Файл: Митропольский Ю.А. Интегральные многообразия в нелинейной механике.pdf
ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 10.04.2024
Просмотров: 261
Скачиваний: 1
300 ГЛ. VI. Н Е Р Е Г У Л Я Р Н О - В О З М У Щ Е Н Н Ы Е СИСТЕМЫ
Подставляя в это соотношение вместо ÖO (t = |
1, |
г) значе |
|||||||||
ния, определяемые равенствами (4.34), получаем |
|
|
|||||||||
|
|
So = ^(5o. . . . . |
ö) |
(«' = |
'■+ 1, ... , |
п). |
|
||||
Отсюда |
видно, |
что |
начальные |
значения |
вектора |
g = |
|||||
= F -1 (t)yt удовлетворяют уравнениям |
|
|
|
|
|||||||
|
V = 'V1(S1, . . . , |
Г) |
(» = |
г + 1, |
. . . , л), |
Wr. |
|||||
которые определяют г-мерное точечное |
многообразие |
||||||||||
Так |
как |
| = Y~l (t)yt, |
то |
многообразие |
Wг |
начальных |
|||||
значений вектора yt определяется уравнением |
|
|
|||||||||
где |
|
|
|
y = |
Y(t0)l, |
|
|
|
(4.37) |
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
I - |
colon (I1, ... |
, Г, ЧГ+' (1\ ... ,Г), . - . , |
¥" (Н\ .. -, г» . |
||||||||
Покажем теперь, что каждое решение |
(xt, |
yt) системы |
|||||||||
(4.33) притягивается |
к |
интегральному |
многообразию. S (. |
||||||||
Для |
этого оценим разность |
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
Уі — L (t, e)xt — g (t, e) == A (/, e), |
t > t 0. |
|
|||||||
Из |
(4.30) |
имеем |
|
|
|
и |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
L(t, &)xt + g(t, e) = U (t, t0) |
] U(t0, s)[F(s)xs-\- H(s)]ds + |
||||||||||
|
|
|
|
|
----CO |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
oo |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
+ \ U{t, S) [F (s) xs + H (s)] ds. |
|||||
Отсюда и из (4.33)2 находим |
^0 |
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
||||||
А (/, р) = |
U (/, t0) \ a — |
\ U(t0, s)\F(s) xs + |
H (s)] ds\ = |
|
|||||||
— U {t, t0) i U {to T" 0) to |
a — |
j U(t0, s)(F(s)xs + |
H(s))ds |
{L
Так как
A {t0, \F) = U {to + 0, 10)
TO
A {(, e) = £/(*, to) A {t0, 8),
откуда, используя (4.6), получаем неравенство (4.32).
§ 4. М Н О Г О О Б Р А З И Я Л И Н Е Й Н О Й СИСТЕМЫ |
301 |
|
Пусть теперь (%(t), у |
(t)) — некоторое решение системы |
|||||
(4.1). Тогда из (4.1) имеем |
|
||||||
|
|
е |
|
= C(s)y (s) + |
E F (S) X (s) + еЯ (s), |
||
откуда |
|
|
|
|
|
|
|
|
с ю |
|
|
с |
ю |
|
|
е |
U (t, s) |
dy^ |
ds = |
j U(t, s)[C(s)y(s) - \~E F ( S ) X (S) - f E H ( S )] ds. |
|||
|
t-o |
|
|
U |
|
(4.38) |
|
Так как в силу (4.4) |
|
|
|||||
|
|
|
|||||
J |
U V’ s^ |
ds = |
|
|
|
||
|
= и (/, |
S) у (S) |
+ U ( t , |
s) y( s) |
\ Я (t, s) С (s) у (s) ds = |
||
|
|
|
|
|
|
|
*о |
|
|
|
= |
у (t) — и (/, g |
у (t0) — \U(t,s)C (s) у (s) ds, |
||
то из (4.38) находим |
|
|
<0 |
||||
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
с ю |
|
|
У (t) = |
U |
(t, |
t0) у (t0) + |
J U ( t , s) [F (s) X (s) + H (s)] ds. |
Отсюда видно, что решение (х (t), у (t)) системы (4.1) удовлет |
||||||||||
воряет |
системе (4.33) |
при |
xta = |
' (хд , |
а = |
у (t0), |
если |
|||
только |
у ( д |
£ Wr. Но |
так |
как |
все |
решения системы |
||||
(4.33) |
при I а \<С р, е < |
е0, t > |
tQпритягиваются к интеграль |
|||||||
ному многообразию S t |
по закону |
(4.32), то решение (х (t), |
||||||||
у (0) системы (4.1), для которого |
у (t0) £ Wr, |
тоже |
обла |
|||||||
дает этим свойством. Таким образом, утверждение 1° тео |
||||||||||
ремы доказано. |
|
2°. Предположим, |
что |
(х (t), |
||||||
Докажем |
утверждение |
|||||||||
у (0) — решение системы (4.1) такое, что |
у (t0) £ Wr. |
Как |
и все решения системы (4.1), оно удовлетворяет интеграль
ному уравнению
t
y(t) = Y it) Y~l ( g у ( g + j Y (t) K -1(s) [F (s) x(s) + H (s)] ds. to
(4.39)
802 |
ГЛ. VI. Н Е Р Е Г У Л Я Р Н О - В О З М У Щ Е Н Н Ы Е СИСТЕМЫ |
Определим матрицы Ѵх (t, t0) и U2 (Л W равенствами
(У, (У, g = Y (t) p rY - 1(t0), u a (/, g = Г (У) (Р, - /„) Г - 1(д (4.40)
для всех вещественных t, t0. Тогда выражение (4.39) можно записать в виде
У(0 = Ul {і, to) у (/0) — и 2 (t, t0) ь +
t
+ j Ux(t,s) [P (s) x(s) + H (s)] ds +
^ о
CO
+ j U2(t, s)\F(s)x(s) + H(s)]ds, (4.41) t
где
oo
b = \ U2 (t0, s)[F(s) x(s) + H (s)]ds + у (t0).
Кроме того, из соотношения (4.30) имеем t
L(t, e)x{t) + g(t, e) = j Ux(t, s)[F{s)x(s) + H{s))ds^
■— CO
CO
+) u 2(t, s) [F(s) x(s) + H (s)J ds. (4.42)
't
Вычитая (4.42) из (4.41), находим
y{t) — L (t, e) x{t) — g (t, e) = Ux (t, t0) у (t0) —
t
— U2(t, t0)b — [ U (t, s) [F(s) x{s) + H (s)] ds, t > g (4.43)
—oo
При получении оценки (4.32) было показано, что первый и третий члены правой части (4.43) стремятся к нулю при t ->■ оо. Покажем, что второй член f/2 (t, t0) b неограничен при t оо.
Действительно, U (t, t0)b ф 0, так как в противном слу чае для t > t0 уравнение (4.41) совпадает с уравнением (4.33)2 при а = yt„ и, следовательно, у,а£ Wr, что проти воречит нашему предположению. Очевидно, U(t, t0)b явля ется решением уравнения (4.4). Поэтому в силу предполо жения 2) теоремы оно неограничено на всей вещественной
§ 4. М Н О Г О О Б Р А З И Я Л И Н Е Й Н О Й СИСТЕ МЫ |
303 |
|
оси R. Но из неравенства (4.6) следует, что |
|
|
\U2(t, t0)b\<^К\Ь\е |
при t < t 0, |
|
т. е. |
что U2 (t, t0)b ограничено при t < t0. Таким образом, |
U2 (t, |
t0)b неограничено при t > t0, что и завершает доказа |
тельство утверждения 2° теоремы 4.2. |
|
Докажем утверждения 3° и 4°. Если г — п, то матрица |
|
U (/, |
s), определяемая равенствами (4.5), имеет вид |
и уравнение (4.33)2 принимает следующий вид: t
yt = Y (t) Y~' (t0) а + j Y (t) Y~] (s) {F (s) xs + H (s)} ds, t > t0. ta
Следовательно, система дифференциальных уравнений (4.1) при любом у (^0) = а эквивалентна интегро-дифференциаль- ной системе (4.33).
Поэтому при г — п точечное многообразие Wr представ ляет собой всю окрестность интегрального многообразия и любое решение системы (4.1) притягивается к интеграль ному многообразию (4.2) по закону (4.32).
Предположим теперь, что г = 0. Тогда из (4.5) следует
U (t, s) = 0 при t > s, U (t, s) = Y (t)Y~l (в) при t < s, вследствие чего уравнение (4.33) примет вид
сю
Ht = t\ Y (t) Y ~1(s) {F(s)xs + H (s)} ds< t >
в котором отсутствует произвольный вектор а. Отсюда вы текает, что многообразие Wr начальных данных вектора yt вырождается в точку
УU — L (t0, &)x0 + g (t0, е).
Теорема 4.2 доказана.
3. Периодические и почти-периодические интегральные многообразия. Справедлива следующая теорема [81.
Т е о р е м а 4.3. Пусть относительно системы (4.1) выполняются условия 1), 2), и, кроме того, функции А, В, h, С, F, Н — Т-периодические по t. Тогда функции L u g e (4.2) также будут Т-периодическими по t.
804 |
ГЛ. VI. Н Е Р Е Г У Л Я Р Н О - В О З М У Щ Е Н Н Ы Е СИСТЕМЫ |
|||||||||
Д о к а з а т е л ь с т в о . |
|
Из периодичности |
матриц |
|||||||
Л и С вытекает |
|
|
|
|
|
|
|
|||
X0(t + T , s + T ) = X 0(t, s), |
U (t + Т, s + T) — U (t, s). |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(4.44) |
Учитывая соотношения (4.44), а также периодичность |
||||||||||
функций F и h, |
находим |
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
с о |
|
|
|
|
|
|
L1 (t -f- Т, |
s) — |
j U (t |
T, s)F (s) X 0 (s, t -f- T) ds — |
|||||||
|
|
|
—oo |
|
|
|
|
|
|
|
|
CO |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= |
|
U (t |
|
T, а |
T) F(a -j- T) X 0(a |
T , t |
T) da = |
|||
|
-— CO |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= |
Li (t. e), } |
|
|
|
|
|
t + T |
|
|
|
|
|
|
"Чо+ |
T, t0-f- T) — j |
X 0( |
t |
T , s)h(s) ds = |
|
|
||||
|
|
|
t |
t 0+ T |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= |
^ X 0(t + T, o |
+ T)h(o + T)do = T]0(t, t0). |
||||||
|
|
|
i . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(4.45) |
В силу (4.44), |
|
(4-45) |
и периодичности |
функции |
Н имеем |
|||||
|
|
|
СО |
|
|
|
|
|
|
|
ёі + |
Т, 8) == |
I |
U (t |
Т, s) [F (s) г|0 (s, t -)- Т) -f- Н (s)] ds — |
||||||
|
с о |
— с о |
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= |
j |
U{t + T,a + T)[F(a + T)r\0(a + Т, t + T) + |
— СО
+ Н {о + T)]do = g 1(t, е).
Таким образом, функции Lx и g± — Т-периодические по t. Предположим, что функции L„_i и gn_ і — также T-пе
риодические по t; тогда X„_i (t + Т, s -f- Т) — X n_i (t, s). Аналогичным способом находим
oo
Ln(t + T, e) = J U(t + T, s)F(s)Xn_ l(s,t+ T)ds =
— CO
oo
=j U (t -|- T, a -f- T) F (a -J- T) X n_\ (a -f- T , t -f- T) do —
—OO
=Ln (t, e),