Файл: Митропольский Ю.А. Интегральные многообразия в нелинейной механике.pdf

I У (4 , V -)- t -1- т) — У (хѵ, V л- t) | <

A I xl — xv I - fl Vх — Y ||,

где

ІІУ”1

У j] = sup IY (x, t

x)

Y (x, 0|,

X, t

получаем окончательно

s

I x] — xs I <

j [p + К (1 + A) I x l ~ x v l + К I Yz — K | j ] dv.

о

Решая это неравенство, находим

\ x l —

х к < КI Кг - К | | + р ,(е/с (і+д) j sI

!)•

/СО + Д)

Используя, далее, эту оценку, условие

4°

теоремы 2.1,

а также свойство почти-периодичности

функции g, получа­

ем

I g (x s, У (х$>^~(- s + 'c),/-|-s-(-T, е) — g (xs, Y (xs,

+ s>e) I

I g (x l, У (-*4, t + s +

T ), t

s -j- T, e) —•

— g (Xs, У (xs, t -f- s -)- T ),

t -f- s, e) I -f-

+

I g (Xs, У (xl, t -f- s -J- T ),

t +

s, e) —

— g (*„ У (xb, t + s), / +

s, e) I <

•< M- + M! *s — X, | -f~ I ^ (xs, ^ -f-

x) — Y (xs, t -J- s) |]

< р

+ Я|)У* — У|]ек(1+Д)| s| +

]). (2.52)

Применяя

теперь преобразование

(2.28)

к функциям

У (х,

t) и У (х, t -f т), учитывая при

этом (2.13) и (2.52),

имеем

I SY (хьт, / + т) — SY (xs, 0 | <

ос

~

j" IU (ft t + s) 11 g (xl, Y (xl, t -f- s -f- T ), t -j- s -f- X, e) —

§ 2. ОБЩИЙ СЛУЧАЙ

279

о

о

V j

< JL j

<ГТ

'[p + ^ l ^

— П е к<1+А,|5>-Ь

—оо

+

- ^ - (^(И - д) | 5 | _

!)]<&

Так как согласно неравенствам (2.22) для всех

е < е0

К( 1 + Д ) - І < —

то

ISF (xs, t -f- т) — SK (xs,

I

V

V

2N

S .

Яр

S

<

ре

—28

28

-1-

-Вк-е

Яр

jv_

Р

2ЯЦУТ - ■П

,

^

В

ds <

2N

Т

+

у

АГу .

(2.53)

Принимая во внимание неравенство

4М у~1==Ѳ< 1,

перепишем неравенство (2.53) в виде

ISF (Xх, , t +

X) -

5К (xs, i) I <

01) Г* -

Y I +

K) р.

Таким образом, для последовательности (2.28) и после­

довательности

Уо (X, t + т) =

0,

Уп+\{х, f +

x) = SK„(x, t + x)

(2.54)

(п = 0, 1,2,

. . .)

имеет место соотношение

I Уп-1 - 1 (х, t +

т) — Yn+i(x,

t) I с

<

. 2N (Я + К)

(Ѳ -Ч -Ѳ "-1+

+ 1 ) р <

уК

<

2N (к

К ) .и

(п = 0,

1,2, . . . ) .

(2.55)

уК(\ - і - Ѳ )

Так как последовательность (2.28) сходится

к функции

280

ГЛ. VI. НЕРЕГУЛЯРНО-ВОЗМУЩЕННЫЕ

СИСТЕМЫ

(2.55) дает

условие почти-периодичности интегрального

многообразия:

Ж * . *+

х- е) —

е)І<Иі ( ц і =

I*)»

кая, что матрица

G (1, s) = !

і х т я . х - м .

t > s ,

lx (t)(Pk - l

.. 1 .

(3.4)

n) X r l (s),

t< s,

удовлетворяет

неравенству

\G(t, 8)\ < М е - у' ІІ~5\

(3.5)

где Pk = diag

[Ik, 0];

Ik — единичная

матрица порядка

k\ N , Yi — положительные постоянные.

Имеет место следующая теорема [7].

Т е о р е м а

3.1.

Пусть

относительно системы (2.1)