Файл: Митропольский Ю.А. Интегральные многообразия в нелинейной механике.pdf

Скачать файл
Заказать решение

ВУЗ: Не указан

Категория: Не указан

Дисциплина: Не указана

Добавлен: 10.04.2024

Просмотров: 266

Скачиваний: 1

ВНИМАНИЕ! Если данный файл нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам.

 

§ 4. М Н О Г О О Б Р А З И Я Л И Н Е Й Н О Й СИСТЕМЫ

291

Т е о р е м а 4.1 [81. Пусть

относительно

системы

(4.1)

выполняются условия 1), 2).

Тогда существует такое

е0 >

0, что для всех значений е с

е0 система (4.1) имеет

т-параметрическое интегральное многообразие St, предста­ вимое соотношением вида

 

y — ty(t, X, e)~zL(t, е) x + g (t, е),

(4.2)

где (п 'X

т)-матрица L и п-вектор g непрерывны по і и

 

\ L ( t ,

е)| <

М

8 )>

к(^, 8) |< Х а(е),

(4.3)

причем

X,- (е)

О (і =

1,

2)

при е-*-0.

рассмотрим

Д о к а з а т е л ь с т в о .

Прежде всего

однородное уравнение

 

 

 

 

 

 

8~~§~ — £ (0 9у

(4-4)

где матрица С (t), по предположению, непрерывна, ограни­ чена и имеет собственные значения, удовлетворяющие предположению 2). Тогда, согласно лемме 2.1 и замечанию 2.1, существует фундаментальная матрица Y (t) уравнения (4.4) такая, что для малых значений е матрица

|У (/)РгУ - ‘ (5),

t> s ,

(4.5)

IY(t){Pr - I n) Y - x(z),

t < s ,

удовлетворяет неравенству

«>

 

|У((,5)|<КХ^''“"

(4.6)

при всех вещественных t, s, где Pr = diag [Іг, 0], Ir, ln — соответственно (г х г)-, (п X л)-единичные матрицы.

Определим теперь две последовательности

L0 =

0, Ln(/, е) =

 

U (t, s) F (s) Xn-i (s, 0 ds,

(4.7)j

 

 

oo

U (t, s) [F(о)

 

 

go =

g n

(t, e) = j

(a, t) + H (<r)] da

 

J

 

 

 

(n = 1,2, .. . ) .

 

(4.7),

Здесь Xn-i — матрица,

удовлетворяющая уравнению

 

 

~ Р Г ~ = (A+ BLn_ x)

 

(4.8)

10*

292

ГЛ. VI. Н Е Р Е Г У Л Я Р Н О - В О З М У Щ Е Н Н Ы Е СИСТЕМЫ

и условию Хп-1 (s, s) — I ml U (t, er) — матрица, определяе­ мая посредством выражений (4.5), и

t

Лп-1 (t, Ч) = I х п~IЦ, а) [В (а) g„_! (а, е) + h (а)] da

(« = 1 , 2 , . . . ) .

(4.9)

Исследуем сходимость последовательностей (4.7).

 

Обозначим I ■I = sup | • |. Так как из (4.8) следует, что

|X0(s,OI<eß|,-sl

(Р = ИІО-

(4Л°)

то из (4.6), (4.7)!,

(4.10) при

 

 

 

 

 

 

 

 

е <

а

 

 

(4.11)

имеем

 

 

 

2ß

 

 

 

 

 

 

 

 

 

I < 2

F К

I

 

+p)<'-s)ds <

4* DF II-г = гКх.

Предположим,

что такая

же оценка

верна и для

Ln—i'

 

 

 

I L„_! I <

е/б2.

 

 

Тогда из (4.8) следует

 

 

 

 

 

I Х„_і I < <?№+**,) 1<-*1

(у = 1В II).

(4.12)

Учитывая неравенства (4.6) и (4.12), получаем

 

\La\ < 2 K \ F \

‘ , ( - т +р+Т£К,)('_5)-

 

 

 

 

ds.

 

Пусть, кроме (4.11),

выполняется неравенство

 

е <

Y**

 

0 < Ѳ— const <

(4.13)

 

J

 

 

 

Тогда

 

 

 

 

 

 

 

 

Поэтому имеем

ß 4- уе/С2 < (1 + 9 ) ß -

 

(4.14)

 

 

 

 

 

 

 

| T „ I < 2 K | F |

Jи

ev

8

 

1

ds*C

 

 

<2/C ||F||

\ g(6-i) ß (t—s)ds

2/CpFD

Ë/C2,

(1 — Ѳ) ß

 

 

 

 

 

 

 

 

§ 4. М Н О Г О О Б Р А З И Я Л И Н Е Й Н О Й СИСТЕ МЫ

293

где

К 2= 4/СI /*" I) (1 — Ѳ) "‘а -1.

Следовательно,

\Ln\ < е К 2 ( * = 1 , 2 , . . . ) . (4.15) Оценим теперь разность Ln+i — Ln. Из соотношения

 

0

 

 

 

 

а

 

 

Кп— Х^-і = УА (Хп

Хп—і) d u \ В (Ln— Ln_\) X ndu +

 

1

 

 

 

 

t о

 

 

 

 

 

 

 

 

-f- j* BLn^\ {Xn— Xn—i) du

вытекает неравенство

 

t

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

t

 

 

 

I X n— Xn—1

1■< (ß + YI LnI)

I Xn(uy t) — Хл—

1

(w, t) I du +

 

 

 

 

 

а

 

 

 

 

 

 

 

 

t

 

 

 

 

 

 

 

+

y$n ]

I X n\du

 

 

 

 

 

t

 

а

t

 

 

 

 

 

 

 

 

 

< (1 +

Ѳ)ß

 

 

I X* -

X ^

I du + ybn f *'+*> P «-*ds <

 

 

(T

 

(I

 

 

 

t

 

J

 

„ _ l| du+ (1^ p - e ( 1+e)ßl<- ffi, (4.16)

< ( l + 0 ) ß f |

 

 

 

 

X n- X

 

 

 

 

где обозначено

 

ö„ =

|| Ln — Ln-\ ||.

 

 

Пусть

 

 

 

 

 

 

 

 

V (t) =

 

 

(1+ 6 )

p 1 * ~ ff 'I Xn ( в , t) - X n - i

( o , t) I;

тогда, в силу (4.16), находим

 

 

v ( t ) <

 

 

 

+ (1 + Ѳ) ß J г“ (І+Ѳ) 131 '- а 11

(и, t) -

 

 

 

 

 

 

 

 

t

— Х„_,(ы, t)\du <

(1 ^ | )B + (1 +

 

9)ß J v(u)du.

Применяя лемму Гронуолла—Веллмана,

 

получаем

 

 

 

 

 

VÖ«

-. ßU+ö) Р I Г-s I

 

 

 

 

 

*40 < - (1 + Ѳ)р

 

 

294

ГЛ. VI. Н Е Р Е Г У Л Я Р Н О - В О З М У Щ Е Н Н Ы Е

СИСТЕМЫ

откуда

следует

 

 

 

 

I Хп( о,і )~ Хп^

(а, і) і <

в*

Р "~М. (4.17)

Из (4.7)!, (4.6) и (4.17) находим

 

 

|Ln+1- L n|<2/C|F!|

j e

8

° |X „ (a ,0 - X „ _ 1(a,0|dcr<

 

 

2^ f | A _ Г ( - ^ a + e j ß ^ - a ,

 

 

(1 + Ѳ ) ß J

 

Пусть

 

 

----СО

 

 

 

 

 

тогда

 

е <

Ж

’-

(4Л8>

 

 

 

 

 

— T- + 2 ( l + 6 ) ß < -

 

и, следовательно,

2VC||F|T8B

3e

I Ln+\ LnI

(J + 0)ß

(1 — 2Ѳ)а

 

или

б/г-j-i К3г8,

(4.19)

= К3гЬп,

(4.20)

Отсюда вытекает,

что для

е < 1//С3

последовательность

[Ln\ сходится.

 

 

 

 

Докажем сходимость последовательности (4.7)2. Так

как в силу (4.9) и (4.10) справедливо неравенство

 

К ( ст. 01 < - ^ е Р |<~а|,

 

то, учитывая (4.6), получаем

 

 

 

 

( , ( - т « ) « - ѵ +

 

 

—со

 

 

 

+ 2 |Я || J

{t~a)da < е

+

= еСи

- —.Суп

 

 

^

 

Пусть |g„_1| <

еС2; тогда, согласно неравенству (4.14),

имеем

 

 

 

 

т ь -і (0 g I <

J e<ß+veKi) I t- a I [у гС і + 1h ||] da <

 

 

^0

(1+Ѳ) ß I

,

 

 

yeQ-Ь ||/i||

(4.21)

^

(l + 0)ß

e

 

 

 

 

$ 4. М Н О Г О О Б Р А З И Я Л И Н Е Й Н О Й СИСТЕМЫ

 

295

Учитывая это неравенство, находим

 

 

 

Ы ^,е)|< 2/С J

е

т И-°)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

—©о

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Так

как, согласно

(4.11),

 

 

 

 

 

 

 

 

 

-f- + (i - hѳ)Р<

|Ѳ 2е

 

 

(4.22)

то справедлива

оценка

 

 

 

 

 

 

(f Г)І^

4/С I) F [I (yeC1+ ИЛИ) 8

2K\\H ||e

_

Q

 

\gnV, e)l<-

 

(1-02)aß---- - +

5

— e° 2-

Таким образом, для всех п =

1,2, ....

 

 

 

Оценим разность

 

 

!&.(*, е)| < е С я.

 

 

(4.23)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

б

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Ля — Ля- 1 = J (Хп — Х„_і) (А + Bgn) du -f

 

 

 

 

*

 

 

 

 

 

<7

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

■Г J Хп—іВ (gn

 

gn—i) du.

 

 

 

 

 

 

 

 

t

 

 

 

Учитывая (4.12), (4.14) и (4.17), имеем

 

 

 

I Ля — Лп-1 I <

 

У&п

I h II +

уеС2) f е2<'+ѳ>Р I

 

I du -f*

(1 +

Ѳ) р

 

 

 

 

+

уЕп I е(1+Ѳ) Р I и~а Ida с

 

 

 

^

У^п11hИ +

TgCg)

2 (1+Ѳ) ß I /—о

I I

 

gd+Ѳ) ß I /-СТ I ^

2 (1 +Ö )2 ß2

 

 

 

 

^ (l + 0 )ß

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

< C se2<i+0)Pl^CT,(6, + £„).

где

обозначено

En =

||#„ — g-«—іII-

 

 

 

 

Используя это неравенство, находим

 

 

 

 

 

 

 

t

__a_ _

 

 

 

 

 

|g«+i — g « l< 2 / C

J

e

8

І^ ІІЛ я — Ля-1| * г<

 

 

 

 

—о©

 

 

 

 

 

 

 

<

2 K \ F IC8(8n + En) J

е( - т + 2(1+Н

(,- % а ,

Смотрите также файлы