Файл: Митропольский Ю.А. Интегральные многообразия в нелинейной механике.pdf

Скачать файл
Заказать решение

ВУЗ: Не указан

Категория: Не указан

Дисциплина: Не указана

Добавлен: 10.04.2024

Просмотров: 246

Скачиваний: 1

ВНИМАНИЕ! Если данный файл нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам.

S 1. У Р А В Н Е Н И Я С О Т КЛ О Н Я Ю Щ И МС Я А РГ УМ ЕНТ ОМ

337

Задаваясь начальными условиями t = /0, g — g0, мы можем построить решение этого уравнения, которое, в силу ограничений, наложенных на функции G, /0, /і„> существу­ ет и единственно.

Обозначим его в виде

g’f h° = Tt°LhU (g0, Фъ Ф2).

Если gt — два различных решения уравнения (1.41), то для их разности справедлива оценка

g t - g t \ < \ g o - g o \

+

 

 

 

+

\K*VW (ф ;,ф ;, Фг. Фг)

(éЛ<1+2

— е

 

), (1-42)

а + К(1 + 2у)

 

где

К* = шах {K-JL’x, К2Рд, 0 < аг<

а.

 

 

 

Чтобы построить первое приближение для х и

у,

подставим

в правые части первых двух

уравнений

(1.36)

вместо g2y

хг и уг соответственно выражения

 

 

 

 

(gKФі, фа), /о V + 2

; т[:?° (g, Фѵ Ф2), ФХ) е],

h0[t + z; T[f°(g, Фь Ф2), Ф2, е].

Оценивая полученные равенства с учетом условий 3°— 5°, а также неравенств (1.40) и (1.42), находим

IM*, g, ф ь ф 2 . e)|<Z>(e),

IM*. g> ф і, ф 2» е)|<Я (е),

|/і (*, g',

ф ь ф2 , S) - /х (/, g", ФІ Ф ; е)| <

 

< На(е. D) Iff' — g”I +

ИІ(8, D)e~“,('“ M (A> (Фь

ФІ, Ф2, Ф2),

I К (t, g', Фі, Ф2, е)—/іх(/, g", ФІ, Ф2, e)| <

 

< Tli (8,

D) I g' -

g" I +

-ПІ (e, D) e~a^ v w (Ф),

ф\, Ф2, Ф2),

где e <

e2 (e2 <

ex) 0 <

а 2 < аг, щ (e, D) 0,

т)х (e, D) -> 0,

pi (e, D) -*■ К гЬ\, г]* (e, D)

 

K2

при e->-0, D-+-0.

Продолжая процесс построения приближений для х и у,

мы получим последовательности функций

/о>

/і»

/г>

• • •

I /«>••• I

^0>

^1>

^2і

• ' •

> *Ч> • • • >

3 3 8 г л . ѴИ. СИСТЕМЫ С О Т К Л О Н Я Ю Щ И М С Я АР ГУ МЕ НТ О М

которые сходятся равномерно относительно t и g к некото­ рым функциям

/ (<, g , Фі, Ф„ в), Л (t, g, фь Ф„ e)

(1.43)

для всех е < е3 (es <С е2), t > f 0. Эти функции

будут удов­

летворять первым двум уравнениям (1.36) и начальным условиям (1.37), причем они будут единственным решением системы (1.36):

/(*, g, Фъ Ф2,е )~ Ѵ ( і, дФ і(*0,е).+

+ \ V (t, T + Д) At (T - f А) Ф х (т, e) dx +

'o-Ä

+\ V(t, t + Z)X(t + 2, Tfz’j(g , Фі.ФгІ./г./г-Д, К, ftz-д, б)<&,

U-t

(1.44)

А (/, Я, Фі, Ф*. е) = W (t, t0) Ф2, (/„, е) +

 

 

 

 

t0

W (t, х +

Д) Bi (ет + еА) Ф2 (т, е) dx -f-

 

 

+ 8

j

 

 

 

—А

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

+

е

1

W (/, t + г) X

 

 

 

 

 

 

 

 

t0-t

 

 

 

 

 

X Y ( t +

Z, Tfz’ht (g, Ф„ Ф2), ft, /г_д, К

/іг_д, e)dz, (1.45)

где

 

 

г;

 

 

 

Фх, Ф .) Ф і, Ф а, e],

 

 

h

= f It

T[*t (g,

 

 

К = h It +

 

 

 

 

 

 

 

+

г;

 

7*? (g, Ф1( Ф2), Фь Ф2, е].

 

 

Кроме того, для функций (1.43) справедливы неравенства

Ш*. g, фX, ф 2 . е)1 < D (е),

 

 

 

 

 

] А(/, g, Фх, Ф2, e)|<D (e),

 

 

 

 

 

\f(t, g', Фі, Фі, е) - f ( t ,

 

g", ФІ, ФІ, е)|<

 

 

 

< р (е, D) W

-

g"I +

Р* (в, D) е- а« - {' Ч А) (Ф\, ф\, Ф2,

ФІ),

(

І h (t, g', Фі, Ф'2, е) — h (t, g", ФІ, ФІ, е)| <

 

 

j

< Л (е, D) I g' -

g" I +

л* (e, D) е- “('-'-Ѵ Л)(Ф1( ФІ, Ф2) ФІ),

|

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(1.46)

где e < 8 3,

р (е, D)-> 0,

г| (е, D) ->-,0,

р* (е, D)

/Сх^-і,

X]* (г, D)-* К2Ь*2 при

е->-0, D->Q.

 

 

 

5 1. У Р А В Н Е Н И Я с О Т КЛ О Н Я Ю Щ И МС Я А Р ГУМ ЕНТ ОМ

3 3 »

Доказательство этих утверждений требует громоздких выкладок, и мы его здесь не приводим.

Покажем теперь, что функции (1.43) удовлетворяют первым двум уравнениям (1.34).

Для этого заменим в тождествах (1.44) g на T[’lt a,t0(g0, Ф,,Ф2). Используя затем соотношения (1.29) и вводя новую переменную интегрирования т — / + г, убеждаемся, что функции

ët ~

(goi Фі, Ф2>8)>

 

X, =

/[/;

т[\,<Лёо, Фі, Ф2); Фц Ф2; в],

 

Уі =

hit;

Tfi \ t o(g0, Фі. ф 2); Фі; ф 2; в]

представляют собой решение Интегро-дифференциальной системы (1.34) с начальными условиями (1.35). Для этих функций, очевидно, также справедливы неравенства (1.46).

С другой стороны, решения интегро-дифференциальной системы (1.34), удовлетворяющие начальным условиям (1.35), являются также решениями системы дифференци­ альных уравнений с запаздыванием (1.1) с начальными

условиями (1.9), в которых фі (t, e) — Фх (t, e),

ф2 (t, e) =

= Ф2 (/, e). В этом легко убедиться непосредственно диф­

ференцированием первых двух уравнений

(1.34) с учетом

( 1 .5 ) , ( 1 .6 ) .

 

 

Покажем, что верно и обратное утверждение, т. е. что

всякое решение хт, ух, gx системы (1.1)

с

начальным»

условиями (1.9) является решением системы (1.34) при тех же начальных условиях.

Доказательство проведем только для второго уравне­ ния в (1.1) и (1.34). Для этого подставим решение хх, ух, gx во второе уравнение в (1.1), умножим слева полученное

тождество на

W (і, т) и проинтегрируем затем в пределах

от t0 до t:

 

t

t

jV (*. x ) - ^ - d x = e§W (t, T ) В (ex) yxdx +

 

tQ

 

t

 

+ e j* W (t, T) ß x (ex) yx^ A dx +

I.

 

+ e j

W (t, x) Y (T, gx>xx, хх_д, y x, і/х_д, e)dx. (1.47)

U

3 4 0 г л . VII. СИСТЕМЫ С О Т К Л О Н Я Ю Щ И М С Я А РГ УМ ЕНТ ОМ

Интегрируя в левой части (1.47) no частям и вводя во вто­ ром интеграле в правой части новую переменную интегри­ рования z — х — А, которую снова обозначим через т, имеем

 

t

^ dx =

w(t, t)уt —w(t, g yu - J

t

*9

 

 

 

= e j* 1V (t, i 0) В (et) y x dx +

U

<—д

+ e j W (t, T + A)B1(ex + eA)yxdx +

t> -A

t

+ 8 j W {t, T ) Y (X, gx, xXt *х_д> yx, yx- \, e) dx. (1.48)

to

На основании (1.5) и (1.6) нетрудно убедиться в справед­ ливости соотношения

-dW{^ т) = — eW (/, т) В (ет) — eW (t, х + А) Вг(ет + еА),

и следовательно, равенство (1.48) можно записать в виде

W(t, i)yt — W (t, t0)y,' =

=

e to-j

ДW (t, X - f

A) ßj (ет + eA) yx dx —

 

l

W (t, X +

A) (ex -f eA) dx -j-

 

t

 

 

+

(t, x)Y (x,gx, xXt хх_д, yx, yx_Д, e)dr. (1.49)

 

^0

 

 

Принимая во внимание условия (1.6), имеем

W (t , t) = I ,

W (t, X + A) = 0 для t — Л < X < t.

Смотрите также файлы