Файл: Митропольский Ю.А. Интегральные многообразия в нелинейной механике.pdf

Скачать файл
Заказать решение

ВУЗ: Не указан

Категория: Не указан

Дисциплина: Не указана

Добавлен: 10.04.2024

Просмотров: 237

Скачиваний: 1

ВНИМАНИЕ! Если данный файл нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам.

'350 гл. VII. СИСТЕМЫ С О Т К Л О Н Я Ю Щ И М С Я АРГ УМЕНТ ОМ

Обозначим его

Xt° = X (t t0, t0, x0, h0, Ф).

Пусть xt°, Xt° — два решения уравнения (2.36), соответ­

ствующие двум различным начальным значениям: (х0, Ф) и (х0, Ф). Нетрудно убедиться, что для их разности спра­ ведлива оценка

\xht° - x ’}°\< \x 0- x 0\eul+' Kt- t*) +

+

IФ — Ф||<Л)(gMH-v)(<-<.) _ е

t > t 0.

(2.39)

Для

получения первого приближения

ht (t, х,

Ф, е)

подставим в уравнение (2.37) при k =* 1 вместо х^°,

h0 фун­

кции

 

 

 

 

 

 

 

 

X (г, t, X, h0, Ф),

h0(t -f- 2 , xfr, Ф, е).

 

Тогда, учитывая

условие

2°, а

также неравенства (2.3)

и (2.4), находим

 

 

 

 

 

 

 

|М *,*,Ф , е)|< /< -|Ф (д |е

Е

<о)+

 

 

 

 

 

-----—(t— Т — 8 Д )

 

 

 

t„—eA

Ке

е

 

Дг ||Ф ||w dx

 

 

 

 

 

 

 

 

 

0

Кг

а , ,

 

 

 

 

 

+ - Г t„-Jt

 

{М(е) + 2'К(&, D)D) dz С

 

<

KL*\0>f' +

J L {М(е) + 2Це, D)} Д

где обозначено L* =

 

А - О - е * * ) .

 

 

Выберем

теперь

ех <

е,

р* < D (е) <

р так,

чтобы

при всех е <

ві,

||Ф||1Л)< Р *

выполнялось

неравенство

K L * \\O f]1+ J L { M ( E) + 21 (г, D), D) <£>(е). (2.40) Тогда получим

\K(t, X, ф, e)|<D (e) ( t > t 0, 8 < е 1||ф||(д)<р*). (2.41) Решая уравнение (2.36) при k = 1, находим

xht' ^ X ( t - t 0, t0, х0, hlt Ф).

§ 2. МНОГООБРАЗИЯ СИСТЕМ С ЗАПАЗДЫВАНИЕМ

351

Пусть = ht (t, X, Ф, е), /іх = ( t, х , Ф, е) — два решения уравнения (2.37) при k = 1. Тогда, учитывая неравенства (2.4) и (2.16), а также (2.38) и (2.39) при 8j <;

С е, получим

\hi —h\ •< vx(e,

D ) \ x - x \ + К ^г,

D) е ~ ^ и~'о) \}Ф -Ф \(А>

где

( t > t 0, 8 < ei),

(2.42>

 

 

 

Vi(e, D )

= Ж . { N D e ^ +

Я (г, Z?)(l +

?)},

Кх (е, D) = /CL* + 2NDe2“д + -2К2>'| - Р) (1 + е^<і+ѵ)Л).

Очевидно, ѵх (е, D) -> 0, /Сі (е, D) -> KL* при е -> О, D ->■ -> 0.

С помощью метода полной математической индукции

нетрудно

убедиться, что

при 0 < е •< ех

и || Ф ||(А>< Р *

все функции

последовательности {Л„}

будут удовлетворять

неравенствам

 

 

 

 

 

 

 

 

 

|М *.*,Ф .в)|< £> (е),

t > t 0,

 

(2.43)

\hil - h \ <

vn( t , D ) \ x - x \

+ Kn(8, D) e ~ ^ (t~U)||Ф -

Ф ||<А»

 

 

 

 

t > t 0,

 

 

 

(2.44)

где ѵп (г,

D) ->■ 0,

Кп (е,

D) -* KL*

при

е

0, D

0.

Выберем

теперь

такое

положительное

е* ■< el t

чтобы

при всех 0 <

е -< е* выполнялось неравенство

 

 

Ж| (£»4+Д Ѵ (1 + Д А)І+

+ 2 К 1 ( ‘ ' D) (2 +

< q < 1.

Тогда для 0 < 8 С е* нетрудно показать, что при любом п справедливо неравенство

I! hn+i —hnI < qnIh±—h01|.

Так как q < 1, то для каждого положительного е < е* последовательность функций hn (t, х, Ф) сходится равно­ мерно относительно t и х к некоторой функции h (t, х, Ф, е).

352 гл . VII. СИСТЕМЫ С ОТКЛОНЯЮЩИМСЯ АРГУМЕНТОМ

Переходя в неравенствах (2.43) и (2.44) к пределу при л -> оо, получаем

IА (t, X, Ф, е)| < D (е)

(/ > 0, е <

е*. [| Ф ||(А) <

р*), (2.45)

\h{t, X, Ф, е) —h(t, X, Ф, е)|<

 

 

 

 

 

 

< V* (е, D) IX — X I + К*(е, D)е ~ ^ {*~U)||Ф — Ф ||(4),

(2.46)

где V* (е, D)

О, К* (е, D) -> 0 при е -> О, D

0.

 

С помощью предельного перехода в выражении (2.37)

при k -> оо убеждаемся, что функция h(t,

х, Ф,

е)

удовле­

творяет уравнению

 

 

u - t

 

 

 

 

1 і( і,х ,ф ,г ) ^ Ѵ ( і,і0)Ф{і0) +

± -

V {t,t + z + zД)Х

J

 

 

 

t,—t—eД

 

 

 

X 3[/-]-2 +

еД, Х(г +

еД, t,

х, h, Ф), X(г,

х, h, Ф)] Ф (t -f-

 

о

 

 

 

 

 

 

 

~Тz) dz -|——

I V (t, t -f- z) g {t -f- z,

X (z, t,

X, h,

Ф),

X (z —-

— eA, t, X, h, Ф), h [t + г, X (г, /, x, h, Ф), Ф, б)], h [t + г —

— еД, X (г — еД, t, х, h, Ф), Ф, е], г] dz,

t t0.

(2.47)

Заменим здесь х на X (t — t0, t0, х0, h, Ф) и, используя тождество (2.27), введем новую переменную интегрирования т = z + і. Тогда, если обозначить

xt = X (t, t0, х0, h, Ф), y, = h [t, X (t, t0, x0, h, Ф), Ф, e],

(2.48)

получим

y t = V{i, І0)Ф (t0) + u

+ “Г \ V (*’ x + eA) B (T + eA>Хі:+еЛ>x*>ф dx +

U—еД

t

+j V {t, T) g (t, xT, хт_8д, yx, Ух—eAj e) dx. (2.49)

Функция xt по своему построению удовлетворяет урав­ нению

- ^ - = / (*,*„ У,, е).

(2.50)

§ 2. МНОГООБРАЗИЯ СИСТЕМ С ЗАПАЗДЫВАНИЕМ

353

Кроме того, если yt = h (t, xt, Ф ,г),у( =

h {t, xt, Ф, e)—

две функции, удовлетворяющие

системе

(2.49) — (2.50)

и условию I Ф [|(Л> < р*, I Ф ||<л> с

р*, то, подставляя

эти

функции в неравенство (2.46), которому они, очевидно, удовлетворяют, получаем

I h (t, xt, Ф, е) — h (t, xt Ф, e)| <

< К *(в, 0)е“ 2Г(/^ о)||Ф — Ф||(Л), t > t 0. (2.51)

Таким образом, если функция

h (t, х, Ф, е) удовлетво­

ряет уравнению (2.33), то функции

(2.48) являются решением

системы (2.49) — (2.50) и для них справедливо неравенство

(2.51).

Дифференцируя выражение (2.49) по t как по параметру, с учетом соотношений (2.15)!, (2.15)2, убеждаемся, чтофункция удовлетворяет системе (2.1) с начальными условиями (2.30) при ф (/) == Ф (t).

Верно также и обратное утверждение, т. е. если функция yt удовлетворяет системе (2.1) с начальными условиями

(2.30)

, то она является решением уравнения (2.49) при

Ф (/) =

ф (/). В этом легко убедиться, если умножить сле­

ва второе уравнение системы (2.1) на матрицу V (t, т) и про­ интегрировать полученное равенство по т в пределах от t0 до t с учетом соотношений (2.15)!, (2.15)2 и начальных усло­ вий (2.30).

Рассмотрим теперь любое решение (х , h (t, х, в)) системы уравнений (2.1), лежащее на интегральном многообразии St,гд, и вспомним, что функция h (t, X, е) удовлетворяет при

0 < е -< е условию

 

 

 

^

I h (t, X, е)| <

D (г) <

p.

 

Если предположить,

что для

решения

(х, h (t,

х, е)) при

t £ \t0— еД, /0], eg

Ег. выполняется условие

 

\h(f,xt, e)lfÄ)< p * < D (e),

(2.52)

то, очевидно, это решение будет также удовлетворять интег- ро-дифференциальной системе (2.49) — (2.50), а, следова­ тельно, и неравенству (2.51).

Таким образом, все решения системы (2.1) (при 0 <с е < •< е*), лежащие на интегральном многообразии S^eA, яв­ ляются также решениями интегро-дифференциальной

12 Ю. А. Митропольский, О. Б. Лыкова

354 ГЛ. VII. СИСТЕ МЫ С О Т К Л О Н Я Ю Щ И М С Я А Р ГУ М ЕН Т ОМ

системы (2.49) — (2.50) и удовлетворяют неравенсту (2.51),

если

только их

начальные функции

ф (t) = h (t,xt, г)

при

t£ [t0 — еД,

^0] удовлетворяют

неравенству (2.52).

В силу этого мы можем в неравенстве (2.51), справедливом для решений интегро-дифференциальной системы (2.49) —

(2.50) , вместо одного из решений взять решение

(х, к (t,

X, е)), лежащее на интегральном многообразии St,e\

с на­

чальной функцией ф (0, удовлетворяющей условию (2.52). Вместо другого из решений в неравенстве (2.51) можно взять любое решение (xt, yt) системы (2.1) с начальными условиями (2.30), так как, по доказанному, это решение удовлетворяет интегро-дифференциальной системе (2.49) —

(2.50) .

В результате получим неравенство

 

II y t — h (t, X, е)|| <

К * (е, D ) е

| ф (0 — ф(/)||<Л)

 

t > t 0,

(2.53)

которое и доказывает теорему.

 

З а м е ч а н и е

2.1. Для линейных нерегулярно-воз­

мущенных систем с запаздыванием вопрос об устойчивых интегральных многообразиях рассматривался в работе [2071.

§ 3. Применение метода интегральных многообразий для доказательства существования и устойчивости ограниченного решения нерегулярно-возмущенной системы с запаздыванием

1. Постановка задачи. Согласно следствию 2.1, рассмот­ рение нерегулярно-возмущенной системы п +т дифферен­ циальных уравнений с запаздыванием (2.1) сводится на мно­ гообразии St,в& к рассмотрению системы т обыкновенных дифференциальных уравнений, которая регулярно зависит от параметра е.

Предположим, что кроме условий 1°—4° (приведенных на стр. 343) относительно системы уравнений (2.1) выпол­ няются следующие условия.

5°. Вырожденное уравнение

(3.1)

имеет ограниченное на всей оси R решение х = р° (t).

Смотрите также файлы