Файл: Митропольский Ю.А. Интегральные многообразия в нелинейной механике.pdf
ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 10.04.2024
Просмотров: 230
Скачиваний: 1
374 г л . VIII. М Н ОГ О ОБ Р . У Р - Н И Й |
В Б АН А Х О В О М П Р ОС Т РА НС Т ВЕ |
||
Единственность |
непосредственно |
устанавливается из |
|
условия (1.25) |
1.2. В |
условиях |
принципа сжатых |
З а м е ч а н и е |
отображений обычно роль М играет либо все пространство В, либо шар Dp. В некоторых случаях множество М констру ируется специальным образом.
11.Отображения. Пусть X и Y — некоторые множества.
Пусть F — отображение |
множества X в Y |
(F : X |
Y; |
X — область определения |
F, Y — область |
значений |
F). |
В случае, если Y есть в точности множество всех значений Fx для X £ X, то F есть отображение Х н а Y (или накрытие,
или сюръективное отображение).
Пусть F : X -> Y и пусть U — некоторое подмножество множества X. Тогда образ множества U содержится в Y.
Если V — какое-либо подмножество |
Y, содержащее FA, |
||||
то отображение G : U -> V, определяемое для |
всех х £ U |
||||
условием Gx = Fx, называется |
сужением |
отображения |
|||
F на U. Сужение отображения F на U обозначается символом |
|||||
F I U. Отображение F называется |
постоянным, |
если образ |
|||
FX состоит из одной точки множества |
Y. Отображение F : |
||||
X -> X называется тождественным, |
если Fx = х для каж |
||||
дого X £ X. |
Если U cz X, то |
отображение |
F: U -> X, |
||
определяемое равенством Fx = х для |
каждого х £ U, назы |
||||
вается вложением. Очевидно, вложение множества U в X |
|||||
есть сужение |
тождественного отображения |
множества X |
на U. Любое сужение постоянного отображения есть посто янное отображение.
Отображение F называется взаимно однозначным (или
вложением, или инъективным отображением), если из F (х) — F (х') следует х = х '.
Пусть X — некоторое множество метрического простран ства N, X — точка множества Х и г — некоторое положи тельное число. Тогда окрестностью Dr радиуса г точки X в множестве X называется множество всех точек из X, расстояние которых от х меньше г.
Пусть N и N’ — два метрических пространства., Отобра
жение F пространства N |
в N’ называется непрерывным |
в точке х0 £ N, если для |
каждой окрестности Dr точки |
F (х0) в N' существует такая окрестность Dr точки х0 в N,
что F (Dr) с: Dr. Отображение F называется непрерывным в N, или просто непрерывным, если оно непрерывно в каж дой точке пространства N. Отображение F называется
§ 1. Г Е О М Е Т Р И Я Б Е С К О Н Е Ч Н О М Е Р Н Ы Х ПР ОСТ РАНСТ В 375
гомеоморфизмом, если: 1°)оно есть отображение на и взаим
но однозначно; 2°) F и обратное отображение/7“ 1 непрерыв ны. Такие отображения называются также взаимно непре рывными. Имеет место следующая теорема.
Т е о р е м а 1.3. Пусть |
В — банахово |
пространство |
|
и D, — открытый шар в В |
с центром |
0 и |
радиусом г. |
Пусть w — отображение шара Dr в В, |
обладающее тем |
свойством, что для любой пары точек ylt у2 шара Dr выпол няется неравенство
1w (Уі) — w (Уг) IK ҢУх — У21 |
|
(1-29) |
|
где k — константа и О С k < |
1. |
|
|
Тогда, если |
-k )!2 , |
|
(1.30) |
||щ(0)||</-(1 |
|
||
то существует такая открытая окрестность |
Dr a D, |
||
точки 0, что сужение на Dr отображения у |
g (у) = у + |
||
+ w {у) есть гомеоморфизм окрестности Dr |
на |
некоторую |
открытую окрестность точки 0 в В.
Подробное доказательство этой фундаментальной теоре
мы содержится в книге Ж- Дьедонне [45]. |
|
про |
||
12. |
Дифференциальные уравнения в банаховом |
|||
странстве. Рассмотрим дифференциальное уравнение |
|
|||
|
4 - = |
Х (/,х,е), |
(1.31) |
|
где X (/, |
X, е) — вектор-функция со значениями в банахо |
|||
вом пространстве В, определенная на множестве R xD |
X |
|||
X ЕЕо (R — вещественная |
ось, D — некоторое |
открытое |
||
множество В, ЕЕо == (0, e0j), |
непрерывная по t. |
|
|
Решением уравнения (1.31) будем называть абстрактную функцию X (t) скалярного аргумента t со значениями в В,
имеющую производную |
и удовлетворяющую уравнению |
|
(1.31) всюдуили |
почти всюду. Под производной d x будем |
|
понимать lim ■ |
■— {----- — в смысле нормы пространства |
|
Л-*-0 |
" |
|
В, и, следовательно, если х (f) £ В, то d x при каждом t
также принадлежит В.
Полагаем, что вектор-функция X (t, х, е) удовлетворяет условиям, обеспечивающим существование и единственность
376 ГЛ. VIII. МН О Г О О Б Р . У Р - Н И Й В Б А Н А Х О В О М ПР ОС Т РАНС Т ВЕ
решений этого уравнения. Подробно на вопросе существо вания решений уравнения (1.31), их единственности и про должимости на бесконечный интервал времени мы останав ливаться не будем. Эти вопросы достаточно подробно осве щены в известных монографиях (см., например, [32], [76]).
13. Линейные дифференциальные уравнения с постоян ным оператором. Рассмотрим уравнение
- ^ = Ах |
(1.32) |
в банаховом пространстве В с постоянным операторным коэффициентом А £ [В].
Решением уравнения (1.32), удовлетворяющим условию
x{t0) = xо, |
(1.33) |
является вектор-функция |
|
x(f) = eMt~U)xо, |
(1.34) |
причем это решение единственно в классе дифференцируемых функций.
Для неоднородного уравнения |
|
|
-$L = Ax + f(f), |
(1.35) |
|
где / (0 — непрерывная |
вектор-функция, решением, |
удов |
летворяющим условию |
(1.33), будет |
|
|
t |
(1.36) |
X (t) =еА{1~*о)х0+ [eA(t~ s)f (s) ds, |
причем это решение также единственно.
Поведение решений уравнения (1.32) на бесконечности зависит от расположения спектра оператора А.
Если спектр о (Л) расположен внутри левой полуплос
кости, то из выражения (1.34) на основании |
теоремы 1.1 |
следует оценка |
|
^ ( о і к д ^ - ^ ^ і л д а і |
(1-37) |
при любых t >- (0 и некоторых положительных постоянных
К, у.
Верно и обратное утверждение: если оценка (1.37) выполняется для всякого решения х (!) уравнения (1.32), то спектр а (А) лежит внутри левой полуплоскости.
§ 1. Г Е О М Е Т Р И Я Б Е С К О Н Е Ч Н О М Е Р Н Ы Х ПР О СТ Р АН СТ В 377
Пусть спектр а (Л) расположен в левой и правой полу плоскостях: о (Л ) = а+ (Л) U о_(Л). Обозначим через Р+, Р - спектральные проекторы, соответствующие рассмат
риваемому разложению спектра, и В |
— |
+ ß —— соответ |
ствующее прямое разложение В на |
инвариантные подпро |
странства оператора Л. Заметим, что,так как В+, ß _ — ин вариантны и относительно оператора еАі ( 0 < / < оо), то решение х (t) = eAtx0 уравнения (1.32), начинающееся в ка ком-либо из них, не будет выходить из соответствующего под пространства.
Рассмотрим такие случаи.
I. Пусть Р+х0 = 0, т. е. х0 £ ß_. В этом случае решение X (t) = eAtx0 уравнения (1.32) стремится к нулю.
II.Пусть Р-Х0= 0, т. е. х0 £ В+. В этом случае решения
сначальными значениями из В+ неограниченно возрастают при t оо.
Кроме того, из разложения
X(t) == eAtx0= eAtP_x0+ eAtP+x0 (— P^eAtx0+ P+eAtx0)
(1.38)
следует, что любое решение, для которого Р+х0 Ф 0, неогра ниченно возрастает. В частности, если а (Л) = а+ (Л), то ненулевое решение уравнения (1.32) уходит на бесконеч ность при t -> оо.
Выясним условия, при которых решения уравнения (1.32) ограничены на всей вещественной оси. Из условия ограниченности решений уравнения (1.32), определяемых
выражением (1.34), следует |
оценка |
|
1eAtx01< Сч |
(— о о < ^ < о о ), |
(1.39) |
где Сс0зависит лишь от х0.
Из (1.39) следует, что совокупность операторов eAt огра ничена на каждом элементе х0 £ В. По теореме Банаха — Штейнгауза (см., например, [32], теорема 1.1.2) такая со вокупность является равномерно ограниченной:
( — о о < ; < о( о1 )-,4 0 )
откуда, согласно следствию 1.1, вытекает, что спектр опе ратора Л лежит на мнимой оси.
Если фазовое пространство является гильбертовым, то, согласно [32] (теорема 1.6.3), условие (1.40) будет выпол няться тогда и только тогда, когда оператор Л подобен
378 гл . VIII. МНОГООБР. УР-НИЙ в б а н а х о в о м п р о с т р а н с т в е
косоэрмитову оператору. Таким образом, имеет место следую щая теорема.
Т е о р е м а 1.4. |
Если каждое решение уравнения |
— |
|
— Ах ограничено на |
вещественной |
оси, то спектр |
о (Л) |
лежит на мнимой оси. |
|
|
|
Если пространство гильбертово, то ограниченность |
|||
всех решений имеет место тогда |
и только тогда, |
когда |
оператор А подобен косоэрмитову оператору.
14. Функция Грина. Рассмотрим уравнение (1.35). Пред положим, что спектр сг (Л) распадается на два спектральных множества (Л) и о2 (Л). Обозначим через и В2 инвари антные подпространства оператора Л, соответствующие этим множествам, и РІУ Р2 — соответствующие спектраль ные проекторы, определяемые посредством выражений (1.14).
Введем в рассмотрение оператор-функцию |
|
||||||||||
|
G(t) = |
|
eAtpi = |
---- 2 |
т\ |
|
|
^ > 0 , |
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
-е -» Р г = |
|
- ± - § e U R xdK |
t < 0, |
|||||||
|
|
|
|||||||||
которая обладает следующими свойствами. |
(1.41) |
||||||||||
|
|||||||||||
1. При t Ф |
0 оператор-функция |
G (і) |
непрерывно-диф |
||||||||
ференцируема |
и |
удовлетворяет |
|
однородному |
уравнению |
||||||
|
|
|
|
- ^ p - = AG(t). |
|
(1.42) |
|||||
2. |
G (+ 0) = |
Pi; |
G(— 0) — Р2; |
G (+ 0) —G (— 0)= |
|||||||
T. e. скачок G (t) в |
|
|
|
= P1 + P* = I, |
(1-43) |
||||||
нуле |
равен |
единичному |
оператору. |
||||||||
3. |
Вектор-функция |
ь |
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
X(t) = |
j G(t — s)f (s) ds, |
|
(1.44) |
|||||
|
|
|
|
|
а |
|
|
|
|
|
|
где f (t) непрерывна, удовлетворяет при |
|
неодно |
|||||||||
родному уравнению (1.35). |
называется |
функцией Грина |
|||||||||
Оператор-функция |
G (t) |
||||||||||
уравнения (1.35). Функция Грина, |
определяемая формулой |
||||||||||
|
|
|
|
( |
еАІР_, |
|
|
t > 0, |
|
(1.45) |
|
|
|
|
|
= |
|
|
|
|
^ < 0 , |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|