Файл: Митропольский Ю.А. Интегральные многообразия в нелинейной механике.pdf

Скачать файл
Заказать решение

ВУЗ: Не указан

Категория: Не указан

Дисциплина: Не указана

Добавлен: 10.04.2024

Просмотров: 257

Скачиваний: 1

ВНИМАНИЕ! Если данный файл нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам.

 

§ 4. М Н О Г О О Б Р А З И Я Л И Н Е Й Н О Й СИСТЕМЫ

305

Цп-\ {t +

Т', Z0 -f- Т) —

 

 

І+Г

 

=

і Хп_і (Z+ Т , s) [В (s) gn_ x(s, e) + h (s)] ds =

 

t

— j* X n_i (Z -\-T, а -\-T)\B(a -\- T)gn_\ (a -f- T, e) -)- t.

+ h(o + T)] da = TI„_I (Z, Z0);

 

 

CO

 

 

 

 

 

 

g„ (Z +

7\ e) =

j U (Z +

T, s) [Z7 (s) т)/г—1 (s, Z- f

T)

h (s)]ds =

—

] U (Z +

T, а +

 

T) [Z7 (er -f- T) T]„_i (o -|- T, t -f- T) -{-

 

—co

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

+ H(a + T)] da = gn(Z, e).

Следовательно, функции

Ln и gn — Т'-периодические

по Zпри n = 1,2, ...

 

Функции

L (Z, e) и g (Z, e) — T-ne-

риодические по Z, поскольку являются пределами равно­

мерно сходящихся последовательностей {Ln} и

[gn} Т-пе­

риодических функций.

 

правые части

системы (4.1)

; Предположим теперь, что

являются почти-периодическими функциями Z. Тогда спра­

ведлива следующая теорема.

относительно

системы (4.1)

Т е о р е м а

4.4.

Пусть

выполняются условия

1), 2), функции А, В,

h. С, F, Н —

почти-периодические и уравнение

(4.4) не имеет нетриви­

альных ограниченных на всей вещественной оси R решений.

Тогда функции L u g e

представлении (4.2)

будут почти-

периодическими по Z.

 

 

Пусть т — общий

почти-пе-

Д о к а з а т е л ь с т в о .

риод функций А, В, h, С, F, Н. Вейлу (4.8) функция АТХ0 =

— Хо (Z -j- т, s + т) — Х 0 (Z, s) удовлетворяет уравнению

~д[- [ Д т ^ о ] = ^ (0 ATX 0 +

(Z + т , s -f- т),

АхХ0 = 0 при t =

s,

где

AxA ^ A { t + x) — A{t).

306 ГЛ VI. Н Е Р Е Г У Л Я Р Н О - В О З М У Щ Е Н Н Ы Е СИСТЕМЫ

Это эквивалентно интегральному уравнению

 

t

 

АхХ 0=

( Х 0(t, а) АхАХ (о + х, s -f т) da.

 

S

 

Отсюда для t

s имеем

 

 

t

 

I AtX01< e j e2P v-^da <

e2™-'*

 

S

 

и , следовательно,

 

 

|ДтХ0К - ^ - е 2Р ^ і

(4.46)

для всех вещественных t, s. С другой стороны, из (4.4)

вытекает, что AXU =

U (і +

т,

s + х) — U (t, s) удовлет­

воряет уравнению

 

 

 

 

 

 

 

 

d[A r U]

С (() Ахи -(-ДXCU (i -J- т, s -f- т).

е---- ^----=

Используя (4.5), легко убедиться, что функция

 

 

о о

 

 

 

 

 

 

 

 

AXU = -Т- j

U (t, a) АXCU (о +

 

х, s +

х) da

 

представляет

собой

решение

этого

уравнения.

Оценим

эту функцию. Учитывая оценку (4.6),

получаем

 

 

о о

i ^ (S,I СГ) 1 1AXC 11Y (a -f x, s +

 

I A x ^< I 4 " 111 (А s)I

x) | da <

2/C3M-

- T 1'- 5'

 

2a

 

 

К3p

a

 

'

8

* da --

“ T 1^

;

e

 

----- e

 

 

 

 

 

 

 

a

 

 

 

(AtC==C(f +

T )-C (0 ).

 

 

(4.47)

Отсюда ясно, что эта функция ограничена на всей веществен­ ной оси. Она представляет собой единственное ограниченное решение, так как уравнение (4.4) не имеет, по предположе­ нию, нетривиальных ограниченных решений на всей веще­ ственной оси.

§ 4. М Н О Г О О Б Р А З И Я Л И Н Е Й Н О Й СИСТЕМЫ

307

Так как согласно (4.7),

оо

L, (t + т, е) — j U (t + т, s) F (s) Х0 (s, t + т) ds =

—оо

оо

= J и (t + т, О+ т) F (а + т) Х0(о + т, t + т) dot

— ОО

то выражение АXL, = L1 (t -f- т, е) — L, (tf, е) можно пред­

ставить

в

виде

 

 

оо

 

 

AXL, =

j

U (t + т, о + т) [ATfX 0 (а +

т, / + т) +

 

 

+ F (o)ATX 0]da +

I АZUF (o)X0(a,t)da.

Мажорируя это соотношение с учетом неравенств (4.6), (4.10), (4.11), (4.46), (4.47), получаем

IA XL , I<

jKe

cf '' ö| [jieß •'-«! F+I-■bI - e2P/<-«1 Jda +

 

 

— oo

 

 

<

2АГ

ft II f II

2Kss

ft# . (4.48)

a

- 2ß)ß

a 2 H-

 

e

 

 

 

/'

 

 

Итак, почти-периодичность функции Lx (/, e) доказана. Предположим, что функция L„_i (л = 2, 3, ...) — почтипериодическая, и покажем, что функция Ьп также будет

почти-периодической.

С этой целью оценим вначале выражение

АхХ„ — 1 =

ft« — 1 (t + т, s + т) — ft« — 1

(t, s).

Из (4.8) имеем

 

 

 

—ß- [АхХ„_і] = [А(t -f- т) -f- В (t + т)

1 (/ +

т, е)] х

X X ( И

т, s -f т) — [А(/) + В (t) L„_i (^, е)] Хг а — 1 (t, s) s

s

[ДХЛ +

Ax (ßL„_i)] ft„_i (^ +

T , s +

T ) +

■+• [-4 (0 + В (t)Ln— 1(^i e)l АхХ„_ь AxXn_i |/aS = 0,

308 ГЛ. VI. Н Е Р Е Г У Л Я Р Н О - В О З М У Щ Е Н Н Ы Е СИСТЕМЫ

Так как это уравнение с заданным начальным условием

эквивалентно

 

интегральному уравнению

 

 

 

t

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

д т Х п - і =

\ *

„ - 1

(t, а) [ДХЛ + Ах (5L„_i)]

 

(а + т, s + r ) d a ,

 

S

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

то, учитывая оценку (4.12), находим

 

 

 

 

 

 

 

І

 

 

 

 

 

 

 

 

 

I ДтЛ„_і I

{ I X „_i (t, s) I [ |ДТЛ I -T I Ax (Z?L„_i) |] >2

 

 

S

 

 

XIX „ _ 1 (a + T, s + T) I da <

 

 

 

 

 

 

 

 

р Ц (Р + 7ЕКг>

 

sl j" e<ß+veK ,)(a—sjßffj

 

 

 

 

g2 (P + VEK J ) \ t — s|_

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(4.49)

Оценим теперь выражение ATLn = L n (t -f-

T. e) —

Ln ( t, e).

Из (4.7)! имеем

 

 

 

 

 

 

 

 

 

о с

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ATL„ =

J [t/ (Z -f T, a + T) F (a +

T) X„_I (CT+ x, t

+ T) —

—oc

 

 

V ( Z, CT) Z7 (CT) X n_ i . ( a ,

 

 

 

 

 

 

CO

 

—

Z)]

c t a =

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

=

j

ÄT^Z7 (CT+ T) X„_I (CT4- T, Z+

T) der

 

 

— CO

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

H"

oo

 

(a -f- T,

 

4~ x)d(T -)-*

 

 

\

U (t, o) A x F X n_\

t

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

—OQ

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Co

 

 

 

 

 

 

 

 

 

+

J

ZZ(Z, er) Z7 (CT) ДxX n_ i d a .

 

 

 

 

 

—с о

 

 

 

 

 

Принимая во внимание неравенства (4.6), (4.12), (4.47) и (4.49), находим

а ..

) ATL J < \

F |e ( ß + v E K 2) \ t - o i d ( y +

— с о

о о

| ! - a |

+ Р ^ Ке

e (ß + v 8 K 2) \ t - a \ d a

,)

ß + y e K 2

§ 5. ИССЛЕДОВАНИЕ РЕШЕНИЙ СИСТЕМ УРАВНЕНИЙ

3Q9

а учитывая неравенства (4.14) и (4.19), получаем окончатель­

но

 

2*W H

2К\і

 

 

 

I

 

 

 

■ß — ѵе/С2

— ß—’увКг

 

 

 

 

 

 

 

 

2K\\ FJfi

< ^ з -

(4.50)

 

 

+

 

 

(ß + yeK2) (-^----2ß — 2ye^2j

 

 

Следовательно, соотношение (4.50)

верно для всех

п =

0,

1,

2,...

 

 

 

 

=

Доказательство почти-периодичности gn (t, е) по t при п =

0, 1, 2,... вполне аналогично.

Почти-периодичность

L

и g по і следует теперь из равномерной сходимости последо­ вательностей почти-периодических функций Ln и gn к этим функциям.

Теорема 4.4 доказана.

§ 5. Исследование решений линейных нерегулярно-возмущенных систем дифференциальных уравнений

В этом параграфе с помощью результатов § 4 мы исследуем ограни­ ченные решения системы (4.1) [9].

1. Основные предположения. Для исследования огра­ ниченных решений системы (4.1), кроме условий 1), 2), а также условия, что однородное уравнение (4.4) не имеет других ограниченных на всей вещественной оси решений, кроме тривиального (условие 3)), нам понадобятся еще сле­ дующие предположения относительно уравнения

 

Т Г = А ^ х -

 

<5 J >

4)

Существует фундаментальная матрица X (0

решений

уравнения (5.1) такая, что матрица

 

 

 

X(t)diag[Ik, 0]X -] (s), t > s,

J

 

 

X (t) diag [0,

/„_*] X-1 (s), t < s,

I

1

где /,• — единичная (i X

0-матрица, удовлетворяет неравен­

ству

I G (t, s) I < Ne~Vl il~s 1 (N, y1 — const ;> 0)

(5.2)2

 

при t,

s £ R.

..

 

 

Смотрите также файлы