Файл: Митропольский Ю.А. Интегральные многообразия в нелинейной механике.pdf

Скачать файл
Заказать решение

ВУЗ: Не указан

Категория: Не указан

Дисциплина: Не указана

Добавлен: 10.04.2024

Просмотров: 245

Скачиваний: 1

ВНИМАНИЕ! Если данный файл нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам.

332 ГЛ. VII. СИСТЕМЫ С О Т К Л О Н Я Ю Щ И М С Я АР ГУ МЕ НТ О М

Из (1.23), в частности, следует

 

 

 

I

. (F, H) -

S il (F, H)I

< y(B )\g0- g \

(i= 1,2),

 

 

 

 

 

 

(1.24)

I S&. (F*. Я*) -

(F, H)\ <

4 - V (F*, F, Я*, Я)

(i = 1, 2).

 

 

 

 

 

 

(1.25)

Из

неравенств

(1.23) и (1.24)

видно, что для каждого

0 < 8 < е преобразование

St,g

отображает

множество

Сп (D (е), у (е)) X Ст (D (е),

у (е)) в себя.

Кроме того,

это отображение является сжатием, так как, складывая

неравенства

(1.25)

(для і =

1, 2),

имеем

 

 

 

v[S(,!>„(F*,tf*),

Я),

S?l(F*,H*), S i3 ,(F ,//)]<

 

 

 

 

 

< i_v(F*, F, Я*, Я).

Поэтому, в силу принципа сжатых отображений, урав­

нение

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Ф = 5 и Ф

 

(1.26)

имеет решение в классе функций Сп (D , у) X Ст (D , у) и

притом единственное. Обозначим его

 

 

 

 

F = f(t,g,B), H = h(t,g,e).

 

(1.27)

Функции / (t, g, е) и h (t, g,

г), как функции

классов

С„ (D , у) и Ст (£>, у), удовлетворяют всем условиям теоремы.

Покажем теперь, что соотношения (1.12) определяют

интегральное многообразие для системы (1.1).

 

 

Согласно (1.20), (1.26) и (1.27), имеем

(іг_ д;

Л2;

 

 

о

 

 

 

 

f{t,S ,B )=

Jо

t + z) X ( t + z;

Tl:Uë)\

 

V(t,

fz-

 

 

 

—oo

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

д;

e)d2 ,

j

h {t, g, e) =

e J Г

(/, * + г) У (/ +

г; T # (g);

/ г; /г_ д; А,;

 

 

—oo

 

 

 

hz-A,

e) dz,

,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(1.28)

 

§ 1.

У Р А В Н Е Н И Я О О Т К Л ОН Я ЮЩ И МС Я

А Р ГУМ ЕНТ ОМ

333

где

для

краткости обозначено

/г =

/ (t + г; Tzj (g)', е)

и т. д.

 

 

 

 

 

 

 

Заменим в (1.28) g на

(g) и заметим, что, соглас­

но

нашим обозначениям

Т!і \ t0(Ы

= gt, То,\ (g0)

= g0»

имеем тождественно

 

 

 

 

 

 

 

п-'іЛ'рІЛ

 

 

 

 

 

 

 

і z,t I t—t

\~ t t

, t 9 y

 

 

 

 

= Tf,l}Z -

—0

 

(1.29)

 

 

rpf,h

__ rpT,nf.h

 

 

 

 

 

 

* —10—A,t0’

 

 

Учитывая эти тождества, введем в правых частях соот­

ношений

(1.28) новую переменную

интегрирования

т =

=

Z Ң- і

и положим

 

 

 

 

 

 

h(t,

Tft \ , t 0(g), е) = Уі..

В результате получим

 

і

 

Х( =

) V (t, т)Х(х, gT, хх, Хт_д, ух, Ух-А, e)dr,

—оо

 

 

t

 

yt = е

j

W {t,x)Y (т, gx, *т, *т-д, ут, Ут-д, е) dr.

(1.30)

}(1.31) I

Дифференцируя эти равенства по / как

по параметру

и принимая во внимание (1.5), находим

 

dx

yt, у,_д, e),

- J - = A(t)xt + А г (t) xt_д + X (t, g<( дс/_д,

= eß (ef)y, + еДДе*) у*_д + еУ(t, g(, xt, х*_д, y„ у*_д, e).

(1.32)

С другой стороны, по самому определению оператора

Т [ ' \ , t0 имеем

® У) + G (t, gf, х„ yt, е).

(1.33)

Таким образом, функции (1.30) представляют собой реше­ ние системы дифференциальных уравнений с запаздываю-

334 г л . , VII. СИСТЕМЫ С О Т К Л О Н Я Ю Щ И М С Я А Р ГУМ ЕНТ ОМ

щим аргументом (1.1), сводящееся при t = t0 к g,

f (t0, gt,. 8). h (t, gl«, e).

Следовательно, соотношения (1.2) действительно опреде­ ляют интегральное многообразие для системы (1.1).

Докажем теперь устойчивость интегрального многообра­ зия St ,A , т. е. покажем, что траектории любых решений системы (1.1), начальные функции которых лежат в области определения многообразия, с течением времени будут притягиваться к многообразию по экспоненциальному за­ кону.

Для этого рассмотрим следующую интегро-дифференци-

альную систему

уравнений:

 

 

 

 

 

U

 

 

к

x t —

V (t, to)®i(to,

е) +

j

V i f , т +

А ) (т + А)Фі(т, e)dx +

 

і

U-А

 

 

 

 

 

 

 

 

+

J V (t, т) X (т, gx, хх, хт_ д, ух, Ух- а, е) dt,

t > t 0,

 

t.

 

 

*0

 

 

 

 

 

 

 

 

9, = W(t, t0)O2(t0, e) +

e

W ((,x + А)B1(ex +

еД) X

 

 

 

t0~ A

 

 

 

 

t

 

 

 

 

X Ф2 (г, e) dt +

8 f VP (t, x) Y (x, gx, xx, xx- A, Ух, Ух-&, e)dx,

 

 

tn

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

t > t 0'

dgt =

cü(t) + Ü (t, gt, x„ yn 4), t > t 0

 

dt

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(1.34)

с начальными условиями

 

 

 

x t -

Фх (t, 8), yt =-. Ф2 (t, e) для t£

[/„ — А, t0], gu = g0,

ГД6

 

ФгФ2 € Ct M .

(1.35)

r'~ Применяй к правым частям уравнений (1.34) те же спо­ собы оценок, что и выше (при оценке функций (1.20)), до­ кажем существование и единственность решения системы уравнений (1.34).

 

* 1. У Р А В Н Е Н И Я С О Т КЛ О Н Я Ю Щ И МС Я А Р ГУМ ЕНТ ОМ

335

Для этого, как и прежде, вместо системы (1.34) рассмот­

рим систему

'о

 

 

 

 

 

 

 

X =

V (/,*„) Ф ^о, е)+

j

V (t,x + Д) Лх(т + А)Ф!(т, e)dt+

 

 

 

 

д

 

 

+

j

V (t, t + z) X (t +

z, gz, хг, xz- L, yz, уг~\, е) dz,

 

 

h -

t

 

 

 

 

 

 

 

 

*0

t > t 0.

y = W ( t, і0)Ф2(і0, e) +

 

W (t, x + А) В ^гх + гА) x

 

8

J

 

 

 

 

 

<o-A

 

 

 

X ф 2 (т, e) dx -f- e

|

№ (/, t -f z) x

 

 

 

X Y (t + г, gz, хг, Хг-\, уг, Уг-д, е) dz, * >

f0,

=

a>(t) + G(t, g, X, у, г),

t > t 0

 

с теми же начальными условиями

X (t) = Фх (t, е), у (t) = Ф2 (/, е) для t£ [ t0 — А, /0], g (<0) = g0. (1.37)

Решение этой системы будем искать методом последо­ вательных приближений. Возьмем произвольные непрерыв­

ные функции

/о (t, g,jz)

и /іо(/, g, е), определенные для

t > t0, g £ Rk, г £ (0, e],

удовлетворяющие условию Лип­

шица

 

 

 

I f l i t ,

g ' ,

е) —/о (/, g", e)|<Y |gf' — g " \,

Ihl(t, g',

 

(1.38)

e) — ho(t, g", e )|< Y |g ' — 4f"|,

и начальные функции Ф2 (t, е), Ф2 (t, е) так, чтобы для всех £ •< ez, t > t0 выполнялись неравенства

g,

е)| +

/С1і;іФ

Л (Л)< 0 (е ),

 

\hl(t,

g,

е)| +

К2^ |Ф

2||(Д)< 0 (8 ),

(1.39)

e ^ e ,

D(e1) < m in (p, a),

 

336 г л . VII. СИСТЕМЫ С О Т К Л О Н Я Ю Щ И М С Я А Р ГУМ ЕНТ ОМ

где е, р, а — определенные раньше числа,

||Ф£|(А> = sup

|Ф( (t,

в))

(i ==

1, 2),

L \ = 1 + ~т~(еаЛ -

1}-

=

1 +

п г

(ееаА - J)’

а, Ki (i = 1 , 2 ) — постоянные из условия (1.7), Llt u - постоянные, для которых

В качестве нулевого приближения для х и у возьмем функции

и (*. 8. ф 1

- е) =

fo (*. g>z) + v (*, *о)ф і (*о, е) +

 

 

 

 

+

(

V (і,т +

А) Ax(т + Д) Фх (т, е) dr,

t > t 0>

h0(t, ё,

ф 2. e)'— ho (t, g ,e) +

w (t, ^о)ф 2 (^О) e) +

 

 

 

 

 

*0

W(t,

T +

A)ß, (ет +

еД)Ф2(т, e)dx,

t > t 0,

 

 

+

 

i"

 

 

 

і«-д

 

 

 

 

 

 

 

 

fo(t,

g, Фі, e) =

Фх (t,

e), h0 (t,

g, Ф2, e) = Ф2 (/, e)

для t £ [ t0 —

Д, t0\.

 

 

t0, согласно неравенствам

(1.7),

Тогда

для

e <

ex,

t

>

(1.38)

и

(1 39),

находим

 

 

 

 

 

IM*, g

, ф1.

8 ) | < D ( 8 ) < p ,

 

 

 

IM*. g> ф 2 . e ) K D (e)<or,

 

 

IM*.

ф ь

 

 

 

g \

ФІ, e)| <

 

 

(1-40)

 

<

V 18' -

g" I +

KiL'ie-**-'* ІІФ -

ФІ |!(Л>,

 

 

I К I(*. g'. ф 2, e) — h0 (t, g", Ф 2, e)| <

 

 

 

 

<

7 \g' -

g" I +

к 2L ^ -eв(,- <•,Iф 2 -

ф ; і(Л).

 

Рассмотрим теперь уравнение

 

 

 

-%• = ®(0 + G(*. g, f0(t, g, Фь 8), h0(t, g, Ф2, e), e). (1.41)

Смотрите также файлы