Файл: Митропольский Ю.А. Интегральные многообразия в нелинейной механике.pdf

Скачать файл
Заказать решение

ВУЗ: Не указан

Категория: Не указан

Дисциплина: Не указана

Добавлен: 10.04.2024

Просмотров: 242

Скачиваний: 1

ВНИМАНИЕ! Если данный файл нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам.

846 ГЛ. VII. СИСТЕ МЫ с отклоняющимся АР ГУМ ЕНТ ОМ

неравенства

D (е) < р < р0,

— - { М (е ) + 2А,(е, D)D) < Д

( 2.20)

Me, £>)(1 + ? ) < - £ - ,

4КХ(е, D)( 1 +e*ME.D)(H-v)|A!)< 1.

Тогда из неравенств (2.18) и (2.19) для е •< г получаем оценки

\St,x(H)\<D(e),

 

(2.21)

і Sü„ (Я) — S6*. (Я )І <

У(e)l *o — x01+

_L 1Я — Я 1.

(2.22)

Из неравенства (2.22), в частности, следует

 

і 5/J0 (я ) — S/.*. (Я )І <

У(е) I

— *о|>

(2.23)

15Мо (77) -

S tlXt(Я)I <

- і - 177 - Я ||.

(2.24)

Неравенства (2.21) и (2.23) показывают, что оператор Sts переводит семейство С (D (е), у (е)) в себя, а неравен­ ство (2.24) обеспечивает единственность решения уравне­ ния

H = StiX(H).

(2.25)

Обозначим это решение h (t, х, е).

Функция h (t, X, е ), как функция класса С (D (е), у (б)), удовлетворяет условиям (2.6), и поэтому для завершения доказательства теоремы 2.1 остается показать, что соотно­ шение (2.7) определяет интегральное многообразие для системы (2.1).

Из соотношений (2.17) и (2.25) имеем тождественно

 

о

 

 

h{t, X, е) =

j V {t, t +

г) g{t + г, X (г, t, х, h)\

 

X(z — еД, t, X, h);

h[t + z, X (z, t, x, h), e];

 

h [t +

г — EA, X (z — sA, t, x, h), ej; e} dz.

(2.26)

Заменим здесь хна X (t — tQ, t0, x, h) и заметим, что, в силу определения оператора X,

X [г,

— 10, t0, X, /г), h] = X (t + z - 10, t0, x, h). (2.27)

§ 2. МНОГООБРАЗИЯ СИСТЕМ С ЗАПАЗДЫВАНИЕМ

347

Тогда,

совершая

в

(2.26)

замену переменной

т — г + t

и вводя

обозначения

 

 

 

 

X ( t

—

10, t0, X,

h) =

x „

h [t , X

(t — t 0, t0, X, h),

e] = y „

получаем

 

 

 

 

 

(2.28)

t

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

У, =

j

V(t,

%)g{%, X x,

JCT_ e A , yx, Ут-гА, e)ÜX.

 

 

— o o

 

 

 

 

 

Дифференцируя это тождество no t как по параметру и учи­ тывая соотношения (2.15)х и (2.15)а, получаем

€

= А (t, Хь Xt—zA) yt + В (t, xt, Xt- г А ) Уt - г А +

 

+ g(t, Xt, Xt-гА, yt, Уt-г A, e).

С другой стороны, по определению оператора X, имеем

=

Ч Уь <0-

Таким образом, функции (2.28) являются решением

дифференциально-разностной

системы (2.1), которое при

t = t0 сводится к X, h (t0, X,

в) (при t £ lt0 — еД, f0] y t =

= h (t, X(, e) ]. Этим завершается доказательство теоремы. С л е д с т в и е 2.1. На интегральном многообразии

■Sf.eA. определяемом

соотношением

(2.7),

переменная х

удовлетворяет системе

 

 

Ау

8), е),

(2.29)

—

= f ( t , X, h(t, X,

и поэтому исследование решений нерегулярно-возмущенной системы (т + п) дифференциальных уравнений с запаздыва­ ющим аргументом (2.1) на интегральном многообразии St,aд сводится к исследованию решений системы т обыкновенных дифференциальных уравнений (2.29), которая регулярно зависит от малого параметра е , и кроме того, не содержит запаздывающего аргумента.

3. Теоргма об устойчивости интегрального многообра­ зия. Перейдем к исследованию устойчивости интегрального многообразия 5<,Ед.

Обозначим через С;0_еДЛ класс непрерывных на сегмен­ те U0 — еД, f0] функций Ф (t) и введем для них норму

«ф Г = sup ІФ (01-

A . U ]

348 г л . VII. С ИС ТЕ МЫ С

О Т К Л О Н Я Ю Щ И М С Я АР ГУ МЕ НТ О М

Свойство устойчивости

интегрального многообразия S/.eA

для нерегулярно-возмущенной системы дифференциальных уравнений с запаздывающим аргументом характеризуется следующей теоремой.

Т е о р е м а 2.2. Пусть относительно системы (2.1) выполняются условия 1°—4°, приведенные на стр. 343. Тогда можно указать такие положительные р*, е* (р*<р,

е* < е), что для 0 < е ■< е* интегральное многообразие Si,s& устойчиво в том смысле, что любое решение (xt, yt) системы (2.1), удовлетворяющее начальным условиям

x t ,

= *о. Ut = Ф(0

для

* €1*0— еД, g,

 

if) £ £ f » —е Д Д , , Iфif

*

(2.30)

Ф

Р * D (е)>

с течением времени будет притягиваться к многообразию Si,ед по закону

1у, — h (t, X, е)1 <

К* (е, D) е-*Г

Iф(0 — h(t, х(>г 1[<Д)

 

 

 

(2.31)

еде K*(R,D)-+K

+ -^-(1

— еиЛ)

при г 0, D -* 0.

 

а 4

 

 

Д о к а з а т е л ь с т в о .

Рассмотрим систему интегро-

дифференциальных уравнений с запаздывающим аргумен­

том вида

 

 

 

 

HY

 

X, у, е),

t > t 0

при (X = х0, t = g , (2.32)

-#■ =

/(*,

у = ѵ(/, д ф ( д

+

 

 

Н—~ ]

V (t,

t г

F A ) ß (^ + г -f- £А, хг+ЕД, хг) Ф (/ -f-

/в— f — еД 0

 

 

 

+ г) dz + -і-

j

V (/, f +

г) g (t +

г, хг, хг_ £Д, yt+z-eд, e) d2 ,

 

 

 

( > ( ,,

(2.33>

где F (/, s) определяется из системы (2.15Д, Ф (t) — произ­ вольная функция класса Ct0—eA,t„. Докажем, что если

норма IФ !(Д) достаточно мала, то эта система имеет един­ ственное решение, определяемое функцией Ф (t).

Будем строить это решение методом последовательных приближений. Возьмем произвольную непрерывную

 

 

§ 2. МНОГООБРАЗИЯ СИСТЕМ С ЗАПАЗДЫВАНИЕМ

349

функцию ho (t, X, е), определенную для

t >

t0, х

£ Q, е £ Е-

и удовлетворяющую условиям

 

 

 

 

 

 

 

 

h*o(t,

X, е) =

0

при

f < /„,

 

 

 

 

 

 

 

 

X,

е)| +

/С IФ (г'о)І -С

 

(е) < р,

 

 

(2.34>

 

 

I hl{t, x',

е) —hl (/, х", е)| <

у| х' — х"\,

 

 

где постоянные К, D, р, у имеют прежние значения.

 

 

Положим

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Уоs К У, х>ф . е) = ho(Л X, е) +

V ((, /0)Ф (t0),

(2.35)

 

 

 

= f (t, xhtk, hk, e), t >

t 0

(k =

0, 1 .. .),

(2.36)

 

 

 

 

 

H,

=

 

при

t = 70,

 

 

 

 

 

 

 

X t

X 0

 

 

 

y = hk{t,x,(S,z)

= V (t,t0)<S>(t0) +

 

 

 

 

 

 

 

 

t 0-— t

 

 

 

 

 

 

 

 

 

^

 

 

+

-jj-

/„—f-еД

V{t, t

z

eIS) В (t

z

еД, л:2+ед) Ф (^ +

+

 

?

V (t, t +

г) g [t -f- z;

 

 

ед, hk—i

I

dz + —- i

 

 

+

 

 

 

to-*

 

 

 

 

 

 

Ф, e), E]

 

 

+

2 ,

 

 

/ife_i (/ + z — еД,

 

dz

 

 

 

\ Ф, e), (k=

1,2,

...), *>/„•

(2.37)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Из

соотношения

(2.35),

учитывая

неравенства

(2.16)

и (2.34), получаем

неравенства

 

 

 

 

 

 

 

 

h 0 (t, X,

Ф, e)|<D (e),

 

 

 

 

 

 

 

 

IIК (*. X - ф - е)

—

К {t, X, Ф, е)| <

 

 

(2.38)

 

 

< v |

i —

 

 

ОЬ

 

 

Ф| (4), .

 

справедливые при е -< е,

t > t 0.

 

 

 

 

 

 

 

Рассмотрим уравнения (2.36) при к = 0. В силу нера­

венств

(2.38)

и

предположений

 

относительно

функции

/,

решение этого уравнения существует

и единственно.

Смотрите также файлы