения с учетом неравенств (2.13) и (2.18), получим
|7Г[<УѴе Ё<< '0>|а| + Ж ( Я р + [х). |
(2.33) |
Кроме того, учитывая неравенства (2.13) и (2.19), нетрудно установить следующее неравенство:
\TY' (х0, t ) - T Y ( x 0, 0 | <
< |
&(1+ А) I х’о- *01+ КЦК' - У ||]. (2.34) |
272 |
|
ГЛ. VI. НЕРЕГУЛЯРНО-ВОЗМУЩЕННЫЕ СИСТЕМЫ |
|
||||||||||
Если, теперь |
определить р = |
р (е) -> 0 |
и |
А = |
А (е) |
О |
|||||||
при е —>- 0, то можно указать |
такие |
положительные числа |
|||||||||||
е, <т0, что при всех 0 < |
е < е, | а | < о0 и t > |
t0одновремен-. |
|||||||||||
но будут |
выполняться |
неравенства |
|
|
|
|
|
||||||
Ne |
-- |
(t—U) |
|
од/ |
|
|
р(е)]<ст1< р 1, |
|
|
||||
|
|
| а | + — [Я(е, р)р + |
|
|
|||||||||
|
|
|
2N |
М&, р) [1 + Д(е)]< А (в), |
|
|
(2.35) |
||||||
|
|
|
|
|
2N К(е, р) = kx < |
1. |
|
|
|
|
|
||
|
Тогда |
для |
0 < е < е, ] а 1с |
ст0, |
t > |
t0 |
из неравенств |
||||||
(2.33) |
и |
(2.34) |
следует |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|Г Г ( * 0, 0 - Т Г ( * 0,0|<Д|.<0 — Ы |
+ М І " — U |
I ' |
’ |
||||||||||
В |
частности, |
при хо — х |
|
|
|
|
|
|
|
||||
а |
при |
Y' = |
Y |
I ТУ' — 7Y I < |
|
IIУ' — УI), |
|
(2.37) |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
ITY (х’о, /) — TY (х0, t) I < |
А I х0— хп|. |
(2.38) |
||||||||
а |
Неравенства (2.36) и (2.38) означают, |
что |
TY £ С (р, А), |
||||||||||
неравенство |
(2.37) — что |
оператор |
Т — сжимающий. |
||||||||||
Следовательно, согласно принципу сжатых отображений
уравнение |
|
Y = TY |
|
|
(2.39) |
||
|
|
|
|
||||
имеет единственное решение |
|
|
|
|
|||
|
|
Y = |
u(x, |
а, t). |
|
|
|
Подставляя |
функцию |
и {х, |
а, |
t) в |
уравнение |
(2.39), |
|
получим тождество |
|
|
|
|
|
||
и(х, а, t) = |
U(t, tü)a + |
|
|
|
|
|
|
|
оо |
|
|
|
|
|
|
+ 4 " |
і U{t,t + s)g{X(s,t,x\u),u[X(s,t,x\u), |
|
|||||
б—* |
|
|
о, i “Е s], t -j- s, ej d.s. |
(2.40) |
|||
|
|
|
|
||||
Заменяя в нем x на X |
(t — t0, |
t0, xü \ и) и принимая во |
|||||
внимание тождество |
|
|
|
|
|
||
X [s, t, X (t |
tü, t0! X ] и) I u\ = |
X {t ~E s |
t0t t0, XI u), |
||||
