Файл: Митропольский Ю.А. Интегральные многообразия в нелинейной механике.pdf

Скачать файл
Заказать решение

ВУЗ: Не указан

Категория: Не указан

Дисциплина: Не указана

Добавлен: 10.04.2024

Просмотров: 273

Скачиваний: 1

ВНИМАНИЕ! Если данный файл нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам.

§ 2. ОБЩИЙ СЛУЧАЙ

273

получим

 

© о

 

 

 

 

 

 

Уі = и у , ^ ) а + 4~1 U{f ’ Z) ë ( x z,

Уг, z, e)dz,

(2.41)

где обозначено

 

 

 

 

 

 

 

xt = X(i — t0, t0, x\u),

yt ~ u (xu a,t),

 

z =

t + s.

Учитывая соотношение (2.41) и определение X (t — t0,

t0, x0 I и), убеждаемся, что (xt, yt) представляет

собой реше­

ние интегро-дифференциальной системы

(2.31),

причем

согласно неравенству

(2.36)

для

всех

/ >

/0,

если только \yt \ < a 0 для

t — t0.

 

 

 

 

 

Лемма доказана.

Пусть относительно

системы

(2.1)

Т е о р е м а 2.2.

выполнены условия 1°—4°. Тогда можно указать такие поло­ жительные числа е, о0, 0 Х(е С е0, ст0 < оІУ-< р;), что для

каждого г < е, любого вещественного t0 и х0 с D в о ^ок­ рестности точки у = 0 существует г-мерное многообразие Wг начальных значений [у] такое, что:

1)если \i)taI < о'0, yt б Wr, то для всех t > t0 не может удовлетворяться соотношение \yt \ -< оу;

2)если yt0 £ Wr, то для всех t Т> і0 имеет место соот­ ношение

Д о к а з а т е л ь с т в о . Рассмотрим вначале, какая связь существует, между решениями систем (2.1) и (2.31). Если (xt, yt) — решение системы (2.31), то дифференцируя

тождество

t

yt = U (t, g a + ~

j U (t, s) g (xs, ys, s, e) ds +

no t как по параметру, получим

a + \ m , t - 0 ) - U ( t , t + m g ( X u y tJ,z) +

со

274 ГЛ. VI. НЕРЕГУЛЯРНО-ВОЗМУЩЕННЫЕ СИСТЕМЫ

а принимая во внимание соотношения (2.15) и (2.16), мо­ жем написать

8 4 h = А У‘ + § (xt>У» f>е)>

откуда видим, что любое решение системы (2.31) удовлетво­ ряет второму уравнению системы (2.1). А так как первые уравнения одинаковы, то любое решение системы (2.31) является решением системы (2.1).

Назовем решением типа 5 любое решение (xt, yt) системы

(2.1), для которого !г / о |< сто. \ y t \ < ai для всех t > t0. Если (xt, y t) — решение системы (2.1), то

Ъ

^

Ж

=

А

У' x t>Vt +в). g

(xt,Уи t,

Из этого тождества следует

 

 

 

о о

 

с о

 

 

 

 

в [ и (t, s)

ds =

j

и (t, s) А (s, xs) ysds -ь

 

t<s

 

 

 

 

 

 

 

 

 

oo

 

 

 

 

 

 

+ j

u

(t, s) g (xs, ys, s, 8)ds.

(2.43)

 

 

 

to

 

 

 

Заметим теперь, что из определения матрицы U (t, s) в лем­ ме 2.1 нетрудно убедиться, что

 

е

А в *»)• * ^ s•

(2-44)

Проинтегрируем по частям левую часть тождества

(2.43) с учетом соотношения (2.44). В результате

получим

t

о о

 

 

^ V ( t , s ) ^ d s + \ u { t , s ) ^ d s = U ( t , t - 0 ) y t -

 

to

i

 

 

 

t

 

 

— U(t,

t0)y0+ - L j

U(t, s) A (s, xs)ysds — U(t, t + 0)yt +

 

to

CO

 

 

 

 

 

 

+ 4 ~ j -U (t, s) A (s, xs)ysds.

(2.45)

t

(§ 2. ОБЩИЙ СЛУЧАЙ

275

Сравнивая

соотношения (2.43) и (2.45), видим, что

 

оо

yt = и

(/, /0) у0+ ~ \ и {t, s) g (xs, ys, s, e) ds. (2.46)

 

to

Значит, каждое решение системы (2.1), для которого у0— а, удовлетворяет системе (2.31). Но решение системы (2.31), согласно лемме 2.2, существует лишь для тех векто­ ров а, для которых | а | - < а 0, поэтому в тождестве (2.46)

должно быть I г/01<1 оѵ Это

означает, что каждое решение

системы (2.1),

для которого

| г / о | < 0о> удовлетворяет

си­

стеме (2.31). В силу леммы 2.2 для таких решений \yt \ <

а,

при всех t >

tn. Следовательно, все решения типа S явля­

ются решениями системы (2.31) при а = у0, а значит, до­ пускают параметрическое представление

Xti yt = u(xt, Й, О (I а I <<т0).

Заметим еще, что решения типа 5 являются решениями той же системы, что и решения, лежащие на интегральном многообразии S t. Кроме того, условия существования интегрального многообразия^^ и решений типа 5 эквивалент­ ны. Поэтому все решения, лежащие на интегральном многообразии S t, удовлетворяют системе (2.31). Следова­ тельно, для каждого из них можно указать соответствующее а — а', т. е. эти решения можно представить в виде

X, у = 1р(х, і, 8) = u{x, а! , t).

Так как каждое из них удовлетворяет системе (2.31), то имеет место тождество

оо

ф (X, t,e) = U (t, t0)a' + ~ \ U (t, s)g(x,'ф {x, s, e), s, e) ds.

U

(2.47)

Заменим в (2.47) а на г|з (х0, t„, б ) и произвольное х на xt. Полученное таким образом тождество вычтем почленно из тождества (2.46). В результате получим

Уі — Ф (xf

t,e) =

u (t, t0) [y0— 1(3 (x0, t0, e)] +

+ 4* i U

s)

(*s. Vs>s, 8) — g (xs>Ф (xs>s>8)> s>e)J ds. (2.48)

to

 

 

276

ГЛ. VI. НЕРЕГУЛЯРНО-ВОЗМУЩЕННЫЕ

СИСТЕМЫ

Обозначим

IIy t — % II =

sup \yt — ф (xt,

t,

e) |. Учитывая

условия

3°,

получаем

t

 

 

из (2.48)

 

 

Фі 1^

I ^ to) \Уо

Ф (х0’ ^О’ е)1~Ь

 

 

 

 

 

+ - f ||^ -ф /1 П

lU(/,s)|ds. (2.49)

еи

Согласно неравенству (2.13), имеем

V ^ с о V

\ IU (t, s) I ds < N [ e

e

ds +

У j

 

ë '

]dS < ^ L

І.

 

 

 

^

 

 

 

 

 

поэтому из (2.49) следует

 

 

 

 

 

 

 

\\Уі —Ф/ I

2NX

 

 

\Уо— Ф(*о> to, 8)|.

(2.50)

V

из

 

Согласно

последнему

соотношений

(2.35)

у — 2Nh >•

>

const >• 0, поэтому неравенство (2.50) можно переписать

в виде

 

-ф-Н-Щ

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Ф (хо<^0’

І>

 

 

 

||Ut Фг II ^ jVjß

I Уо

 

откуда следует соотношение (2.42).

 

e)

множество

точек

\y)

Обозначим теперь через W (x0, t0,

из о0-окрестности, для которых у

=

и (х0, а, t0),

|а | <

<

а0 при фиксированных

х(„ /{>, е. Так как любое решение

типа 5 удовлетворяет

соотношению

 

 

 

 

 

 

 

yt = u(xt, а, i),

I а I <

с

г 0 ,

 

 

 

то, положив в нем t = t0, видим, что для любого решения типа 5

Уо € W (*о. t0, е). Следовательно, если для t = і№имеет место

І ^ К ^ о . y £ W (xo,to, е),

то соответствующее решение (xt, yt) не может принадле­ жать типу S, а значит, не может удовлетворяться неравен­ ство \уі \<.Оі для всех t > t0. Если же (xt, yt) — такое решение системы (2.1), что при t = t0 имеет место

Уі € И7 (х0, t0, е),

то у0= и (х0, а, t), а значит, (xh yt) является решением системы (2.32). Следовательно, для него выполняется со­ отношение (2.31). Теорема доказана.

§ 2. ОБЩИЙ СЛУЧАЙ

277

З а м е ч а н и е 2.2.

Если г — п, то

многообразием

\ѴГ(xn, t„, г) служит

вся а0-окрестность

точки у = 0.

В этом случае, подробно рассмотренном в § 1, интегральное

многообразие

S t устойчиво в том смысле, что, если

\уіо| <;

< а0, то для

всех t > t0 имеет

место неравенство

(2.42).

Если же г — 0,

то многообразие

Wr (х0, t0, г) вырождается

в точку у0 — гр

(х0, tQ, е).

 

 

6.Периодические и почти-периодические интегральные

многообразия.

Докажем

следующую теорему.

Т е о р е м а

2.3.

[Іусть

относительно системы (2.1)

выполняются условия

1°—4°

и,

кроме того, функции /, А,

g — почти-периодические

по

t

равномерно относительно

X, у. Тогда интегральное многообразие S, представимое

соотношением у = г|з

(х,

t , е),

также почти-периодическое

по t равномерно относительно х.

До к а з а т е л ь с т в о . Возьмем некоторую функцию

У( х , t) из класса С (р, А). Пусть т — общий почти-период

функций

/,

А, g и xs — X

(s,

t, x\Y), х\ =

X (s,

t -f T,

X I Y )

— решения уравнений

 

 

 

 

 

=

f (x„ Y {xs, s +

t), s +

t, e),

 

x0 =

x,

(2.51)!

dxx

/ (*s, Y (x], s +

t + T), S 4- Г+ T, e),

xl — x. (2.51)a

~ ä t=

Из системы

(2.51)

находим

 

 

 

 

 

 

 

S

 

 

 

 

 

 

 

 

Xs — xs =

\

[/ (Xv, Y

(xj, V - f

t +

T), V t —J—T, e) —

 

 

 

0

 

 

— / (Xv, Y (xv, v

t), V -f-1, в)] dv.

 

 

 

 

 

Отсюда, учитывая условие 4° теоремы 2.1 и почти-периодич-

ность функции f по

t, получаем

 

S

 

 

I x sl — *s| < j [| f(xl,

Y (Xv, V + t - f T), v +

t H- T, e) —

6

 

 

— f (Xv, Y (xl V+ t + T), V + t, e) I +

+ I / (xv, Y (xv, v 4- t + т), V +

t, e) —

— f (xv, Y (xv, V + 0. V + t, e) |] dv <

S

 

 

\ [Ң* -|- K \ x v — xv \ -f- K \ Y (xv, V

t -f- x) —

о

 

 

Y {Xyt V -j—/) |] dv.

Смотрите также файлы