Файл: Митропольский Ю.А. Интегральные многообразия в нелинейной механике.pdf

356 гл. V I I . СИСТЕ МЫ С О Т К Л О Н Я Ю Щ И М С Я А Р Г У М Е НТ О М

Согласно свойствам функций F и G, оператор / переводит класс непрерывных и ограниченных функций в себя и явля­ ется сжимающим. Поэтому уравнение ѵ — Іѵ, а значит и уравнение (3.4), имеет единственное решение и = о (t, е).

Следовательно, функции

Р V, е) = /7°(/) + V(/, е), q(t,s) = h (’,p (t, г), е) (3.8)

являются ограниченными на всей вещественной оси решени­ ями системы (2.1).

Устойчивость решения (3.8) характеризуется следующей теоремой.

Т е о р е м а 3.2. Пусть относительно системы (2.1) выполняются указанные выше условия 1°—7°, и все собствен­ ные значения ß, (С) (£ = 1, .... т) имеют отрицательные вещественные части.

Тогда ограниченное решение (р (/, е), q (t, е)) системы (2.1) асимптотически устойчиво при t > t0.

Доказательство этой теоремы мы здесь приводить не бу­ дем (см. [9]). Заметим лишь, что при доказательстве сущест­ венно используется свойство устойчивости многообразия S/'Bа системы (2.1) и свойства матрицы С (/).

Г л а в а VIII

ИНТЕГРАЛЬНЫЕ МНОГООБРАЗИЯДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ В БАНАХОВОМ ПРОСТРАНСТВЕ

Вэтой главе рассматриваются дифференциальные уравнения в бес­ конечно-мерном банаховом пространстве В.

В§ 1 излагаются некоторые понятия геометрии бесконечномерных пространств, которые используются в последующих параграфах. Здесь также приводятся основные сведения из теории дифференциальных урав­ нений в банаховом пространстве.

В § 2 доказывается существование и устанавливаются свойства интегральных многообразий уравнений в стандартной форме, рассмат­ риваемых в банаховом пространстве В.

В§ 3 исследуются локальные интегральные многообразия уравнений, близких к точно-интегрирующимся.

В§ 4 дано приложение метода интегральных многообразий к ис­ следованию устойчивости решений нелинейных дифференциальных урав­ нений. Сформулирован принцип сведения в банаховом пространстве.

§1. Некоторые понятия геометрии бесконечномерных пространств

но в соответствие вещественное число ||х|| >• 0, называемое нормой элемента х, которое удовлетворяет следующим условиям:

1.

2.

3.

358 ГЛ. VIII. М Н ОГ О ОБ Р . У Р - Н И Й В Б А Н А Х О В О М П Р ОС Т Р А Н С Т В Е

Последовательность {xk} линейного нормированного

пространства N сходится к элементу х £ N, если \\т хп =

П-+оо

= X. Последовательность {хп} cz N линейного нормирован­ ного пространства называется фундаментальной (последо­ вательностью Коши), если для любого е > О найдется на­ туральное N = N (е) такое, что \\хп — хт||< в при п, т >

>N (е).

Пространство N — полное, если каждая фундаменталь­ ная последовательность сходится к элементу того же про­ странства. Полное линейное нормированное пространство называется банаховым пространством.

2. Линейные операторы. Пусть Blt В2 — банаховы про­ странства. Будем говорить, что задан линейный оператор Л, действующий из В1в В2, и писать А: Вг ->- В2, если каж­ дому элементу х £ Вх ставится в соответствие элемент у — Ах £ В2 так, что при этом

А (ах + ßr/) = аАх + §Ау

для любых а, ß из R (или С) и любых х, у £ Bt.

Оператор / называется тождественным, если он перево­ дит каждый элемент х £ В в себя: Іх = х.

Оператор F: В2 -> Bt называется обратным по отноше­

ным на Въ если существует постоянная С такая, что |) Ах [|в, < < СЦхЦв, для всех х £ Вг.

Если значениями оператора являются вещественные числа, то оператор называется функционалом. Множество всех линейных непрерывных функционалов над банаховым пространством образует банахово пространство, которое называется сопряженным банаховым пространством и обо­ значается В*.

Наименьшее значение константы С называется нормой

§ 1. Г Е О М Е Т Р И Я Б Е С К О Н Е Ч Н О М Е Р Н Ы Х ПРОСТРАНСТВ 359

Оператор А называется непрерывным, если для любого г >

в ß 2, естественным образом можно ввести операции сложе­

определяет оператор D: Вх -> В3, который называется

произведением D — А ■F операторов А и ß.

Если А и ß — ограниченные операторы, то оператор D также ограничен и, кроме того,

здесь алгебраических операциях это множество является банаховым пространством с нормой, определенной посред­ ством (1.1).

Множество ограниченных операторов, действующих из пространства В в то же пространство В, будем обозначать [ß]:

c l e f

[ß] - [ß, ß].

При определенной выше операции умножения [ß] явля­ ется не только банаховым пространством, но и банаховой алгеброй.

В пространстве [ß] важным является понятие сильной