Файл: Митропольский Ю.А. Интегральные многообразия в нелинейной механике.pdf

Скачать файл
Заказать решение

ВУЗ: Не указан

Категория: Не указан

Дисциплина: Не указана

Добавлен: 10.04.2024

Просмотров: 269

Скачиваний: 1

ВНИМАНИЕ! Если данный файл нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам.

282

ГЛ. VI. НЕРЕГУЛЯРНО-ВОЗМУЩЕННЫЕ СИСТЕМЫ

Ѵѳ =

V + Ѳ(v' — ѵ). Используя условия (2.4), (2.6)2 и

теорему о среднем, находим

|r(ü', t, t) — r(v, t, e ) | < | f(p° + V, i))', t, e) —

—f{P° + V, ф, t, e)| +

+1[f (P° + — f (p° + V, 0, t, e)] —

— l/(p° + V, ф, t, e) — f(P° + ü, 0, t, e)]| +

4 - 11/ (P° +

v’, 0, t, e) -

 

/ (p\ 0, t, e) -

fx(p\ 0, t, 0)u'] | +

+

11/ (Pö +

о, 0, t,z) — f (p°, 0, t, e) — fx(p°, 0, t,

0) и] I <

 

< kA (e) ] v' — VI +

max |/'

(рь +

ѵѳ, ф, t, е) —

 

 

 

 

 

 

 

о^ѳ^і

 

 

 

 

 

 

 

 

 

— fx (P° +

ѵѳ, 0, /, e) 11 v' — VI +

 

 

+

max I /' (p° + ѵѳ, 0, t, e) — /'

(p°, 0, t,

0) 11 v' — v \<

 

о«ѳ^і

 

 

 

 

 

 

 

 

 

<

Xx (ст, е) I v' — о \.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

В силу непрерывности

функции

 

и

неравенства (2.6)!

величина Xj (ст, е) ->■ 0 при ст->- 0, е-*- 0.

 

 

m-мерных

Обозначим

 

через

Са

класс

непрерывных

вектор-функций

ѵ (t),

 

удовлетворяющих

неравенству

I V (t)

I < ст. Рассмотрим

оператор

 

 

 

 

 

 

 

 

 

со

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

/п =

^ G{t,

s)r (v(s), s, E)ds,

 

V£ C<j.

(3.9)

 

 

 

 

— oo

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

На основании

неравенств

(3.5)

и (3.8)х,

(3.8)2

имеем

 

I /и j <

Yi

 

(Хх0 +

ѵ),

I Iv'

— Iv 1<

- ^ Ч г /

— oll,

 

 

I • |.

 

 

 

 

 

 

 

ri

 

 

где 1-11 = sup

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

t

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Функция Iv является, очевидно, непрерывной.

Пусть о и 8 < Ei такие, что выполняются соотношения

 

 

2JV(XJCT-j- ѵ) с ухо,

2іѴХ1< ;у1.

 

(3.10)

В силу принципа сжатых отображений уравнение ѵ = Іѵ

имеет при е -< г единственное решение ѵ — ѵ (і, е) £ Са, которое является пределом равномерно сходящейся после­ довательности

у0 = °> ѵп+і = Іѵп (п = 0 , 1 , 2 , . . . ) .

(3.11)

Отсюда видно, что ѵ (t, 0) = 0. Функция v (t,s) непрерывна

§ 3. ИССЛЕДОВАНИЕ РЕШЕНИЙ

283

по е, так как она представляет собой предел равномерно сходящейся последовательности непрерывных по е функций.

Дифференцируя

тождество

 

 

 

со

 

 

v(t,e) =

j* G (t, s) r (u(s, e),

s, e)ds

(3.12)

 

— CO

 

 

по t и учитывая, что

 

 

 

G(t, t — 0) — G(t, t + 0) =

rm

(3.13)

убеждаемся, что функция v (t, e) удовлетворяет уравнению (3.7). Если обозначить р (t, s) = р° (t) + v(t,e), то, в силу замены (3.6), функция р является решением уравнения

(3.1). Поэтому вектор (р, q =

ф (р, t, е)) является ограничен­

ным решением системы (2.1)

при

t £ R-

Так как v (t, 0) =

= 0, ф (р°, t,

0) = 0, то р (t, 0) =

р° (0,

Ц(t, 0) == 0. Этим

завершается

доказательство

теоремы 3.1.

Т е о р е м а 3.2. Если

функции f, А, g и решение р°

вырожденного уравнения

(3.2) —• Т-периодические по t, mo

ограниченное решение (р,

q) системы (3.1), существование и

■свойства которого утверждает теорема 3.1, также явля­

ется Т-периодическим по

t.

Д о к а з а т е л ь с т в о .

Согласно замечанию 2.1,

функция ф, а следовательно, и функция r(v, t,e) — перио­ дические по t. Предположим, что функция ѵп — Г-периоди-

ческая,

и покажем, что

функция

ѵп+і

обладает этим же

свойством. Так как G (t

+

Т, s +

Т) =

G (t, s), то из (3.9)

и (3.11)

имеем

 

 

 

 

 

 

 

 

ос

 

 

 

 

 

 

ѵ,г+\ (t +

Т ) = j

G(t +

Т,

s) г (vn(s), s, e) ds =

 

oo

—oo

 

 

 

 

 

 

T , s + T ) r (vn(s + T), s + T, e) ds =

 

=

\

G(t +

vn+x (t).

— CO

 

 

 

 

 

 

 

Очевидно,

v0 =

0 — Г-периодическая

функция.

 

Таким образом, все члены последовательности (3.11)

представляют собой Г-периодические

функции. Поэтому,

в силу равномерной сходимости последовательности

(3.11),

функция

 

V (і, в) является Г-периодичесРЮЙ по t.

Из Т-

периодичности функций р° и ф по / следует Г-периодичность

решения (р, q)

системы

(3.1).

Т е о р е м а

3.3. Если функции f, A, g и решение р°

вырожденного уравнения

(3.2) — почти-периодические по і,

284 ГЛ. VI. НЕРЕГУЛЯРНО-ВОЗМУЩЕННЫЕ СИСТЕМЫ

а уравнение (3.3) не имеет других ограниченных на всей вещественной оси решений, кроме тривиального, то ограни­ ченное решение (р, q) системы (2.1) — также почти-перио- дическое по t.

Д о к а з а т е л ь с т в о .

Предположим,

что т — об­

щий почти-период функций /,

А, g, р°. Оценим разность

АxG = G (t -г т, s + т) — G (t, s). Из (3.3)

имеем

~[ATG] = В (t) ATG + [ß (t + т) — В (/)] G (t + т, s + т).

Используя условие 6°, легко убедиться, что функция со

АzG— j G(t, ст)[Б(ст + т) — ß(o)] G(CT -f т, s -f x)dx

— CO

представляет собой ограниченное на всей вещественной оси решение этого уравнения. Это решение единственно,

поскольку

уравнение (3.3) не имеет нетривиальных

огра­

ниченных

на всей

вещественной оси решений. Так

как

G (t, о) =

G (t,

s)G (s, а), то, учитывая (3.5),

получаем

 

 

со

 

 

 

IAXGI-< I G (t, s) I

j

IG(s, ст) 11ß (a -f т) — В (a) j

x

 

 

 

— CO

 

 

 

X G(a +

T, s -f- t) I da ■< N3y ^ l\\B(t - f x) — ß(f)|e~Vl

 

 

 

 

 

 

(3.14)

Напомним, что

p (t, e) = p° (t) + v (t, e),

где v (t, e)

является пределом равномерно сходящейся последователь­ ности (3.11). Поэтому для доказательства почти-периодич- ности р (t, е) по t достаточно показать, что все члены после­

довательности

(3.11) — почти-периодические функции t.

Функция

и0 =

0 — почти-периодическая.

Покажем,

что

из почти-периодичности ѵп (п > 0) сле­

дует

почти-периодичность о„+і. Имеем

У п - И

it +

Т )

—

Vn+l (t) =

 

=

соJ

G(^ +

‘' , s + T)r(o„(s+T),s + T, е) ds —

— J G(t, s)r(vn{s), s, e) ds =

—oo

 

 

 

 

§ 3. ИССЛЕДОВАНИЕ РЕШЕНИЙ

285

 

о о

 

 

 

 

 

 

 

=

[

ДХС<7, s)r(vn(s -f т), s 4 X, n)ds 4

 

 

— с о

 

 

 

 

 

 

 

 

о о

 

 

 

 

 

 

 

4

j

G (t, s) Ir (vn (s + T), s +

X, e) — г (vn (s), s +

x, e)] ds +

 

— CO

 

 

CO

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

4

j G (t, s) [r (vn (s), s + T,

e) — r (vn(s), s, e)] ds.

 

 

 

 

— CO

 

 

 

 

Отсюда и из (3.8), (3.14) получаем неравенство

 

\ѵп+і (t 4

т) — vll+{ (t) I < ( V

+ v) N3 \

[I В (t +

x) —В (^)J 4

 

4

-4 4

L ИМ* + Т)— МОН-

 

Вг(и„(0, ^ 4- х. е) —

 

 

 

 

 

 

 

— Г (v„ {t), t, е) ||f

из которого следует почти-периодичность ѵп+].

 

Функция

q = ty(p(t, е),

t, е)

в силу замечания 2.1 —

также

почти-периодическая

по

t.

 

 

2.Устойчивость ограниченного решения. Теорема 3.2

утверждает, что существует г-мерное многообразие W r начальных значений, относительно которого интегральное многообразие St условно асимптотически устойчиво. Те­ перь мы рассмотрим вопрос об устойчивости ограниченного

решения (р, q)

системы (2.1).

Т е о р е м а

3.4. Пусть выполняются условия 1°—6°.

Тогда ограниченное решение (р, q) системы (2.1), существова­ ние и свойства которого установлены в теоремах 3.1—3.3, условно асимптотически устойчиво при t > t0 относительно

k 4 г-мерного многообразия

Wk ф Wr начальных значений.

Д о к а з а т е л ь с т в о .

Покажем сначала, что су­

ществует многообразие W k начальных значений,относитель­ но которого решение р (t, е) = р° (f) 4 v (t, е) уравнения (3.1) условно асимптотически устойчиво при t > С этой целью наряду с дифференциальным уравнением (3.7) рас­ смотрим интегральное уравнение

v(t) = G(t, t0) b +

\G(t, s)r (V(s), s, e) ds,

t >

tQ, (3.15)

где b — постоянный т-вектор.

условию (3.5),

Так как функция

G (t, s) удовлетворяет

а функция г (и, і,

е) — условиям (3.8),

то

нетрудно

286 ГЛ. VI. НЕРЕГУЛЯРНО-ВОЗМУЩЕННЫЕ СИСТЕМЫ

установить, что при е < е* (е* С ё) уравнение (3.15) имеет единственное решение и (t, b) для каждого b (| b \ ■< с о ) . Подставляя v (t, b) в уравнение (3.15) и вычитая из полученного тождества (3.12), имеем

со

V ( і (, b) — V( t, е) =

G (t, t0) b +

\ G (t, s) [ r ( v (

s ,

b), s, e) —

 

 

 

10to

 

 

 

 

— r(v(s, e), s, e)]ds +

]

G(t,

s) r (v(s,

e), s, e)ds =

 

 

— CO

 

 

 

 

 

 

 

CO

 

 

 

 

= G {t, t0) {G (/0 + 0, t0) b + \ G

(t0, s) 1r (V(

s , b), s, e) —

 

 

to

to

 

 

 

 

— r(v{s, e), s, e)]ds-f

]

G(t0, s)r(v(s,

s),

s, e)ds] =

 

— CO

 

 

 

 

 

 

=

G(i, t0)[v(t0, b) — u(t0, e)],

t > t 0.

Отсюда, учитывая неравенство (3.5), получаем

 

I V (t, b) — v(t, e) I -< Ne~~Vl (t~to) \ v(t0, b) — v(t0, s) |.

(3.16)

Дифференцируя равенство (3.15) no t с учетом (3.13),

убеждаемся, что каждое решение

и (t, b)

уравнения

(3.15)

будет также решением уравнения (3.7).

 

 

 

Так как G (/,

t0) — X

(i) PkX~1 (/0), t >

t0, то решение

V (t, b) зависит только от первых k координат произвольно­

го вектора X-1 (t0)b. Следовательно, функции v (t, b) об­ разуют /г-параметрическое семейство решений уравнения

(3.7). В силу замены (3.6) функции х (t, b )= р° (t)

+ v (t, b)

образуют /г-параметрическое семейство решений

уравнения

(3.1). Обозначим через Wk многообразие начальных зна­

чений этого семейства. Тогда, если xta£

то, согласно

(3.15), имеем

 

 

 

I xt — Р (G е) I < Ne~y'

\хи — р (t0, в)|,

Р> /0.

(3.17)

Рассмотрим теперь решение (хмн (t, е), уып(/, е) =

ф (х„„,

t, е)), лежащее на интегральном многообразии St. Так как

хин (G е) удовлетворяет уравнению (3.1), то в силу

(3.17)

1хин (t, е) — р (/, е) I < Ne~v'

| хШІ (t0, г) — р (t0, в) |,

(3.18)

Смотрите также файлы