Файл: Митропольский Ю.А. Интегральные многообразия в нелинейной механике.pdf

одно ненулевое решение х £ В (собственный вектор).

Совокупность всех собственных значений называется

дискретным спектром оператора А. Все остальные точки спектра образуют непрерывный и остаточный спектр опера­ тора А.

Спектр линейного оператора А будем называть крити­ ческим, если он расположен на мнимой оси или в ее окрест­ ности. Остальной спектр оператора А назовем некритиче­

рпектральным радиусом оператора Л: га = lim у ||Л|]П, при

П-+оО

этом предел всегда существует. Если га — 0, то спектр состоит из одной точки. Все точки, лежащие вне круга радиуса га с центром в начале координат, являются регу­ лярными. При \к \ > га для резольвенты справедливо раз­ ложение

(1.4)

причем ряд сходится по норме операторов. Для любых двух точек X, р £ р (Л) справедливо тождество Гильберта

в ряд по целым положительным степеням (X — >»0), сходя­ щийся по норме операторов.

Резольвента является операторной функцией X, анали­ тической в области, состоящей из регулярных точек опера­ тора Л. Функция R%x при X £ В в области, состоящей из регулярных точек Л, будет аналитической функцией со зна­

366 г л . VIII. М НОГ ООБ Р . УР -Н ИЙ В Б АН А ХО ВО М П Р ОС Т РА НС Т ВЕ

Элемент е0 = е0 (х) удовлетворяет уравнению

Ае0 — Хдвд

и является собственным элементом оператора А, отвечаю щим собственному значению Х0. Элементы еи .... е,п~і удо­ влетворяют соотношениям

Авj = Хдву -|- вд, Ае2 ~ X0e2 ~Ь ^і>

Ае т —1 — Х 0е т ^ I -К е т — 2

иназываются присоединенными элементами к собственному элементу еа.

Подпространство By пространства В называется инва­

риантным относительно оператора А, если из х 6 В1 сле­ дует Ах £ Вх.

Конечномерное подпространство Вт, состоящее из все­ возможных линейных комбинаций элементов е0, е1г ...

..., ет_ь является инвариантным относительно оператора А и называется корневым подпространством, соответствующим собственному значению V Элементы ek (k = 0, 1, ..., т — 1) образуют в нем базис, в котором матрица оператора А имеет жорданову форму.

Размерность тха = т%а{А) корневого подпространства

Bk называется алгебраической кратностью собственного значения Х0 (предполагается, что m < оо). Размерность т%акорневого подпространства Bk равна k, если X является полюсом k-ro порядка в разложении (1.6) (т = k).

Изолированное собственное значение Х0 линейного опе­ ратора А имеет конечный ранг г тогда и только тогда, когда резольвента R%имеет в точке Х0 полюс г-го порядка.

Если Х0 — простой полюс резольвенты R% (т = 1), то собственному числу соответствуют лишь собственные векторы оператора Л; присоединенные элементы отсут­ ствуют.

Собственные векторы образуют собственное подпро­ странство. Размерность собственного подпространства на­ зывается собственной кратностью а%а(А) числа Х0. Таким образом, собственная кратность любого собственного зна­ чения не превосходит его алгебраической кратности.

Пусть оператор А действует в комплексном гильберто­ вом пространстве Н. Если А —самосопряженный оператор,

§ 1. Г ЕО М Е Т Р И Я Б Е С К О Н Е Ч Н О М Е Р Н Ы Х ПР ОСТ РАНСТ В 367

то его спектр расположен симметрично относительно ве­ щественной оси по отношению к спектру исходного опера­ тора. Собственные векторы самосопряженного оператора, отвечающие различным собственным значениям, ортого­ нальны и образуют конечное или счетное множество. Так как собственные значения образуют дискретный спектр оператора, то, очевидно, дискретный спектр самосопряжен­ ного оператора есть конечное или счетное множество ве­ щественных чисел.

Если А — нормальный оператор (АА* — А*А), то А и А* имеют одни и те же собственные векторы; соответствую­ щие собственные значения операторов А и А* являются комплексно-сопряженными числами. Собственные векторы, соответствующие различным собственным значениям нор­ мального оператора, попарно ортогональны.

Пусть А — вполне-непрерывный оператор, действующий в банаховом пространстве В. При любом р > 0 вполне-не­ прерывный оператор имеет лишь конечное число линейно независимых собственных векторов, отвечающих собствен­ ным значениям, по модулю превосходящих р. Инвариантное подпространство В%, состоящее из всех собственных векто­ ров вполне-непрерывного оператора А, отвечающих ненуле­ вому собственному значению X, конечномерно. Точка Х0 = = 0 является точкой спектра вполне-непрерывного опера­ тора, причем лишь она может быть точкой сгущения для множества точек спектра.

Точки спектра вполне-непрерывного оператора, отличные от нуля, могут быть только собственными значениями, каждое конечной кратности, и их предельной точкой может быть только число X = 0. Обратно, эрмитов оператор, об­ ладающий этим свойством,— вполне-непрерывный.

Оператор А называется оператором скалярного типа, если его спектр состоит из конечного числа собственных чисел. Оператор скалярного типа представйм в виде А =

нормальному оператору F (F*F = FF*) и его спектр состоит из конечного числа точек.

368 г л . VIII. М Н ОГ О ОБ Р . У Р - Н И Л В Б А НАХОВ ОМ П Р ОСТ РАНСТ ВЕ

где Хс — вещественные числа и X] -> 0, то А — вполне-не- прерывный самосопряженный оператор.

Оператор А £ [В\ называется оператором алгебраи­ ческого типа, если его спектр состоит из конечного числа собственных чисел, каждое — конечного ранга.

Для конечномерного линейного оператора А имеет мес­

||S|| = k, k — порядок оператора S.

7.Функции операторов. Пусть А (() (а -< t <!’Ь) — не­

прерывная оператор-функция со значениями из [ß], для ко- ft

торой существует интеграл j А (t) dt, являющийся элемен-

а

том [ß].

На аналитические оператор-функции распространяется классическая теория Коши о равенстве нулю интеграла по замкнутому контуру [32].

Обозначим через Ка класс всех функций ф (X) комплекс­ ного переменного, кусочно-аналитических на спектре а (А),

т.е. функций, обладающих следующими свойствами.

1.Область определения Dv функции ф (X) состоит из ко­ нечного числа открытых связных компонент, объединение которых содержит спектр а (А) оператора А, причем каждая компонента содержит по крайней мере одну точку спектра.

2.Функция ф (X) кусочно-голоморфна, т. е. голоморфна в каждой компоненте своей области определения Дф.

Вклассе Ка естественным образом можно ввести сложе­ ние, умножение и умножение на скаляр, после чего Ка превращается в алгебру с единицей.

По известному правилу Ф. Рисса существует алгебраи­ ческий изоморфизм между алгеброй Ка и некоторой коммута­ тивной алгеброй операторов, при котором функции ф (X) ==

= ( А - г І ) ~ \

Этот изоморфизм устанавливается следующим образом. Для ф (?.) £ Ка всегда найдется гладкий, сложный, вообще говоря, контур Гл, охватывающий спектр а (А), что означает, что Гл распадается на конечное число границ некоторых открытых множеств, объединение которых принадлежит Dtp и накрывает спектр о (Л). Каждый из жордановых кон­ туров, входящих в состав Гл, ориентируем так, чтобы при движении по контуру в положительном направлении со­ ответствующее открытое множество осталось слева.

После этого полагаем для ф (X) £ Ка

— целая аналитическая функция, то под выражением ф (Л) следует понимать оператор

причем, так как ряд (1.10) сходится всюду, то ряд (1.11) сходится по норме пространства Iß] при любом линейном ограниченном операторе Л.

Предположим, что

т

гдеой (Л) (k — 1, ..., т) — непересекающиеся спектральные множества.