Файл: Митропольский Ю.А. Интегральные многообразия в нелинейной механике.pdf

Скачать файл (21,78Мб)

Заказать решение

ВУЗ: Не указан

Категория: Не указан

Дисциплина: Не указана

Добавлен: 10.04.2024

Просмотров: 241

Скачиваний: 1

ВНИМАНИЕ! Если данный файл нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам.

§ 1. У Р А В Н Е Н И Я С ОТ К ЛО НЯ ЮЩ И МС Я А РГ УМ ЕНТ ОМ 341

Тогда из равенства (1.49), учитывая начальные условия (1.9), окончательно получаем

y t = W (t, t0) ф2 (t„, е) -f-

+	8	j	W (t, 1 + A) ß 1(ex -)-еД)фа(т, e)dx-\-
		Г		gx, xX)	! (1.50)
+	8	[ W (t, x) Y ( T ,		gx, xX)	X x- b , yx, tjx_Д, e) dx,
		и			t£{t0 — A ,t0].
		0,	= ф(. 8)	для	t£{t0 — A ,t0].
Так как при доказательстве существования решения си
стемы (1.36), и тем самым системы (1.34), мы наложили

на начальные функции условия (3.39), то функция <р2 (t, е) в (1.50) также должна удовлетворять этим условиям.

Выберем теперь е, р, сг* так, чтобы при
іФА(/, е)\|< D ( s ) < p * < р; \|Ф2(/, е)\|< D (е)<	а*< а;
е < е * < 8 3 < 8	(1.51)

выполнялись неравенства (1.39).

Тогда, как показано выше, всякое решение х, у системы {1.1) с начальными условиями (1.9), (1.10) будет удовлетво рять системе (1.34) и начальным условиям (1.35) при Фх =

Фі> Фг == Фг-		(1.51),	при которых существует решение
Но	условия
xt, yt	системы	(1.34),	удовлетворяющее начальным усло

виям (1.35) (и тем самым системы (1.1), удовлетворяющее начальным условиям (1.9)), эквивалентны условиям, при которых существует многообразие интегральных кривых для системы (1.1) (напомним, что функции / и h в (1.2) удо

влетворяют	условиям I / (/,	g, е) I < D (е) < р ,	\| h (t, g, в) \|<
< D (в) С	о, е < е).	у системы (1.1)	(при е С 8*),
Поэтому	все решения х,	у системы (1.1)	(при е С 8*),

лежащие на многообразии St,д, являются также решениями интегро-дифференциальной системы (1.34) (или (1.36)) и, следовательно, для каждого из них можно указать соответ

ствующие начальные функции	= Ф^, Ф2 =	Ф2, т. е. эти
решения можно представить в виде
x = f{t, g, е) = f(t, g,	ФІ, Фг, е),	I
y = h{t,g,B) = h (t, g, Ф*, Ф2, е).		(1.52)
y = h{t,g,B) = h (t, g, Ф*, Ф2, е).		I

342 г л . VII. СИСТЕ МЫ С О Т К Л О Н Я Ю Щ И М С Я А РГ УМ ЕНТ ОМ

Рассмотрим теперь неравенства (1.46), справедливые для решений интегро-дифференциальных систем (1.34) и (1.36). В силу того, что все решения х, у системы (1.36) являются одновременно решениями систем (1.34) и (1.1), мы можем взять в неравенствах (1.46) вместо одного из решений решение (1.52), лежащее на многообразии St,д.

В результате получим:

|/(*. g, Фі, Фа, е) — fit, g, е )|<


	< у* (г, D) е- “<^°Ул>(Фь ФІ, Ф2, Ф^),									(1 .оЗѴ
I h (t, g, Фь Фа, е) — h (t, g,						e)\| <

	Сту^е,		0)е _0‘<^ ' >)ѵ(Л)(Ф1, ФІ, Ф2, Ф2).
Заменяя в (1.53) произвольное фиксированное g на glt
мы можем взять вместо решения f (t, g, Фа,									Ф2, e),		h (t,
g, Фх, Ф2, e) системы					(1.36)		решение xt, yt системы				(1.1)
с начальными функциями Фі, <р2; вместо Ф* и									Ф2 поставим
/ (t,	gt, е) и h (t,		gj,	е). Тогда				получим неравенства
	I xt — f (/,	gt, s)l <			у * (в,		D ) < га('~ '° У д>(Ф і, /,			ф2, ft),
	I yt — h {t, gt, e)\| <				T)* («, D) е-«('-'» у А> (фі, ft cp2t h),
имеющие место для любых						решений xt, yt системы диффе
ренциальных		уравнений				с	запаздывающим			аргументом
(1.1) и с начальными условиями (1.9). Теорема										доказана.
З а м е ч а н и е				1.1. Теорема 1.1 является обобщением
на	системы	с	запаздыванием					результатов,	полученных

вработах 1131], [200].

За м е ч а н и е 1.2. В аналогичной постановке вопрос

осуществовании и свойствах интегрального многообразия для систем с запаздыванием, в случае, когда в системе

(1.1)	коэффициенты А, Лх, В, Вх — постоянные, рассмот
рен	в работе [201].

§ 2. Интегральные многообразия нерегулярно-возмущенных

систем с запаздыванием

В настоящем параграфе приведем некоторые результа ты, относящиеся к установлению существования и анализу устойчивости интегральных многообразий для одного клас са нерегулярно-возмущенных систем дифференциальных уравнении с запаздывающим аргументом [158].

§ 2. МНОГООБРАЗИЯ СИСТЕМ G ЗАПАЗДЫВАНИЕМ

343

1. Постановка задачи. Рассмотрим систему нерегуляр но-возмущенных дифференциальных уравнений с запазды ванием следующего вида:

=х, у, г),

=		х >*д)y + B{t, x , x A)yA+				g(t, X, ха, у, уа, е),
							(2. 1)
где X — m-вектор, у — п-вектор,					хА — х (/ — еД),		уА =
— у (t — еД), е 2> 0 — малый параметр.
Предположим, что для этой системы выполняются следую
щие условия.
1°. Вектор-функции f (t, х, у, е), g (t, х, хА, у, г/д, е)
определены и непрерывны в области
	t£R,		X, Ха £	£/і Уд € ^ р»> е €			(2-2)
здесь Q — область в евклидовом					пространстве Rm, UPa —
Ро-окрестность у = 0.						принадлежат классу
2°. В области (2.2) функции f a g
			(М (е) \|j,=i,Ä=o;	%(е, р)х,у, хА,уА),
где М (е)		0, Я (е, р) -► 0 при е			0, р -»- 0.
3°.	Функции А (і, X, Хд), В (t, X, ха) непрерывны, огра
ничены	в	области (2.2):
		\A(t, X, XA)\<L		\B(t, X, *A)\|< L !,			(2.3)

кроме того, матрица В (t, х, хд) удовлетворяет условию Липшица

I B(t, x', ха) — B(t, х", xl)\|	{\х' — х" \| + \| хд —хі\|}.
		(2.4)
4°. Собственные значения а,	= а t (t, х, хд) (і =	1,2,...)
матрицы А + Вс~еА удовлетворяют условию
Re«; С — 2 р < 0 .		(2.5)

2. Теорема о существовании интегрального многообра зия. При выполнении указанных выше условий для си стемы (2.1) справедлива следующая теорема.

344г л . VII. СИСТЕМЫ С О Т К Л О Н Я Ю Щ И М С Я А РГ УМ ЕНТ ОМ

Те о р е м а 2.1. Пусть относительно уравнений (2.1) выполняются условия 1°—4°. Тогда можно указать такие

положительные				р, е	(р •< р0,	е < е0), что для			каждого
О <	е <		е существует п-мерная				вектор-функция		h (t, xt
e),	удовлетворяющая условиям
		I h (/, X, e)\| <			D (e) < p,
		I h (t, x', e) — h (t, Xй, e)\| <					у (e) \| x' — x" \|,
где D (e)			0,	у (e) -> 0 при e			0, такая,	что соотноше
ние						X,	е)		(2.7)
					У — h ( t ,
определяет интегральное многообразие St<e& для									системы
(2.1),		и притом единственное.				Рассмотрим		класс	С (D, у)
	Д о к а з а т е л ь с т в о .
«-мерных			вектор-функций Н (t,				х, г), определенных для
/ £ R,		X £ Q,		е £ Е8о	и удовлетворяющих			условиям
			j Я {t, X, е)\| <		D,
			IН (і,x', е)— Я (t, х", е)\| < у \| х’ — х" \|,

где D, у — фиксированные положительные числа. Для не которой функции Я (t, X, е) из класса С (D , у) рассмотрим уравнение

—jjf = / (^, X, Я (i, X, е), е)

(2.9)

с начальным условием х (t0) = х 0, х 0 £ £2. В силу предпо ложений относительно функций f и Я решение уравнения (2.9) существует и единственно. Обозначим его в виде

xt ==-■X		(z, t0, х0, Я),	где z = t — 10.	(2.10)
Пусть Я,	Я — две функции класса С (D, у). Положим
Xt	X	tß, х0, Я),	Xf — X (z, ^g, XQ, Я).	(2 . 11)

Принимая во внимание условие 2° и неравенство (2.8). имеем

d (xt — xt)	<	Ä.(e, D )IЯ (/, x „ e) — Я (t, x „ e)J +
dt	<	Ä.(e, D )IЯ (/, x „ e) — Я (t, x „ e)J +
dt		+ Я(е, Z))(l -fy )\|^ t — xt \,
		+ Я(е, Z))(l -fy )\|^ t — xt \,	(2. 12)
где обозначено
	IЯ — Я I — sup I Я (/, X, z) — H(t, X, e)j.		(2.13)
		t,X

§ 2. МНОГООБРАЗИЯ СИСТЕМ С ЗАПАЗДЫВАНИЕМ

345

Решая это дифференциальное неравенство, находим

I Xt — Xt I < I X0 — X0 I eMe,£>)0+v)|z| _|_l ^ .Z? H l(gMe,D)(l+v)lz| _ J )_

7	(2.14)
Рассмотрим систему

8 dVdt’ " = A xf Xt-ел)V (*« s) + B (*. xt> */-ед) V{t — еД, s),

	(2.15),
V {t, S)\|KS = 0, Ftf, s)\|,=s = / (	(2.15),
где V (i, s) — (n X п)-матрица. Так как функции	А (t , х,

хд) и В (t, X, Хд) удовлетворяют условию 4°, то для матрицы

V (i, s) легко установить справедливость оценки
	I V (t, s)\| <; Ке е {‘	S),	i> s ,	(2.16)
где К — положительная постоянная.				Н (t,
Рассмотрим теперь преобразование S(tX функций
X, е) класса С (D, у) в функции StiX(Я):
о
s t,x ( H ) = 4" I	* + 2)g{*+ 2;	х	(г < х >Н У'
Х(г — еД, t, X, Ну, Н [/ + г;		X (г, t, х, Н), е];
Я [і -f- г — еД, Х(г — еД,t,x ,H )\ ej}Яг.				(2.17)