Файл: Митропольский Ю.А. Интегральные многообразия в нелинейной механике.pdf

Скачать файл (21,78Мб)

Заказать решение

ВУЗ: Не указан

Категория: Не указан

Дисциплина: Не указана

Добавлен: 10.04.2024

Просмотров: 254

Скачиваний: 1

ВНИМАНИЕ! Если данный файл нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам.

	§ 5. ИССЛЕДОВАНИЕ РЕШЕНИЙ СИСТЕМ УРАВНЕНИЙ	31»
где X	(t, t0) — фундаментальная матрица уравнения	(5.1),
Y (t,	s) — указанная выше матрица, а — постоянный п-

вектор, п — г последних координат которого равны нулю.

Так как матрица К-1 (t0) невырождена, то, не нарушая общности, будем считать, что на пересечении ее первых г строк и г столбцов находится минор, отличный от нуля.

Покажем, что решение (u ( t , a , е),			v (t, а, е)) системы
(5.32)	удовлетворяет	неравенствам
\u(t, a,	e ) \| < e M 2\|a\|e	, \| v (t, а,	е)\| < М 3\а \ е
			(5.33>

где М2, Мя — положительные постоянные.

Будем искать это решение методом последовательных приближений:

«о —		ѵ0 — Y (t, g — a,,
		oo
uk =		— j X (/, s) В (s) V k -\ (s, a, e) ds,
		t						(5.34>
		OO						(5.34>
vk =		Y (t, t0) а + e j	Y (t,	s) F (s)	(s,	a,		e) ds
		{k= 1,2,...).
Для	k =	1 имеем
		_( I X (t, s) В (s) Y (s, g ads,				=	Y (t, g a.
Выберем такое ег <			e, чтобы 3ßea -< а. Тогда для е
гч	получаем
I “ і к	•	ß(s—о — — (S—/„)
I “ і к	і	у/С I а I ds <
	<	а 'е/Су\а\е	6 **	= еЛ^ \| а \ е		е		■(5.35)
	<	а 'е/Су\а\е	6 **	= еЛ^ \| а \ е		е		I
								I

I ѵгI < / ( |а I е

)

320	ГЛ. VI. Н Е Р Е Г У Л Я Р Н О - В О З М У Щ Е Н Н Ы Е СИСТЕМЫ

Предположим, что оценки вида (5.35) справедливы при некотором k > 1:

I uk I < е /И а I а I е

, I vk I < Mg |a | e

(5.36)

и покажем, что такие же оценки имеют место и для k + 1. Из выражений (5.34) имеем

j u/ц-і I <	j eP(s- ?>Y I vk I ds,
I vk+i I <	-it-to)			W	^	(s І )
I vk+i I <	Ke	I a I	+ e 1Ke		e	\|\| ^ 11 uk \| ds
				to
откуда,	учитывая оценки		(5.36), находим
I <„ Д431a I		a 'ее	e	^ *0>=	&M2\|a)e		e< *o),
	К I a I			\ e	2a		---ГГ (l— <
I ÜÄ+I 1<	К I a I	1 — e2/C\|) Fjj		\ e	*	<S'0,cls	---ГГ (l— <

- — (t-U)

•< /И31a I e

Таким образом, функции uk, vk (k — 0, 1, ...) определены, непрерывны и удовлетворяют оценкам (5.36) для всех t >

to-

Докажем сходимость последовательностей (5.34). Легко видеть, что

IѴ2 І+ 1 — ѵгі I = 0, I «2 («+р — «2(4-11 = 0 (і = О, 1, .. .).

(5.37)

Далее,

I ut — и01С Мг I а I е

і^2 — üil<е|г (*, g| j l ^ o , s) | f i ^ l l “ i — « o l * < I (5. t.

-d-U)

< - |- e 2/C2a 'В^Ц/ИДа

§ 5.

И СС Л ЕД ОВАН ИЕ

Р Е Ш Е Н И Й

СИСТЕМ

У Р А В Н Е Н И Й 321

Предположим, что

\и2і+і — и2і\ ^ Е ІІМй\а \М 1е

IÜ2 H+1 ) -Ѵ ѵ +. I < е2<'+‘ 'Л4І.+11а I Мг(-J- -

Г«-*.) 1

ß) -L в

(і = 0, 1, ...),

(5.39)

где

обозначено

М0 = ~

K2y\\F\\a. 1\-^---- ßj

. Тогда

оо

I ^2

і' +

^2 / + 1

8 j У (/, £„)| ^ I Y (І0>s)| IF I I 1 *2 / +

U2t I ds <1

ta) § Ke

tb)ds =

e /Се

<s <e)||F||e2,'Mo| a| /Wje

£ (S

e2‘+2/K+1 M

(-J- — ß) - у

« (<

‘о),

(5.40)х

! **2і+3 — М2 ( + 2

I IX (t,

s) I Y I О2 / + 2

— * % +

I ds <;

</+і)/Иж

1a I Mj (-^ — ß) -i- e

J еР(5-/„)те2

{s~to)ds <

< e 2<‘+‘)/Wo+11a I M

^ ~

{t~to\

(5-40^

Из (5.37) — (5.40) получаем оценки

I Mft+

1 — ыАI <

гкМо

\a\M L (k =

0, 1, . . .),

—■vk~i I <1 е*УИ02 I a IУИХ(-^----ßj "у*

( * = 1 .2 ,...) .

(5.41) Выберем такое е2 С чтобы выполнялось соотношение

е\М0 < 1. Тогда для а < е2 из (5.41) вытекает равномер ная сходимость последовательностей {ик}, {vk\ при t > t0 для любых векторов а с конечной нормой.

Л Ю. А. Митропольский, О. Б. Лыкова

822 ГЛ. VI. Н Е Р Е Г У Л Я Р Н О - В О З М У Щ Е Н Н Ы Е СИСТЕМЫ

Обозначим
lim uk = и (і(, а, г),	lim vk = v (t, а, е).
fe-vco	/г-+ оо

В силу равномерной сходимости последовательностей {у*} функции «, о непрерывны для всех t > tn, е < ег и любого ограниченного значения вектора а. Переходя к пре

делу в оценках (5.36), получаем неравенство (5.33). Предельный переход при k -> <х> в равенствах (5.34)

показывает, что функции и, ѵ удовлетворяют системе (5.32). Так как вектор а имеет г первых координат, отличных от нуля, и на пересечении первых г строк и г столбцов

матрицы	Y~x (t0) находится минор, отличный от нуля,
то (и (t,	а, е), V (t, а, е)) представляет собой г-параметри-

ческое семейство решений системы (5.32). Подставляя это решение в систему (5.32) и дифференцируя полученное тож дество по t, убеждаемся, что (и (t, а, е), v (t, а, е)) является также семейством решений системы (5.29).

Если положить в уравнении (5.32)2 t = t0, то получим

соотношение, определяющее г-мерное многообразие Wr начальных значений этого семейства. Умножая слева это

соотношение на матрицу Pr Y~l (t0) и учитывая	(5.30),
получаем
PrY - x (t0) V (t0, а, р) = P ,Y -' (t0) а.	(5.42),

Обозначим матрицу, стоящую на пересечении первых г строк и г столбцов, через М„. Так как, по Предположению, Мп невырождена и вектор а имеет лишь первые г координат, отличные от нуля, то из (5.42), получаем

a =diag[7Wn‘, 0] Y~' (t0)v(t0, а, г).

(5.42)3

Из существования Wr и замены (5.28) вытекает суще ствование точечного многообразия Wr начальных значений, определяемого соотношением