Файл: Митропольский Ю.А. Интегральные многообразия в нелинейной механике.pdf

где І = х0 — 5. Этот оператор

осуществляет непрерывное

преобразование шара 111 С 6t

в

пространство

f.

Оценим

Т%при | | | С 6j. Учитывая (5.33) и (5.44), имеем

|Т || < e M 2|diag [М Ц1, 0] К~'(*о)

\Уо~

“Ф (-«о — І,

е)]| <

< еМ .Д Т

Выберем е* С е2 такое, чтобы

&*M2d .

(5.49>

Тогда из оценки для ТІ вытекает, что при

е < е *

оператор

Т переводит шар | | | <

бх в себя,

следовательно,

он имеет

в этом шаре неподвижную точку |

= |*. Очевидно,

удов­

летворяет

уравнению

(5.48).

Положим

а* =

diag Ш и1,

0] У'"1(^о) [г/о —

(х0 — I*, /0,

е)],

тогда

равенства

(5.45)

будут выполняться при

а =

а*,

g =

=

х0 — I*

и 8 <

е*. Таким образом, при всех t >

t 0

x(t,

х0, г/о) =

X { t , f , Ф (I*, t,

в ))

+ и ( / , а*,

г),

)

У (t,

х0, г/о) =

У (*, £*, 'Ф(S*. *, е)) + v (t. а*, г).

)

что при t >

/0, е <

е* имеют место неравенства

I и it, а*,

е ) |< - |Д

а

( t - t о)

а

е

v(t, а*, е)|

8

J ± - = A ( t ) x ( t ) + A 1 ( t ) x ( t - A ) +

+ X (t,g (t ), X (t), x

( t - Д), у (t), у (t Д), е),

= гВ (et) у (0 +

гВ1 (d) у ( t -

А) +

( 1 . 1 )

+

eV (/, g (t), X (t), X (t — Д), у (t), y(t — Д), e),

-l$ r =

<*(t) +

G ( t , g ( f ) , x ( t ) , y ( f ) , e ) ,

где X, у, g — соответственно n,

m, ^-векторы, А (t), Ax (t),

В (et),

Bx(et) — ограниченные квадратные матрицы, со (/) —

ß-вектор-функция,

е — малый

положительный параметр.

Введем определение интегрального многообразия для

дифференциальных

уравнений

с

отклоняющимся аргу­

ментом.

1.1. Пусть

каждому t £ R соответ­

О п р е д е л е н и е

ствует некоторое множество St,д

точек х, у,

которое можно

представить

в параметрической

форме

соотношениями

§ 1. УРАВНЕНИЯ С ОТКЛОНЯЮЩИМСЯ АРГУМЕНТОМ

327

вида

f{t,g,e),

у = h(t, g, г),

g £ R k,

(1.2)

x =

где вектор-функции / (t,

g , г ) , h

(t, g,

e)

удовлетворяют

условию Липшица относительно

(g =

glt

..., gk) £ Rk.

Тогда St,\

есть ^-параметрическое интегральное много­

у = у

(t) и

любого t0 £ R

из соотношения (х (t),

у (t)) £

£ S f , д ,

g £

Rk, справедливого

для

t£ [t0 — А ,

t0], вы­

текает его справедливость для любого вещественного t.

Предположим, что относительно системы (1.1) выполня­

ются следующие условия.

В

(et), Вх (et) и со (f)

опреде­

1°. Функции А (і), А х (О,

лены и ограничены для всех

t £ R.

У (t, g, х, и, у, о, е),

2°. Функции X (t, g, X,

и, у,

V, е),

Rn и

Rm.

3 °

. При t £ R,

g £ Rk,

X = 0, и = 0, у = 0,

о = 0,

е £ Е8лсправедливы неравенства

{| X (t, g, 0, 0, 0, 0, в)|,

IY (t, g,

0, 0, 0, 0, е)|,

IG (t, g, 0, 0, е)|} С

М (г),

(1.4)

где М (е) ->■0 при е

0.

р < р х , О С

С

4 °

. Для любых положительных чисел 0 <

о

< р 2 в области ( 1

. 3 ) (где вместо р г и р 2 следует писать

р

и а) функции X, Y,

G удовлетворяют условию Липшица

по g,

X, и, у, ос постоянной Липшица X (е, р

, а),

причем

X (е, р , о) непрерывна по е, р ,

о

и X (е, р , о) ->- О,Х (е, 0, 0 ) =

=

о (е) при 8 -> 0, р

-V 0, а

и

0.

5°. Для матриц

V (t, т)

W (t, х), удовлетворяющих

при

/> • т уравнениям