Файл: Митропольский Ю.А. Интегральные многообразия в нелинейной механике.pdf
ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 10.04.2024
Просмотров: 262
Скачиваний: 1
§ 4. М Н О Г О О Б Р А З И Я Л И Н Е Й Н О Й СИСТЕМЫ |
297 |
Пусть X — х( — решение уравнения |
|
||
= |
[А (0 + |
В (t) L (t, в)] x + B{t)g (t, г)+ h (/), |
|
удовлетворяющее условию xtt — х0 при t = t0. |
Используя |
||
обозначение (4.27) и (4.28), запишем |
|
||
|
Xt = X ( t, t0)x0 + r\ (t,t0). |
(4.29) |
|
Тогда имеем |
|
|
|
L(t, e)xt + g(t, е): |
\ U (t, о) F (а) X (а, /) do |
xt 4- |
|
+ |
і U (t, а) { F (o)\](o, t) F-Н (о)} do— |
|
|
с о
= f и (t, О) {F (о) [X (о, t) xt + Л (СГ, t)} 4- Н (о)} do. (4.30)
— с о
Обозначим yt — L (t, е) xt 4- g (t, e) и перепишем соотно шение (4.30) в виде
У,= ) U (t,o){F{o)xs + H{o))do.
—со
Дифференцируя это тождество по t, убеждаемся, что yt удовлетворяет уравнению
e ~ ]f = c (t)yt + zF (0 -И + е-Н (t).
Поэтому (xt, yt) — решение системы (4.1) и, следовательно, соотношение (4.2) определяет интегральное многообразие системы (4.1).
С л е д с т в и е 4.1. На интегральном многообразии S t, представимом соотношением (4.2), переменная х удовлет воряет уравнению
J ^ = [A(() + B (0 L (t, е)1 x + В (/) g (t, e) 4- h (t) (4.31)
и поэтому исследование решений системы (4.1) на интеграль ном многообразии St сводится к исследованию решений урав нения (4.31).
2. Устойчивость интегрального многообразия. Имеет место следующая теорема [8].
298 |
ГЛ. VI. Н Е Р Е Г У Л Я Р Н О - В О З М У Щ Е Н Н Ы Е СИСТЕМЫ |
|
||
Т е о р е м а 4.2, Пусть относительно системы (4.1) вы |
||||
полняются условия 1), 2) приведенные на стр. |
290. |
Тогда |
||
в окрестности интегрального многообразия S t |
существует |
|||
r-мерное точечное многообразие Wг |
начальных данных {у} |
|||
такое, |
что |
|
|
|
1°. Если у (Q £ Wr, то для всех f > t 0 |
|
|
||
|
--f- |
v-t „) |
|
|
\y(t) — L(t, г)х — g(t, e)|</C<? |
\y(t0) — |
|
||
|
— L (/„, e) д:0 — g (fo, e) j. |
(4.32) |
||
2°. Если у (to) £ Wr и у (t) = 0 |
является единственным |
|||
ограниченным при всех вещественных t решением системы
(4.4), то
\y(t) — L(t, г)x — g(t, е)|->оо |
при |
/->оо. |
|
3°. Если г — п, т. е. |
|
|
|
R e ^ C — а < 0 |
(і = 1, |
. . . , |
п), |
то многообразие \ѴГсовпадает со всей окрестностью интег рального многообразия St.
4°. Если г — 0, т. е. |
(і—1, . . . . п), |
ReA,f > a 2> 0 |
то многообразие Wr вырождается в точку y — L (t0, e)x0 + g(t0, е).
Д о к а з а т е л ь с т в о . Наряду с дифференциальной системой (4.1) будем рассматривать интегро-дифференци- альную систему
- ^ = A(t)xt + B(t)yt + h(t), xt. = xо, |
(4.33), |
со |
|
y t = U (t, t0)a + U (t, s) [F(s) xs + H (s)\ ds, |
(4.33), |
J
где a — постоянный п-вектор, t >
Нетрудно установить, что для каждого значения е <; 80 и а ( I а I < р = const >> 0) система (4.33) имеет единствен ное решение (xt, yt). Подставляя его в (4.33)2 и дифферен цируя полученное тождество по t как по параметру, находим
^ = dU.^ M . a + ^ . dH«zsL [F(s)xs + H(s)]ds + ^О
+ [U(t,t + 0 ) - U (t, t - 0)] [F (/) xt + H (/)],
§ 4. М Н О Г О О Б Р А З И Я Л И Н Е Й Н О Й СИСТЕМЫ |
299 |
откуда, учитывая (4.4), (4.5), получаем
е |
^ С |
+ sF Wx t ~г гН (*)• |
Следовательно, каждое решение (xt, yt) системы (4.33) является решением системы (4.1).
Обозначим У“ 1(t0)a = а0; тогда для t > t0 имеем
U (t, t0)a = Y (t) Pra0 (I a01< po = I У~’ (t0) | р).
Не нарушая общности, можно считать, что а0 — произволь ный я-вектор. Вектор Рга0 имеет лишь г первых координат, отличных от нуля. Решения системы (4.33) зависят от значе ний вектора Рга0 и, следовательно, от г произвольных постоянных. Но, в силу доказанного выше, каждое решение системы (4.33) является решением системы (4.1). Таким образом, решения системы (4.33) образуют семейство реше ний системы (4.1), которое зависит от г произвольных по стоянных.
Определим многообразие начальных данных этого се мейства решений. Из (4.33)а, учитывая структуру (4.5)
матрицы U (t, t„), Для координат у\ (і = 1, ..., п) решения (xt, yt) при t — t0 получаем следующие соотношения:
|
|
[У-1 Р оЫ , = [Pr*o\i = «о |
(* = 1, • • • . Г), |
(4.34) |
||||
|
|
|
о о |
|
|
|
|
|
|
&)УоЬ = ( [{Pr - |
In) У~Х(S) [F (s)xs + H (s)j ds], |
(4.35) |
|||||
|
|
|
t. |
|
|
|
|
|
|
|
|
(I = |
r + |
1 , . . . , n ), |
|
|
|
где |
I |
I, |
обозначает |
і-ю |
координату соответствующего |
|||
вектора. |
|
|
|
|
г + |
1......п равенствами |
||
|
Определим функции |
'Т'дляі = |
||||||
|
|
|
о о |
|
|
|
|
|
Y |
(аі, |
... , аго) = )' 1(Р, - |
/„) У"1(s) [Ft (xs) + Н (s)} ds)t. |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
(4.36) |
Обозначая |
Y ~ \t0)ytl>= |
|
запишем |
соотношение |
(4.35) |
|||
в виде |
|
.... do) |
|
|
|
|
||
|
|
|
(і = |
г + |
1, ... , п). |
|
||
