Файл: Митропольский Ю.А. Интегральные многообразия в нелинейной механике.pdf
ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 10.04.2024
Просмотров: 258
Скачиваний: 1
810ГЛ. VI. НЕРЕГУЛЯРНО-ВОЗМУЩЕННЫЕ СИСТЕМЫ
5)Уравнение (5.1) не имеет других ограниченных на всей вещественной оси решений, кроме тривиального.
Укажем два важных случая, когда условие 4) заведомо выполняется.
а) Уравнение (5.1) приводимо к уравнению с постоянной матрицей, собственные значения которой имеют отличные от нуля вещественные части.
6) При всех t £ R матрица А ограничена, непрерывна,
непрерывно-дифференцируема, причем < б, где б — достаточно малая постоянная, и все собственные значения Kj
матрицы А удовлетворяют условию | ReÄ; | ;> а > 0. Дей ствительно, в случае а) уравнение (4.44) допускает фундамен тальную матрицу решений
X(t) — L (t) eälae
где L (t) — матрица Ляпунова, а Я_, # + — постоянные мат рицы, имеющие собственные значения соответственно с от рицательными и положительными вещественными частями. Легко проверить, что матрица
IL(t) diag [еH _ (t-s) , 0] L-'(s), |
t> s , |
G(t, S ) : |
(5.3) |
[L (t) diag [0, ■e-H+ (t- s)]Lr \ s ) , |
t < s , |
удовлетворяет условию 4).
В случае б) условие 4) выполняется в силу теоремы Коппеля, доказанной в работе [72].
2.Существование ограниченного решения.
Те о р е м а 5.1. Пусть относительно системы (4.1) выполняются^ условия 1), 2), 4), 5). Тогда можно указать
такое 0 < р <С р0, что при |
р < ц система (4.1) |
имеет |
ограниченное на всей вещественной оси решение |
|
|
(р (t, е), q (/, е)) = |
ij)(p (t, е), t, е), |
(5.4) |
непрерывное по е, причем |
|
|
p(t, 0) — р®(0, |
<7 (/, 0) = 0, |
(5.5) |
где (р° (0,0) — решение вырожденной системы, получающей ся из (4.1) при г — 0.
Д о к а з а т е л ь с т в о . Из теоремы |
4.1 |
вытекает, |
||
что на |
интегральном многообразии система |
(4.1) эквива |
||
лентна |
уравнению |
|
|
|
|
dt |
А (0 X + В (0 ф (X, t, е) -f h (t). |
(5.6) |
|
|
|
|
|
|
312 ГЛ. VI. НЕРЕГУЛЯРНО-ВОЗМУЩЕННЫЕ СИСТЕМЫ
Отсюда видно, что для тех значений е, |
для которых |
выполнено соотношение |
|
2N'k (е) у < YJ, |
(5.12) |
оператор 5 будет сжимающим. Однако это соотношение вы полняется всегда, если выполняется соотношение (5.11). Таким образом, оператор 5 является сжимающим для всех
е < е.
Следовательно, при е < е, t £ R существует ограни ченное решение р (і, е) интегрального уравнения (5.10), которое может быть найдено как предел равномерно сходя щейся последовательности функций:
ос
р0== р° (t) == ] G (t, s) h (s) ds,
oo
pi==p°(t)+ j G(t, s)B(s)ty(pi_ l(s, 8),s,R)ds (i= 1,2,...).
—>oo
(5.13) Кроме того, из (5.13) видно, что р (t, е) непрерывно по е и
|
|
p(t,0) = pa(t). |
|
(5.14) |
||
Дифференцируя тождество |
|
|
|
|
||
|
|
со |
|
|
|
|
p (t, e )= |
^ G {t, s) [В (s) ф (р (s, е), s, е) + h (s)] ds |
(5.15) |
||||
|
|
— oo |
|
|
|
|
по t и учитывая условие 4), получаем |
|
|
||||
= [G ( t j — 0) — G (t, t + 0)] [В (t) ф (р (t, г), t, е)+ h (t)} + |
||||||
|
со |
|
|
|
|
|
+ |
I |
A(t)G(t, s) [Д (s) ф (p (s, |
e), s, e) + h(s)]ds = |
|||
—oo |
~ A (t)p (t, e) + В (t) ф (p (t, e), t,e) + h (t). |
|||||
|
|
|||||
Следовательно, функция p (t, e) удовлетворяет уравне |
||||||
нию (5.6). Так как у = ф (х, |
t, е) — представление интег |
|||||
рального |
многообразия для |
системы |
(4.1), то функции |
|||
Р (t, е), |
< 7 (t, г) == ф (р (t, е), |
і, г) образуют решение си |
||||
стемы (4.1). В силу теоремы |
4.1 |
и |
доказанных |
свойств |
||
Р (С 8) функция q (t , е) ограничена, |
непрерывна |
по е и |
||||
q (t, 0) = |
0. Это завершает доказательство теоремы 5.1. |
|||||
§ 5. ИССЛЕДОВАНИЕ РЕШЕНИЙ СИСТЕМ УРАВНЕНИЙ |
313 |
||
Т е о р е м а 5.2. Пусть |
относительно системы |
(4.1) |
|
выполняются |
условия 1), 3), |
5). Тогда, если функции А, |
|
В , С, F, h, |
Н — Т-периодические, то при s <; s система |
||
(4.1) имеет |
Т-периодическое |
решение (р (t, е), q (/, |
е)), |
непрерывное по ей сводящееся к решению (рп (t), 0) вырожден ной системы.
Д о к а з а т е л ь с т в о . Так как матрица А — пе риодическая и выполняется условие 5), то выполняется условие 4) и матрица G (t, s) имеет вид (5.3).
Таким образом, все условия теоремы (5.1) выполнены, и следовательно, система (4.1) имеет ограниченное решение (5.4), обладающее указанными в теореме 5.1 свойствами. Остается показать лишь Г-периодичность этого решения.
Из тождества (5.15) получаем
OQ
р (t + |
Т, е) = |
j |
G ( t + |
T,s) [ß (s) г|) (p (s, e), s, |
e) + h (s)] ds= |
|||||
|
|
o© |
|
—-oo |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
— £ G (t + T, s + T) [ß (s -f-T) ijj {p (s -f-T, |
e), s -f-T, e) Д- |
|||||||||
|
--- OO |
|
|
|
|
|
~T h (s + T)] dst |
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
откуда, учитывая T-периодичность ß, г{?, h, находим |
||||||||||
p(t + Т, е)— р (t, в) = |
|
|
|
|
|
|||||
|
oo |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= |
J {ö(/+ T, s + |
T)[ß(s)xp(p(s + T, 8), s, e) + |
h(s)] — |
|||||||
|
—oo |
|
|
— G (t, s) [B (s) Ijj (p (s, e),s,e) + |
h (s)]} ds. |
|||||
|
|
|
|
|
||||||
Так как G (t + |
T, s + |
T) — G (t, s), |
то в силу (4.3) и (5.2), |
|||||||
имеем |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
I р (/ + |
Т, |
е) — р (t, е) 1< |
|
|
|
|
||||
|
©о |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
< |
|
] \G(t> s) i|ß(s)||ß(s, e)|]p( s+ |
T, e) — p(s, |
e ) | d s < |
||||||
|
—oo |
|
|
< |
2Nyl (e) уГ11p (t + T, |
s) — p (t, e) (|. |
||||
|
|
|
|
|
||||||
Отсюда находим |
|
|
|
|
|
|||||
I p (t -h Г, e) — p (t, s) I < |
2Nyk (e) уГ* ||p(t + T,e) — p (t, e) ||. |
|||||||||
Из этого неравенства и соотношения (5.12) |
следует, |
|||||||||
что |
при |
е < |
е |
имеет |
место \\р (t + |
Т, е) ~ |
р (t, |
е)|| < 0, |
||
т. е. р |
(t |
+ Т, |
в) = р |
(t, |
в). |
|
|
|
||
