Файл: Митропольский Ю.А. Интегральные многообразия в нелинейной механике.pdf

Скачать файл
Заказать решение

ВУЗ: Не указан

Категория: Не указан

Дисциплина: Не указана

Добавлен: 10.04.2024

Просмотров: 249

Скачиваний: 1

ВНИМАНИЕ! Если данный файл нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам.

828 ГЛ. VII. СИСТЕМЫ С О Т КЛ О Н Я ЮЩ И М С Я А Р ГУМ ЕНТ ОМ

и начальным условиям

 

V(t, Т ) | к

т

^ 0 ,

 

V (t,

т )

=

 

/ „

,

1

(1-}

 

W(t,x) |К т^ 0 ,

 

W (t,

т)

|,_t -

 

/ т ,

I

где /„,

/т — единичные

(п X п) и (т X т)-матрицы, спра­

ведливы

оценки

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

т ) |< К іе- а(<- х),

t >

т,

I

 

 

 

 

 

т ) |< К 2е -еа(і- г),

t >

т,

J

 

 

где /Сі, ^ 2 »а — положительные постоянные.

 

 

 

2.

Теорема о

существовании

устойчивого интегрального

многообразия. При сформулированных выше относительно

системы (1.1) предположениях справедлива следующая

теорема.

 

1.1. Можно указать такие положительные

Т е о р е м а

постоянные р*, о*, е* (р* <

plt о* ■< р2, е* <

е0),

что для

каждого 0 <

е <; е* система уравнений (1.1)

имеет интег­

ральное

многообразие

St,&,

представимое

соотношениями

вида (1.2), в которых f (t,

g,

е),

h (t, g,

e)

 

как

функции

t, g определены для

t £ R,

g £ Rk и

удовлетворяют нера­

венствам

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

I f (t,

g ,

e)| <

D

(e) <

pb

 

 

 

 

 

 

 

 

1h (t,

g,

e)| <

D (e) <

p2,

 

 

 

 

 

 

 

 

1/ (t,

g ',

e) — f

(t,

g",

e)| < y ( e ) \ g ’ —

g" I,

 

 

\h{t, g \e ) — h{t,

g",

e )|< v (e )|g '— g"|,

 

где D (e) -> 0,

у (e)

 

0 при e -> 0,

причем это многообра­

зие будет единственным.

 

 

 

 

 

 

устойчивости,

Многообразие St,\

обладает свойством

заключающимся в том,

что любые решения системы (1.1)

X = xt, у = yt, удовлетворяющие,

при любом t = t0 и любых

(рг (t, е), ф2

(/,

е) из класса непрерывных функций

Ct0_ д, <0,

начальным условиям

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Xt

= Фі (t,

e)

для

t £ [ t о — Д, g ,

 

1

 

 

 

у ,

= ф2 (t, e)

для

t £ [*э — Д, g ,

 

J

 

 

 

 

I Фі (t,

e)| < p*.

I ф2 (t, e)| <

a * ,

 

 

( 1. 10)

§ 1. УРАВНЕНИЯ С ОТКЛОНЯЮЩИМСЯ АРГУМЕНТОМ

329

с течением времени будут стремиться к многообразию

St,A

по закону

 

 

 

 

 

 

I xt — f (/, g,

е)| <

Ki (e, D ) e~a[t- to)vw

(<px, /,

<p2> h),

j

 

Uft — h (t, g, e)| <

K2(e, D) e~a{t~U)vw

(<px, f, cp2, h),

j

 

где Ki, Ki, а — положительные постоянные,

 

 

ѵ<Л)(фі. f, Фя. h) =

 

 

 

 

 

 

=

sup

(|фі(^. e) — f(t, gt, e)j +

|cp2(^ e) — h{t, gt, e)|).

 

<6[<.-A,h)

 

 

 

 

 

( 1. 12)

 

 

 

 

 

 

 

 

Д о к а з а т е л ь с т в о . Пусть

D и

у — некоторые

фиксированные

положительные

числа,

причем

D •<

<Тпіп ( р , о). Рассмотрим класс Сп (D,y) функций F (t,

g) £

£Rnи класс Ст ІР, у) функций Н (t, g) £ Rm, определен­

ных для t £ R, g £ Rk и удовлетворяющих

неравенствам

\F (t,g)\< D, IH (t,g )\< D ,

j

 

(1.13)

\ H ( t ,g ') - H ( t ,g " ) \ < y \ g ' - g " \ . j

Возьмем любые две функции F (i, g) £ Cn (D , у), H (t, g) £ £ Cm (D, у ) и рассмотрим уравнение

■ ^ ^ o y ( t) + G (t,g,F (t,g), H (t, g), e).

(1.14)

Так как функция G (t, g, x, у, e) удовлетворяет условиям 3°—4°, а функции F (t, g) и H (t, g) — неравенствам (1.13), то для функции G (t, g, F (t, g), H (t, g), e) справедливы не­ равенства

IG (t, g, F (t, g), H (t, g), e)| <

M (в) + 2K (e, D, D) D,

\

IG(it, g', Fit, g’),H(t, g'), e) -

G(t, g", F(t, g"), H(t, g'% e)|<

 

 

< l( z ,D ,D )( l+ 2 y )\g '- ~ g ''\ .

 

 

 

(1.15)

Отсюда

следует, что при заданных начальных условиях

t ~ t0, g

~ g0 уравнение (1.14) будет иметь решение, и при­j

том единственное. Обозначим его символически в виде

 

 

gt — Тг,і0,

г = t

 

330 г л . VII. СИСТЕМЫ С О Т КЛ О Н Я ЮЩ И М С Я А РГ УМ ЕНТ ОМ

Заметим, что gt зависит и от параметра е, который в про­ цессе доказательства рассматривается как фиксированное число. Для сокращения записи мы эту зависимость не ука­

зываем.

 

теперь

функции

F,

F* £ Cn (D, y),

Рассмотрим

H, H* £ Cm (D, у)

и положим

rpFiH

 

 

 

gt

 

T ^ 1' (gl), gt

(go),

(1.16)

где go = gt0,

 

1 Z,to

go ~

gt„-

 

 

 

 

 

Тогда, на основании (1.14) и (1.15), имеем

 

d(gj — gt)

<Я (е, D, D) V(F*t F, H \

H) +

 

dt

 

 

 

 

 

 

 

(1.17)

 

 

 

+ Я(е, D, D) (1

-f- 2y) | go — go|.

где обозначено

 

 

 

 

 

 

 

V (F \ F , H*, H ) =

6up (I F* (t, g) — F {t, g)| +

 

 

 

 

 

+ \H * (t,g )-H (t,g )\).

(1.18)

Решая это дифференциальное неравенство, находим

= \T Z ? '(g 0)-

* ZJa Ы І <

 

 

 

 

<

j ^ ~ g 0| ^ eAO)(1+W" ,c' +

 

-f V.(f*’ Р'

 

(fiUB,D,D)(l+2y)l<-g — 1), t£R.

(1.19)

Рассмотрим теперь

преобразование

Щ

(2)

St,g — (Sl.g,

St,g)

функций (F, H) £ Cn (D , y) xC m (D , Y) в функции St<g(F, H) =

= iSS’g (F,

H),

S%(F, H)]\

 

 

 

 

 

 

 

0

 

 

 

 

 

 

 

S{ä(F , Я) =

J V (t,t + z)X{t + z- T lfig y,

 

F[t +

z, TF;(H(g)];

F[t + z — Д, T t HA,t (g)];

H \ t +

z,

T z;tHF (g)Y,

H [ t

+

z - Д, Т

РЛ . і

(g)l, e} dz, 1( 1.20)

H l t + z ,

 

 

о

 

H [ t

 

 

 

TF-

(g);

 

 

J

 

 

 

 

S\% ( F

, H) =

e

 

W ( t , t

+

z ) Y { t +

z-,

T Fzf

 

 

F[t + z, T Ff( g ) Y

F[1 + z — Д,

 

\,t (g)J;

 

 

T Ff

 

(g)];

 

+ z — Д, TZXt (g)l; e} dz. )

§ 1. У Р А В Н Е Н И Я С О Т К Л О Н Я Ю Щ И М С Я А Р ГУМ ЕНТ ОМ

331

Покажем, что при подходящем выборе величин D и у как функций е преобразование St,g отображает множе­ ство Сп (D, у) * Ст (D , Y) в себя и является сжатием.

Для этого оценим функции St,g (F, Я) и S * (F*, Я*) —

*•«о

- S t.b(F, Я).

Из (1.20), учитывая условия 3° — 5°, а также неравен­

ства (1.13) и (1.19), находим

 

 

 

 

IS \l (F, H)\< J k . { M (8) +

41 (8, Д

£>)},

 

 

 

|S < ; \ ( ^ * ) - 5 |1 ( F ,

Я )1<

 

 

 

 

 

0

 

 

 

 

 

 

 

 

I

 

 

 

< [/(A (e, D, D)(l + 2Y)U O—got 4-

 

 

 

 

0

+

(e, Д

D) V(F*, F, Я* H)\ X

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

X

(1 _|_ e X (e,D ,D )(l+ 2 v )A )

j

е І - а + М е .О ,І > ) ( Н - 2 ѵ ) ]|г у 2

=

^

2 ) .

 

 

 

—oo

 

 

 

 

( 1.2 1)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Подберем теперь величины D и у как функции е таким

образом, чтобы

D (е) -> 0,

у (е) -»■ 0 при е -> 0

и

чтобы

для всех 8 С

е

(е << 80) выполнялись неравенства

 

 

(М(е) +

4Це, D ,D )D }< D

(і = 1,2),

 

 

 

Х(е, Д D)(l + 2 Ѵ) <

~

<

~ ,

 

 

і

(1.22)

 

2/СД (в, D, D) (1 + 2у)

^

e\(g'D,D)(і+2ѵ)Д) <- у;

 

 

 

 

 

.

^8’ Д’ D> (1

eM8

,D.D)(l+2 v)A) <■ 1

(г =

1, 2).

 

 

Такой подбор D = D (e) и у = у (E) всегда возможен, поскольку М (е) -> 0, Я, (е, D, D) -»■ 0 при е -> 0, D -*■ 0.

Тогда, согласно (1.21) и (1.22), окончательно получаем

|S ^ (F ,tf )|< D (e )

(/ = 1, 2),

 

!5 « .( F * , H * ) - $

U F , H ) \ <

(123)

< 7 ( е ) и о - ^ 0|+

-1-ѵД*,Я,Я*,Я)

(і = 1, 2). j

Смотрите также файлы