360 гл . VIII. М Н ОГ О ОБ Р . У Р - Н И Й В Б АН А Х О В О М П Р О С Т Р АН СТ В Е
g £ В*2 ставится в соответствие функционал f £ В\, т. е. определяется оператор A*g = /. Оператор А* называется сопряженным к оператору А. Оператор А* является линей
ным ограниченным оператором, А*: |
В[ -> В2, при |
этом |
I А* I = ИЛ ||. Оператор А называется |
нормальным, |
если |
он удовлетворяет соотношению А*А = |
АА*. |
|
Замкнутое линейное подмножество банахова простран |
ства В называется его подпространством. |
(про |
Оператор Р £ [ВІУ В2] называется |
проекционным |
ектором), если Р2 = Р. Пусть дано произвольное разложе ние банахова пространства В на два подпространстваВІУВ2.
Тогда любой |
элемент |
х £ В можно представить в виде |
X = х1 + х2, |
где х1 £ |
Blt х2 £ В2. Элемент лу называется |
проекцией элемента х на подпространство ß x параллельно подпространству В2, а х2 — проекцией на В2 параллельно ß x. Каждое из подпространств называют прямым дополне нием другого. Подпространства Blt В2 образуют прямую сумму пространства В:
В= ßx + В2.
Рассмотрим оператор Р, осуществляющий проектирова ние В на Вр.
Рх = xv X £ В.
Легко видеть, что оператор Р удовлетворяет соотношению Р2 = Р, следовательно, он является проекционным. Верно и обратное утверждение: произвольный проекционный опе ратор Pj £ [ß, ßj] осуществляет проектирование простран ства В на подпространство В1 = РВ параллельно подпро странству В2 = (/ — Рх) В. Любая натуральная степень проекционного оператора является проекционным опера тором.
Если Рх — проекционный оператор, то / — Рѵ— также проекционный оператор, так как (/ — P J2 = / — 2Рх -+-
+ Р? = / - P i -
Если имеется прямое разложение пространства В в пря мую сумму k подпространств
В —В 1 + В2+ • • • + вк,
то операторы Р{ (і = 1, ..., k), осуществляющие проектиро вание В на подпространства В1} являются проекторами
§ 1. Г Е О М Е Т Р И Я Б Е С К О Н Е Ч Н О М Е Р Н Ы Х ПР ОСТР АНСТВ 361
и удовлетворяют соотношениям
Р г + ••• + P k = I , PiPl = P , P i = \ {
' Линейный оператор А £ [В] называется приводимым,
если В есть прямая сумма В = By -+- Вг + • • • подпро странств, каждое из которых инвариантно относительно А. В этом случае оператор А записывается как прямая сумма
А = Ах + А 2 + • • • операторов, индуцированных операто ром А соответственно в By, В%,...
3. Линейные операторы в гильбертовом пространстве Н .
Если пространство является гильбертовым, то подпростран ства, составляющие его разложение, обладают свойствами, связанными с наличием в гильбертовом пространстве ска лярного произведения и соответствующего ему понятия ортогональности. Под скалярным произведением в гильбер товом пространстве Я понимаем билинейный функционал (х, у) (X, у £ Я) со свойствами (х, х) > 0 при х Ф 0.
Норма в Я определена посредством соотношения ||л:|| *=> = У(х,х). Элементы xlt х, из Я называются ортогональны
ми, если (хі, хг) = |
0. Элемент |
Е Я ортогонален подпро |
странству Ну cz Я, |
если он ортогонален любому элементу |
из Ну.
Пусть Ну — подпространство Я; тогда каждый элемент
X € Я можно единственным |
образом |
представить в виде |
х = Х у |
+ х2, |
(1.2) |
где Ху £ Ну, а х2 ортогонален Ну. Если |
имеется представле |
ние (1.2), то говорят, что Я есть прямая сумма взаимно ор тогональных подпространств Ну и Я2: Я = Ну 0 Я2. Понятие прямой суммы обобщается на любое конечное или даже счетное число гильбертовых пространств. Так, Я есть
прямая сумма подпространств |
Ну, ..., Hk, если Я,- пошрнэ |
ортогональны и каждый вектор |
х £ Я может быть представ |
лен в |
виде X = Ху + |
• • • + xk, Ху £ Я,-, при |
этом если |
число |
подпространств |
бесконечно, то 2 |х й||2 |
сходится. |
|
|
|
k |
|
Таким образом, проекторы, рассматриваемые в гильберто вом пространстве, являются проекционными операторами ортогонального проектирования.
Пусть А — линейный ограниченный оператор, действу ющий в пространстве Я. Сопряженный к нему оператор
362 ГЛ. VIII. М Н ОГ О ОБ Р . У Р - Н И Й В Б А Н А Х О В О М П Р О СТ Р А Н С Т В Е
А* определяется формулой
(Ах, у) = (X, А*у) для X, у £ Н
и, в отличие от банахова пространства, действует в том же пространстве Я.
Если пространство Я —вещественное, то оператор А* часто называют транспонированным оператором и обо значают символом А'; он удовлетворяет соотношениям:
(х, Ау) = (А 'х, у) — (у, А'х) для всех х, у £ Н.
Линейный оператор А, определенный в Я, называется
симметрическим, если |
А' |
— А, т. |
е. (х, |
Ау) |
= (у, |
Ах); |
кососимметрическим, |
если |
А' = — А, |
т. |
е. |
(х, |
Ау) = |
= — (у, Ах); ортогональным, если |
А'А |
= |
АА' |
= |
/, |
т. е. |
А' = А~1.
Оператор А называется эрмитовым или самосопряжен
ным, если А* |
= А, т. е. (х, Ау) = |
(Ах, у) для всех х, у £ |
£ Я. Всякий |
эрмитов оператор в |
комплексном гильберто |
вом пространстве Я является ограниченным. Квадратичная форма (Ах, х), отвечающая самосопряженному оператору, принимает лишь вещественные значения. В связи с этим эрмитовы операторы играют важную роль в тех приложени ях, где требуется, чтобы форма (Ах, х) была вещественной (теория колебаний, квантовая механика). Оператор А назы
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
вается |
косоэрмитовым, |
если |
|
А* = |
— А, т. |
е. |
оператор |
І А — эрмитов. |
Оператор |
А |
называется . положительным, |
если (Ах, х) > |
0 при х ф |
0, и положительно-определенным, |
если (Ах, х) ф |
k (х, х) |
(k ф |
0). |
|
|
|
Примером самосопряженного оператора является опе |
ратор |
ортогонального |
проектирования. |
|
|
Линейный оператор U, действующий в Я, называется |
изометрическим, если |
|| ІІх\\ = |
||х|| |
(х£Н). |
Это |
эквива |
лентно соотношению (Ѵх, |
Uy) |
— (х, |
у). Если, |
кроме того, |
существует ограниченный обратный оператор U~l , то опе ратор U называется унитарным. Для унитарного оператора
U* = и ~ \
Эрмитовы и унитарные операторы являются нормаль ными.
4. Вполне-непрерывные операторы. Оператор А £ [В]
называется вполне-непрерывным, если всякое ограниченное множество отображается им в компактное множество, т. е.
если, какова бы ни была |
бесконечная |
последовательность |
элементов {/„} такая, что |
||/„(| •< С, |
последовательность |
§ 1. Г Е О М Е Т Р И Я Б Е С К О Н Е Ч Н О М Е Р Н Ы Х ПР ОСТР АНСТВ 363
{Л/„} содержит подпоследовательность, сходящуюся в силь ном смысле к некоторому элементу пространства В.
Внормированном пространстве конечной размерности всякий линейный оператор вполне-непрерывен, поскольку он переводит любое ограниченное множество снова в огра ниченное, которое в конечномерном пространстве всегда является компактным.
Вбесконечномерном пространстве полная непрерывность является более сильным требованием, чем просто непрерыв ность.
Вполне-непрерывные операторы обладают рядом специ фических свойств. Так, произведение вполне-непрерывного оператора на ограниченный есть вполне-непрерывный опе ратор. Сопряженный оператор к вполне-непрерывному является вполне-непрерывным. Вполне-непрерывный опе ратор ограничен.
Если Р — непрерывный (ограниченный) линейный опе ратор, переводящий банахово пространство В в некоторое его конечномерное подпространство, то Р вполне-непре рывен.
Если пространство — гильбертово, то оператор ортого нального проектирования на подпространство Н вполненепрерывен тогда и только тогда, когда это подпростран
ство имеет конечную размерность.
5. Прямые суммы пространств. Наряду с прямой сум мой подпространств можно рассматривать прямую сумму пространств. Так, пусть Ви В2....... Вп — банаховы про странства. Их можно рассматривать как подпространства
некоторого банахова пространства В, так что В = В1 +
+ |
...+ В п. Элементами В являются всевозможные наборы |
(лу, х2, ..., хк), где хк б Bk, с естественным определением |
суммы двух |
наборов и умножения на число. Норма в В |
|
|
П |
определяется |
следующим образом: |х | = S i хЛн = Ц*і||і + |
+ |
••• +ІІ-ѵ/і!г |
|
Пусть #!, |
# 2 — гильбертовы пространства. Элементами |
их прямой суммы являются всевозможные пары (/у, h2), где /у £ Ни h2 £ tf2, а скалярное произведение двух таких пар равно
({hb h2), {hx, /гг)) = (hlt hx) + (/г2, /г2). |
(1-3 |
364 ГЛ. VIII МН ОГ ООБР , У Р - Н ИЙ В Б АН А ХО ВО М П Р ОС Т РА НС Т ВЕ
В Я будут содержаться взаимно ортогональные подпростран ства, состоящие из пар вида (hlt 0) и (0, h2), при этом первое из них можно отождествить с Я1( а второе с Я2.
Если дана сумма счетного числа гильбертовых прост ранств Я — Нх © Н2 ® .... то элементами Я будут всевоз
можные последовательности вида |
х = |
(xlt х2, |
..., хп, ...) |
(хп £ Н п), такие, что 2k | MJ 2 < |
ПРИ этом |
скалярное |
|
|
с о |
|
произведение (х, у) элементов x w y m H |
равно 2 |
(**, */Д- |
6. Элементы спектральной теории линейных ограничен ных операторов. Введем в рассмотрение комплексное бана
хово пространство В , называемое комплексной оболочкой
пространства В. Элементами В будут пары {хи х2} элемен тов В, записываемые в виде {jtlt х2] = лу + іх2. Норма
в В определяется посредством | хх -f іх21= шах [|ххcos Ѳ -f
+ х2sin ѲII*).
При рассмотрении комплексной оболочки Я веществен ного гильбертова пространства Я вместо нормы определя ется скалярное произведение, так, чтобы Я стало комплек сным гильбертовым пространством. Этого можно добиться, полагая
( * і + і х г , |
Уі + ІУа) = (*і, |
Уі) + (*а. Уа) + ‘ К * 2. Уі) ~ (* і. Уа)]- |
Точка к комплексной плоскости называется регулярной |
точкой оператора А £ [5], если существует |
ограниченный |
оператор |
R (к) = R (к, |
А) = {А — кІ)~1 , |
определенный |
на В, такой, что R (к) ■(А — кі) — (А — к[) ■R (к) — /. Оператор R (к) называется резольвентой оператора А. Мно жество р (А) всех регулярных точек оператора А называет ся резольвентным множеством оператора А. Резольвентное множество всегда открыто. Дополнение множества р (А) до всей комплексной плоскости называется спектром опе ратора А. Таким образом, спектр о (Л) всегда образует замкнутое множество. Спектру о (УІ) принадлежат все соб ственные значения оператора А, т. е. те значения к, для
*) Не делая специальных оговорок, в дальнейшем всюду, где речь идет оспектре оператора, будем считать, что оператор действуете ком плексном пространстве, которое будем обозначать В .
