Файл: Митропольский Ю.А. Интегральные многообразия в нелинейной механике.pdf

Скачать файл
Заказать решение

ВУЗ: Не указан

Категория: Не указан

Дисциплина: Не указана

Добавлен: 10.04.2024

Просмотров: 265

Скачиваний: 1

ВНИМАНИЕ! Если данный файл нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам.

 

 

 

§ 3. ИССЛЕДОВАНИЕ РЕШЕНИЙ

 

 

287

 

если только xMlI (t0,e) £ Wк.

Отсюда и из (2.6)!, (2.6)2 имеем

 

также

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Iym (t, F) — q(t, е)|<|ф(дгмн, t, e)

 

ф (р, t, е)| <

 

 

 

 

 

< Д (е) jVe~Vl (^

о) I хШ1 (t0, е) — р (t0, е) |,

t > t0.

(3.19)

 

Пусть

(xt, yt) — решение

системы (2.1)

с

начальным

 

значением xt„ £ Wk,

Уи £ Wr.

Очевидно, имеем

 

 

 

\Уі — q (t, е ) \ < \ уt

Умн (t,

е ) 1 Т ~ I Умн (ty б)

У ( Д

s ) I-

 

В силу теоремы 2.2 для разности yt — умн (t,

е)

имеет место

 

оценка (2.31). Учитывая эту оценку, а также неравенство

 

(3.19)

находим

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

\Уі — q(t, е ) | < У хе

“

 

| Уі, — Умн (*0>Е) 1+

 

 

 

 

 

 

+ A (е) Ne~yi {t~to) \ хмн (t0, г) — р (t0, е) |.

(3.20)

 

Так

как

xta £ Wk, то для

xt

справедлива

оценка

(3.17).

 

Таким образом, решение (р (t,

е), q (t, е)) системы (2.1)

 

для е <

г* условно

асимптотически устойчиво при

t >

 

относительно многообразия

Wk ®

Wr начальных значений.

 

Теорема 3.4 доказана.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Покажем теперь, что к системе вида (2.1) могут быть

 

приведены более общие системы, и следовательно, для них

 

будут иметь место утверждения, аналогичные теоремам

 

2.1,

2.2,

3.1—3.4.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Рассмотрим систему

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

- ^ -

=

h{x,

z, t, г),

 

 

 

 

 

 

 

 

а

=

F(x,

z, t, б)

 

 

(3-21)

 

 

 

 

e - ^

 

 

 

 

и соответствующую ей невозмущенную систему

 

 

 

 

 

 

 

-^r

==h(x,

z, t, 0 ) ,

 

 

(3.22)

,.

 

 

 

F(x,

z, t, 0 )

=

0 .

 

 

 

 

(3.22)

,

Здесь

X,

h — m-векторы,

z,

F — «-векторы,

e > 0 — ма­

 

лый

параметр.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Предположим, что:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

а) уравнение (З.22)3 имеет изолированное решение z — = ср(х, 0, причем функция фвместе со своими производными

288

ГЛ. ѴГ. Н Е Р Е Г У Л Я Р Н О - В О З М У Щ Е Н Н Ы Е СИСТЕМЫ

до второго порядка включительно равномерно непрерывна по X, t и ограничена;

б) в области

x£D, \z — у(х, t)\ < р < р о ,

t£R, е < е 0, (3.23)

где D — неограниченная открытая

область, р0, е0 — по­

ложительные постоянные, функция h равномерно непре­ рывна и ограничена вместе с первыми частными производ­ ными по X, г, а функция F равномерно непрерывна и огра­ ничена вместе с частными производными по х, z до второго порядка включительно;

в) вещественные части собственных значений (А)

матрицы А (х, t) = Fz (х, <p (х, t), t, 0) удовлетворяют не­ равенствам Re\- (Л) < —0 ^ (і — 1___ г); Re (Л) > ос2 (і = г + 1,..., п), где at (і = 1,2) — положительные по­ стоянные.

Сделаем в системе (3.21) замену

г = (р(х, t) + y-

Обозначая

/ (t, У, t, е) = h (х, ер (х, t) + у , t, е),

g (X, У, t,e) = F (X, ф (х, t) + у, t, е) —Д (х, ср (х, t), t, 0) у —

— б [ф, (X, t) + ц>х {X, () f (X, у, t, е)],

получим систему вида (2.1).

Покажем, что при выполнении условий а) — в) функции /, Л, g удовлетворяют условиям 1°—4°. Действительно, все условия 1°—4°, кроме неравенства

|g(x, у, U F) — g{x, у, t, е )|< Ц р , г)(\х — х\ + \у — у\),

(3.24)

очевидно, выполняются. Докажем неравенство (3.24). Согласно теореме о среднем имеем

ig(x, У, i, e) — g(x,

у , t, е ) |<

< шах

I gx (хѳ, у, t, е) 11 x — x | -f

 

+ max Igy (X, Ув,і,г)\\у — у |, (3.25)

 

0^1

 

§ 3. И С С Л ЕД О ВА Н ИЕ Р Е Ш Е Н И Й

289

где

обозначено

хѳ = х +

Ѳ [х — х), у$ = у

+ 0 (у — у).

Так

как

 

 

 

gx (X, у, t, е) =

[Fx (X, ф +

y,t, е) — Fx (х, ф + у, t, 0)] -f

 

+ [F'z(x,

ф + y,t,&) — Fz (X, ф + g,t, 0)] ф* +

+ \FX(X, ф + у, t, 0) — F"xz(x, ф, t, 0) y\ +

+ [Fz (X, ф + y, t, 0) <px — Fzz (x, ф, t, 0) фxy\ +

+ s [ф/ + Ф'xf (X, у, t, e)],

gu (x, У, t, e) = [Fz (X, Ф + у, t, e) — Fz (х, ф + у, t, 0)] +

-4 [F'y (X, <p + y,t,0) — Fz (X, ф, t, 0)] — щ х?у(х, ф , t, e), то, в силу условий а) и б) существует к (р, е) такое, что

I gx (X, у, t, е) I < к (р, е),

I gy (х, y,t,e)\<Ck (р, е),

причем к (р, е) -> 0 при р

0, е -> 0. Отсюда и из (3.25)

получаем неравенство (3.24).

 

Из сказанного выше следует, что при выполнении усло­

вий а) — в) система

(3.21) имеет /я-па^метрическое ин­

тегральное многообразие St,

представимое

в виде

г =

ц>(х, t) +

ф(*, t, е),

(3.26)

где ф — решение уравнения (3.22)а, а функция ф обладает свойствами, указанными в теоремах 2.1, 2.2. Кроме того,, из теоремы 2.2 следует, что существует г-мерное многообра­ зие начальных значений, относительно которого интеграль­ ное многообразие (3.26) условно асимптотически устойчиво.

Сформулируем аналог теорем 3.1—3.4 для системы (3.21). Предположим, что кроме условий а) — в), выполняются

условия:

г) система (3.22)!, (З.22)3 имеет ограниченное на всей вещественной оси решение (р° (/), ф (р° (t), ());

д) выполняется условие 6°, если матрица В (t) в (3.3) имеет вид

я ( о = м т Ф ( р ° ( о , о, и о).

Т е о р е м а

3.5. Если

выполняются условия

а)—д),

то можно указать такое е <; е0,

что при е <

г система

(3.21)

имеет ограниченное на всей вещественной оси решение

(р (t,

е), q (t,

г) == ф (р (/,

е),

t) + ф {р (t,

е,),

t, е),

JQ ІО. А. Митропольский, О. Б. Лыкова

290 ГЛ. VI. Н Е Р Е Г У Л Я Р Н О - В О З М У Щ Е Н Н Ы Е СИСТЕМЫ

рывное по е, причем р (t, 0) = р° (t), q (t, 0) = ф (р° (/), t). Это решение условно асимптотически устойчиво относи­ тельно k + г-мерного многообразия начальных значений.

Если предположить, что правые части системы (3.21) и решение (р°, ф (р°, t)) соответствующей вырожденной системы — периодические (почти-периодические) по t, то, согласно теоремам 3.2 и 3.3, ограниченное решение (р, q) системы (3.21) также будет периодическим (почти-перио• дическим) по t.

§ 4. Интегральные многообразия линейной нерегулярно-возмущенной системы дифференциальных уравнений

В настоящем параграфе исследуется вопрос о существовании и свой­ ствах условно асимптотически устойчивого интегрального многообра­ зия линейной нерегулярно-возмущенной системы дифференциальных уравнений.

1. Существование

интегрального многообразия.

Рас­

смотрим систему уравнений

 

 

/ІY

 

 

 

 

-ELr=A{t)x + B(t)y + h(t),

 

 

,

 

 

 

(4.1)

е ~ЧГ = С ^ У + ef (0* +

 

 

где X, h — m-векторы,

у,

Н — /г-векторы, А,

В, С,

F —

соответственно (т X т)-,

(т х п)-, (п X п)-,

(п X т)-мат-

рицы, е > 0 — малый параметр.

 

 

Пусть выполняются следующие условия:

 

*

1) функции А, В, h, С,

dC

 

- Д - , F, Н непрерывны и ограни­

чены на всей вещественной оси R;

2) собственные значения А/ матрицы С (t) удовлетворяют условию ReA/ с — (і = 1, ..., г), Re А/ >- а2 (/ = г + Ч- 1, ..., п), где аѵ а 2 — некоторые положительные посто­ янные.

При этих предположениях докажем теорему о существо­ вании интегрального многообразия системы (4.1). При до­ казательстве частично используется схема А. Халаная, примененная им для исследования интегральных много­ образий линейной нерегулярно-возмущенной системы с за­ паздывающим аргументом в устойчивом случае 1207].

Смотрите также файлы