Файл: Митропольский Ю.А. Интегральные многообразия в нелинейной механике.pdf

Скачать файл
Заказать решение

ВУЗ: Не указан

Категория: Не указан

Дисциплина: Не указана

Добавлен: 10.04.2024

Просмотров: 253

Скачиваний: 1

ВНИМАНИЕ! Если данный файл нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам.

314

ГЛ. VI. НЕРЕГУЛЯРНО-ВОЗМУЩЕННЫЕ СИСТЕМЫ

 

 

Итак,

Г-периодичность р (t,

е)

установлена;

Г-перио-

дичность

q (t,

е) = ф (р (t, е),

t,

е) вытекает

из

теоре­

мы 4.3.

 

5.3. Пусть относительно системы (4.1) вы­

 

Т е о р е м а

полнены условия 1) —5). Тогда, если функции А,

В,

С, F,

h, Н — почти-периодические, то ограниченное решение (5.4), существование которого утверждает теорема 5.1, является почти-периодическим по t.

Д о к а з а т е л ь с т в о . Предположим, что т — общий

почти-период функций А, В, С, F, h,

Н с точностью до р,

т. е.

 

 

 

 

 

I ДТЛ| = |Л(^ + т ) — Л ( 0 | < р ,

|ДгД | < р

(5.16)

и т. д. Оценим разность АTG = G (t +

т, s + т) — G (t, s).

Из (5.1) имеем

 

 

 

 

—

[ATG] =

А (t) ДTG -f- ДТЖ? (t -f- т,

s -f- т).

Использѵя

условие

4), легко убеждаемся,

что

функция

 

оо

G(t, а ) At /4G ( а +

т, s +

т) do

 

ДXG — J

 

 

—о с

 

 

 

 

является ограниченным на всей вещественной оси решением этого уравнения. В силу условия 5) такое решение един­

ственно.

 

 

=

G (t, s) G (s, о), то

 

 

Так как G (t, о)

 

 

 

 

 

ОО

 

 

 

j At G| <|G(f,

s)\

j

(G(s, ff)||AXi4||G((T +

T , s +

T)|da.

 

 

 

—oc

 

 

 

Принимая во внимание (5.2) и (5.16), получаем

 

IATGI <

АДцГ7*" " V =

{t~ s|.

(5.17)

Из (5.8), учитывая (5.17), находим

 

 

 

ос

 

 

 

 

 

IАхР" | <

)

IG(/ +

т, s + т) h (s -f- т) — G (/, s) h (s) | ds <

 

—оо

 

 

 

 

 

 

оо

 

 

оо

 

 

<

j

IAxGЦft||ds-ф j \ G ( t , s)||ATA | d s <

 

 

— oo

 

 

— oc

 

 

+ Л/} = Л

(5.18)

§ 5. ИССЛЕДОВАНИЕ РЕШЕНИЙ СИСТЕМ УРАВНЕНИЙ 315

Так как, согласно (5.10),

оо

pit +

т, е) =

p°(t Т- т) +

]

 

 

s)S(s)4(p(s, s), s,e)ds=>

 

 

 

 

—oo

 

 

 

 

 

 

 

 

 

oo

 

 

=

p°(t+ T )

+

 

 

T, e), s +

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

-f —joo G(t + x, s + x)B{s + т)ф (p (s +

T, e) ds,

то, учитывая представление (4.2), имеем

 

 

 

 

 

 

 

с о

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Ахр = Ахр° +

[ AXGB (s +

т) ф (р (s +

т, е), s + т, е) ds +

 

 

 

09 —оо

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

4-

J

G(t, s) В (s +

т) L (s +

е) Axp°ds 4-

 

 

 

 

 

+

[ G(t,

s) |АТ[BL] р (s,

е) +

А x[Bg]}ds.

 

 

 

 

—со

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Отсюда и из (5.17), (5.18) получаем

 

 

 

 

 

 

IАхр I < \I N2 +

у (р +

1) p N ^ r 1+

2yNіуГ11Атр 1+

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

4- И- (Y +

(Р + О“

*

Решая это неравенство, находим

 

 

 

 

 

 

IДтР 1 •< —

 

'уШ~

(^8 = ^2 +

(Ѵ ^і 4- (ѵ +

^) N)

.

где, в силу (5.12), знаменатель

— 2yXN > 0 при 8 < б .

 

Полученное

неравенство

доказывает

почти-периодичность

р (t, е). Почти-периодичность функции

q (t, е) = ф (р (t, е),

f, е) следует из теоремы 4.3.

 

 

устойчивость

ограничен­

3.

Условная

асимптотическая

ного решения. В предыдущем пункте мы доказали существо­

вание

ограниченного решения (р

(t,

е),

q (t,

е))

системы

(4.1)

и установили некоторые его свойства. Перейдем теперь

к исследованию устойчивости этого решения. Рассмотрим

вначале вопрос об

устойчивости

 

ограниченного решения

р (t, е) уравнения (5.6).

k — ранг

матрицы

G (t,

t -f 0)

Л е м м а

 

5.1. Если

и выполняются условия

теоремы

5.1,

то

ограниченное

816 ГЛ. VI. НЕРЕГУЛЯРНО-ВОЗМУЩЕННЫЕ СИСТЕМЫ

решение р (t, е) уравнения (5.1) условно асимптотически устойчиво при t i > t 0 относительно k-мерного многообразия

Wk начальных значений.

Наряду с

уравнением

(5.6)

Д о к а з а т е л ь с т в о .

рассмотрим уравнение

 

 

 

 

 

о о

 

 

 

 

X(t, b) =, G (t, tJb +

^G (t, s) [В (s) г|) (x (s,

b), s, E) + h (s)] ds,

 

u

 

 

 

(5.19)

 

 

 

 

 

где b — постоянный ш-вектор,

t >

t0.

 

 

Вычитая тождество (5.15) из (5.19), имеем

 

А (t, b) = G(t, t0) b +

\ G (t, s) В (s) L (s, e) Д (s, s) ds +

 

 

G (t, s) [B (s) ф + h (s)] ds,

(5.20)

где обозначено A (t,

b) = x (t,

b) — p (t,

e).

 

Пусть R — пространство непрерывных векторных фун­

кций и (t), удовлетворяющих неравенству

 

IV (t) I С

се~Ѵі(^“ 'о)

(с =

const >0) .

(5.21)

Рассмотрим в R оператор Т, определяемый правой частью уравнения (5.20):

о о

Tv =

G (t, t0) b -f

j

G (t, s) В (s) L (s, e) v (s) ds +

 

 

 

to

h

 

 

 

 

 

 

 

 

+

] G (t,

s) [ß (s) ф (p (s, г),

s, e) -f h (s)] ds.

(5.22}

 

 

----CO

 

 

 

 

 

 

 

 

Учитывая,

что G (t, s) — G (t,

t0) G

(tn, s),

получаем

 

|7u[<;lVe

Vl(* ta)

\b\ - \ - \Ne

27,<s <0,yXcds

 

 

 

 

 

 

*0

й

s

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

+ Ne~yi{t~ta)

J Ne~yi{s~to) [yX, (p + D +

Ih |] ds <

 

<

N\b\

 

УКс +

^

(P + ]) + 1 h Dj e Ы1

‘о)-

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(5.23)

§ 5. ИССЛЕДОВАНИЕ РЕШЕНИЙ СИСТЕМ УРАВНЕНИЙ 317

Очевидно, что Тѵ — непрерывная функция. Выберем е •< в

так, чтобы 2у,— N 2yX (е) > 0. Тогда найдется такая посто­ янная сх, что

2угЛПЬ|+2ЛГ» [уМр + 1) +

Цfal

< с х (е <

е). (5.24)

2у, — №уХ

 

 

 

 

Возьмем в (5.21) постоянную с =

с1. Тогда из (5.23) вытека­

ет, что

 

 

 

 

Т ц | С ^ е

Ѵі(^

/о).

 

Следовательно, если ѵ £ R,

то Тѵ £ R.

 

Убедимся теперь, что при

е < е оператор

Т является

сжимающим. Действительно,

если

{ѵ, ѵ) £ R,

то из (5.20)

получаем

 

 

 

 

со

 

 

 

 

1 Тѵ — Тѵ I < j IG (t, s) 11 ß 11 T (t, fx)||ü(s) — o(s)|ds<

^0

 

C NXуГ*уIV— VI

 

 

причем в силу (5.12) NyX <C yx.

Таким образом, выполнены все условия принципа сжатых

отображений и поэтому при г < е существует непрерывное решение ѵ — А (t, b) интегрального уравнения (5.20), удовлетворяющее неравенству

\k(t,b)\== \х (t, Ь) — р (t, е) I < схе - ^ ~ и), t > і0. (5.25)

Дифференцируя равенство (5.19) по t и учитывая структу­ ру (5.2)х матрицы G (t, s), убеждаемся, что каждое решение X (t, b) уравнения (5.19) будет также решением уравнения (5.6). Из (5.2)х следует также, что семейство решений урав­ нения (5.19) зависит от k произвольных постоянных. Много­ образие начальных данных этого семейства является A-мер­ ным многообразием, относительно которого ограниченное решение р (t, е) уравнения (5.6), в силу оценки (5.25), услов­ но асимптотически устойчиво, т. е. если х (t0, е) £ Wk, то \х (t, е) — р (t, е) I -> 0 при t ->- оо. Можно показать также,

что

если X (/0, е) £

W k , то | х

(t,

е) — р (t, н ) \

оо при

t ->

оо.

5.1. Если

k =

m, mo ограниченное ре­

С л е д с т в и е

шение р (t, е) уравнения (5.6) асимптотически устойчиво; если k = 0, то р (/, е) неустойчиво.

318 ГЛ. VI. НЕРЕГУЛЯРНО-ВОЗМУЩЕННЫЕ СИСТЕМЫ

Рассмотрим теперь решения системы (4.1):

Хмн if, б ) = X (t,

£ ,i f ( £ , t,

е ) ) ,

Умн if, в ) = У (t, i f

(^ ,t, e ) ) ,

лежащие на интегральном многообразии S t. Здесь

(5.26)

 

1 =

хмн (t0, б ) ,

if (£,

е) = умн (t0t б ) .

(5.27)

Покажем, что каждому решению (хМн. Умн) соответствует r -параметрическое семейство решений системы (4.1), стремя­

щихся к нему при t

оо.

 

относительно

системы

(4.1)

Л е м м а

5.2.

Пусть

выполняются

условия 1),

2).

Тогда каждое

решение

(хми,

у МИ) системы (4.1)

условно асимптотически устойчиво при

t > t a относительно г-мерного многообразия

Wr начальных

значений.

 

 

 

В системе (4.1) совершим

Д о к а з а т е л ь с т в о .

замену переменных

 

 

 

 

 

л- = хм„ (/, б ) +

и,

у = ут (t, б ) +

о.

(5.28)

Тогда вектор (и,

ѵ) будет удовлетворять системе

 

— =■■A(t)u + B(t)v\

R

~ = C(t)v + zF(t)u.

(5.29)

Так как матрица С (t) удовлетворяет условиям 1), 2), то, согласно теореме Коппеля [731, существует фундамен­ тальная матрица Y (/) решений уравнения (4.44) такая, что матрица

 

(Y (0 diag [Ег, 0] У 1(s),

/ > s ,

 

I Y (t) diag [0,

У-1 (s),

t <

s,

удовлетворяет

неравенству

 

 

 

\Y(t,

|/-s|

(K >0 , a > 0 )

(5.31)

s)|</Ce e

для всех вещественных t, s.

Наряду с системой (5.29) рассмотрим систему интеграль-

«ых уравнений

 

м = — \ X(t, s)B(s)v(s, e)ds,

(5.32)!

Y (t, ^o)ö + e j Y (t, s)F(s)u(s, e)ds, t > t 0,

(5.32),

Смотрите также файлы