Файл: Митропольский Ю.А. Интегральные многообразия в нелинейной механике.pdf

Скачать файл
Заказать решение

ВУЗ: Не указан

Категория: Не указан

Дисциплина: Не указана

Добавлен: 10.04.2024

Просмотров: 229

Скачиваний: 1

ВНИМАНИЕ! Если данный файл нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам.

8 7 0 г л . VIII. М НОГ ООБ Р . У Р - Н ИЙ В Б АН А ХО ВО М П Р О С Т Р АН СТ В Е (

Определим функцию ф й ( А , ) следующим образом:

Ф * ( А ) =

(1

при k£Gk,

.

(1.13)

L

при

.

*

 

(О-

А £ Gh

I фк.

 

Функции фу, (А) (k =

1,

т) принадлежат классу Ка,

и поэтому имеют смысл операторы

 

 

 

р к = Ф* (А) = ------2\й $

У*^

RhdK = ------Ш~ $

 

 

г А

 

 

 

 

(1.14)

 

 

 

 

 

 

где контур Гй окружает область

Gk, содержащую спектраль-

ное множество ок (Л).

Поскольку

в

области G =

т

U Gk

выполняются очевидные соотношения

 

fe=i

 

 

Ф* (А) фу (А) = 0А/-ф* (А);

т

фк(*■) = 1

 

S

 

(8кІ- — символ Кронекера), то операторы Рк обладают свой­

ствами

т

 

РкРі = 0 (k Ф /); Р\ = Рк (к = 1, .. . , т)\ % Р к=І ,

 

/ г = І

 

(1.15)

которые характеризуют операторы параллельного проекти­ рования.

Подпространства Вк — PkB (k = 1, ..., т) — инвари­ антные подпространства оператора А, и спектральным мно­ жеством оператора А в Вк является ок (Л).

Пространство В

есть

прямая сумма подпространств

Вк, В2, ..., Вт\

В1-{- В2 ф . . .

Вт.

В ~

Из выражения (1.14) легко видеть, что Рк коммутирует

с оператором А:

 

 

 

РкА = APk

(k — l , . . ,

т).

8. Операторная экспонента. В теории дифференциальных уравнений особую роль играет функция еАІ, которая может быть задана посредством ряда

§ 1. Г ЕО М Е Т Р И Я Б Е С К О Н Е Ч Н О М Е Р Н Ы Х ПР ОСТ РАНСТ В 371

или посредством интеграла

oAt _

( A - k i r ' d l .

(1.17)

 

га

Эта функция удовлетворяет соотношениям, справедливым для показательной функции:

еА Ц + т ) = e At . еАх. еA t Iр=о: I.

(1.18)

Пусть Ф (О (О С t<Z оо)— некоторая положительная функ­ ция. Величина

X = Нт

ln cp (/)

(1.19)

t-* оо

1

называется показателем экспоненциального роста функции Ф (/). Эта величина совпадает с нижней гранью тех значе­ ний р, для которых существует константа Np такая, что

I Ф (01

Npept при всех

t > 0. Если существует

,

то X называется строгим

показателем экспоненциального

роста.

Строгий показатель экспоненциального роста совпадает

с верхней гранью значений р'

таких, что ф (t)

>• еР'* при

достаточно больших

t.

 

 

 

 

Имеет место следующая теорема [32].

А £ [В ] у

Т е о р е м а

1.1. Для

любого

оператора

функции ||ел*|| существует строгий показатель экспоненци­

ального

роста

 

 

 

 

 

 

 

X =

lim

—L = max {Re К| К £ о (Л)}.

 

 

 

t-+co

t

 

 

 

 

Из этой теоремы вытекает важное следствие.

 

С л е д с т в и е

1.1. Если при всех t £ (— оо, оо) спра­

ведлива оценка \\eAt\\

С,

то спектр а (А) лежит на мни­

мой оси.

 

 

1.1.

Обратное

утверждение неверно

З а м е ч а н и е

(см. [32], стр. 44).

 

 

вектор-функции.

Пусть / (х ) —

9.

Дифференцирование

вектор-функция со значениями в банаховом пространстве Вг, определенная в окрестности U (х0) некоторой точки х0 банахова пространства В0.

Функция / (х) называется дифференцируемой по Фреше

в точке х0, если в окрестности U (х0) ее можно представить

372ГЛ. VIII. М Н ОГ О ОБ Р . У Р - Н И П В Б АН А ХО ВО М П Р ОС Т РА НС Т ВЕ

ввиде

f (x )= f {x 0) + A(x — x0) + ^ (х , x0)|Jx — х0||, (1.20)

где А £ [В0, ß j и lim r)z (х, х0) = 0.

Хч-Х0

Оператор А называется сильной производной (производ­ ной Фреше) функции f (х) в точке х = х0 и обозначается

А = Г(хо).

(1.21)

Функция / (х) называется дифференцируемой

на откры­

том множестве D, если она дифференцируема

в каждой

точке этого множества. Функция / (х) называется непре­ рывно-дифференцируемой в D, если ее производная f (х)

является непрерывной функцией аргумента х со значениями в [В0, ß x]. Пусть функция / (х) дифференцируема в окрестно- ■сти точки х0. Тогда в этой окрестности производная f (х)

.сама является функцией со значениями в [ß0, ß x]. Если /' (х) как функция х также дифференцируема в точке х = х0,

то ее называют второй

производной функции f (х) в

точке

X = х0 и обозначают

символом /" (х0). По

определению,

/" (х0) f Ißо> \Во, ß j l .

Другими словами, /" (х0) является

билинейным оператором, сопоставляющим

каждой

паре

/гх, ho элементов из В элемент /" (х0) (/ix, h2). Имеет место

.следующее

представление:

 

/(х) = f (х0) + f (х0) (X — х0) +

-і- /" (х0)(х — х0, X — х0) +

+

г)2(х, х0)Цх — x0f,

где lim rj2(x, х0) = 0. (1.22)

 

 

Х-*Х„

Аналогичным образом можно определить производные •высших порядков.

Пусть / = / (х) и X = X (і) — функция скалярного аргу­ мента t, значения которой лежат в области D банахова про­

странства ß 0, где / (х) — дифференцируема. Тогда

 

^ r f {x{t)) = n x { t ) ) ^ r .

(1.23)

В частности, при х £ D и достаточно малых t

имеем

равенство

 

~ f(xA-ty) = f’ (x + ty)y

( У £ В о),

§ 1.

Г ЕО М Е Т Р И Я Б Е С К О Н Е Ч Н О М Е Р Н Ы Х П РОСТ РАНСТ В 373

интегрируя которое в промежутке от 0 до 1, получаем

1

 

 

 

J /' (*і +

t ( * 2 — xi)) dt (х2 ~ x 1) = f (х2) —/ (xL) (1.24)

о

 

 

 

при хг +

t {х2 — лу) £ D, О С

t С 1.

10.

Принцип сжатых отображений. Принцип сжатых

отображений формулируется следующим образом.

Т е о р е м а

1.2. Пусть

М — некоторое замкнутое

подмножество банахова пространства В. Пусть операторS, не обязательно линейный, отображает М в себя и явля­ ется оператором сжатия, т. е. удовлетворяет условию

ISxj — Sx21 •< k fl Xj — x2fl ( I 4 < l ) (1-25)

для любых xlt х2 £ М . Тогда в М существует одна и только одна неподвижная точка х оператора S . Sx = х. Эта точка может быть получена как предел последовательности

хп+і = Sxn, п = 0,

1,2,

...,

при п -у оо и при любом

началь­

ном приближении х0 (М .

 

Пусть х0— произвольная точ­

Д о к а з а т е л ь с т в о .

ка М и Хп+і = Sxn, п — 0,

1,2,

... Согласно (1.25)

можем

написать

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

II Хп-1 - 1

хпI

k Iхп

 

хп-^\ I

 

 

к IX} х01,

 

 

 

 

п = 0, 1, ...

 

 

(1.26)

Таким образом, для т >

п

 

 

 

 

 

|]хт — ХпI<1 I Хт —

Хт-\ | +

|| хт-\

 

хт -2|+

 

*’ •

+1 ХП+1

ХпI ^ [к"1 1+

к

+

2

*• ■+ Ä,”] ИХ±

*0| =а

 

— ^ " [ 1 + ^ +

•••

 

п

111 — X Q I =

 

 

= - - Т = Т—

 

 

 

 

 

— хоі <1-27)

т. е.

последовательность

{хп} — функциональная,

причем,

в силу замкнутости М, существует

предел lim хп = х.

Из соотношения

 

 

 

 

 

П-+оо

 

 

 

 

 

 

 

 

\\х — S x ||< ||x — хт+х\ + 1Sxm—

 

IС

 

 

 

 

<||лг — xm+i|| +

^||xm — JC|-> 0

(1.28)

при т -у 0 следует, что х является неподвижной точкой преобразования 5.

Смотрите также файлы