§ 1. Г Е О М Е Т Р И Я Б Е С К О Н Е Ч Н О М Е Р Н Ы Х ПР ОС Т РАНС Т В 379
называется глазной функцией Грина уравнения (1.35). Здесь Р+, Р_ — спектральные проекторы, соответствующие час тям спектра о_ (Л), ст+(Л), расположенным соответственно
влевой и правой полуплоскостях, причем
Р+ = І , Р - — 0 при а(Л) = а+ (Л), 1
Р+ — О, Р - — І при а(Л) = а_(Л). J ^
Поскольку спектр а (Л) не пересекается с мнимой осью, существуют числа у > О и 0, при которых справедлива оценка
(1.47)
При помощи функции Грина можно выяснить условия существования ограниченного на всей оси решения урав нения (1.35).
Справедлива следующая теорема.
Т е о р е м а 1.5. Для того чтобы любой ограниченной на всей оси непрерывной вектор-функции f (t) соответство вало одно и только одно ограниченное на всей оси решение уравнения (1.35), необходимо и достаточно, чтобы спектр о {А) не пересекался с мнимой осью.
Это решение дается формулой
оо |
|
x (i) = J GA(і — s)f (s) ds, |
(1.48) |
— 00 |
|
где GA (t) — главная функция Грина уравнения |
(1.35). |
Доказательство этой теоремы см. в [32]. |
|
Рассмотрим теперь уравнение (1.35) в предположении, что / (0 является непрерывной и периодической функцией t с периодом Т.
Представив периодическую функцию / (t) в виде
о о 2kill 4
f (0 = |
2 |
fke ~ |
, |
(1.49) |
|
k~ —оо |
|
|
|
будем искать решение уравнения (1.35) в виде |
|
|
со |
2Алг |
|
|
X (t) = |
2 |
xke 1 |
• |
(1.50) |
|
k~ —со |
|
|
|
Подставляя выражения (1.49), (1.50) в уравнение (1.35), |
предполагая, что спектр |
а (А) |
не содержит точек |
мнимой |
2 &ЗТі
оси - у , k — 0, гЬ 1, ± 2,..., после ряда выкладок получаем
380 г л . VIII. М Н ОГ О ОБ Р . У Р - Н И Й В Б АН А Х О В О М П Р О С Т Р А НС Т ВЕ
следующее выражение для решения х (t) уравнения (1.35):
г
X(f)~§Gr(t — s)f(s)ds, |
|
|
(1-51) |
где |
о |
|
|
|
|
JгÜ . |
|
2 4 л < |
. |
, |
1 |
GT(t) = - ± r |
£ |
) |
е |
т \ |
(1.52) |
|
k= —со |
|
|
|
|
Оператор-функция |
Gr (0 |
называется |
Т-периодической |
функцией Грина уравнения (1.35). Она характеризуется
следующими |
свойствами. |
функция |
t. |
за |
1. |
Gr (0 — периодическая |
2. |
Gr |
(t) |
|
I. |
|
|
|
|
непрерывна в операторной норме при всех t, |
|
исключением точек t = Tk |
(k = 0, ± 1, ± 2 ), причем |
Gr (+0) — Gr (— 0) = |
|
|
дифференцируема |
|
3. |
В точках непрерывности GT (t) |
по норме и удовлетворяет дифференциальному уравнению
Непрерывное решение уравнения (1.53) имеет вид ем = = С, где С — постоянный оператор, поэтому находим, что
GT(t) = eAt{I — еАТГ х (0 < t < T ) . |
(1.54) |
Оператор (/ — еА‘)~1 существует, так как в противном слу-
2 k j t і
чае спектр о (А) содержит хотя бы одну точку вида —f — • Остается продолжить полученное решение на всю ось пери
одически . |
следующая |
теорема. |
Справедлива |
Т е о р е м а |
1.6. Если спектр а (Л) не содержит точек |
2k4i |
1> ...), то уравнение (1.35) |
мнимой оси —-— (k — 0, ± |
при любой непрерывной Т-периодической функции f (/) имеет одно и только одно Т-периодическое решение х (/), определяемое выражением
т
x ( t ) ~ I Gr (t — s) / (s) ds. |
(1.55) |
è
Д о к а з а т е л ь с т в о . Интеграл (1.55) существует, поскольку подынтегральная функция непрерывна. Перио дичность X (0 вытекает из периодичности функции Gr (t).
§ 1. |
Г Е О М Е Т Р И Я |
Б Е С К О Н Е Ч Н О М Е Р Н Ы Х ПР О СТ Р АН СТ В |
381 |
Представляя выражение (1.55)'в виде |
|
|
|
г |
т |
|
|
|
X (t) = ' G, ( t — s)f (s)ds -f ^GT{t — s)f (s) ds |
|
|
о |
< |
|
|
и дифференцируя по t, получаем |
|
|
|
t |
г |
|
|
x' (t) = |
^ AGT (t — s) ds -f- J AGT (t — s)f (s) ds -j- |
|
|
6 |
t |
\ |
|
|
+ |
[Gr (+ 0) - Gr ( - 0)] f (t) = |
Ax (t) + |
/ (t). |
Единственность решения следует из того, |
что в |
усло |
виях теоремы однородное уравнение не может иметь нетри виальных непрерывных Т-периодических решений.
15. Линейные дифференциальные уравнения с периоди ческой оператор-функцией. Рассмотрим однородное уравне ние
|
|
-%- = A(t)y |
|
(1.56) |
в |
банаховом |
пространстве |
В, где |
А |
(t) — непрерывная |
Т-периодическая оператор-функция. |
оператор уравнения |
|
Обозначим |
U (t) разрешающий |
(1.56), удовлетворяющий системе |
|
|
|
|
d U (t) |
A(t)U(t), |
|
|
|
|
dt |
|
(1.57) |
|
|
|
|
|
|
U(0) = |
I, |
|
|
|
|
|
а |
через U (T) — оператор монодромии, |
определяемый со |
отношением |
U(t + T) = U(t)U(T). |
(1.58) |
|
|
Предположим, что оператор монодромии U (7) имеет лога рифм, т. е. существует оператор V — ln U (Т), для которого ІІ (Т) — еѵ. Заметим, что в отличие от конечномерных про странств, в бесконечномерном пространстве оператор не всегда имеет логарифм. В частности, оператор монодромии
U (Т) имеет логарифм, если |
его спектр |
не окружает нуль. |
Введем в рассмотрение оператор |
|
В = ~ |
= \nU (Т) |
(1.59) |
и оператор-функцию |
|
|
382 гл. VIII. МНОГООБР. УР-НИЙ В БАНАХОВОМ ПРОСТРАНСТВЕ
которая, как нетрудно видеть, является Т-периодической. На сегменте 0 -< t •< Т оператор-функция Ѳ (/) непрерыв на, дифференцируема и имеет непрерывную обратную опе
ратор-функцию Ѳ“ 1 (t).
Из (1.60) следует представление Флоке оператора U (t):
Имеет место следующая теорема о представлении Флоке. Т е о р е м а 1.7. Для того чтобы разрешающий опе ратор линейного однородного уравнения с периодической оператор-функцией допускал представление Флоке (1.61), необходимо и достаточно, чтобы оператор монодромии это го уравнения имел логарифм. В частности, это имеет место, если спектр оператора монодромии не окружает нуль*).
Д о к а з а т е л ь с т в о . Достаточность существова ния логарифма вытекает из приведенных выше рассуждений. Необходимость следует из соотношений
Ѳ (Т) = Ѳ (0) = U (0) = /, U (Т) = Ѳ (Т) етв = етв.
Докажем последнее утверждение теоремы. Выбрав за мкнутый жорданов контур у, окружающий спектр ст (U(T)) и не окружающий нуль, и однозначную на этом контуре ветвь ln X, можем построить логарифм оператора монодромии с помощью формулы
ln U (Т) = — |
ф ln %[U (Г) — XI]~ldX. |
(1.62) |
|
7 |
|
Это завершает доказательство теоремы. |
призна |
З а м е ч а н и е 1.3. Имеет место ряд других |
ков существования представления Флоке в бесконечномер
ном банаховом пространстве (см., например,' [32], |
гл. V, |
а также [122]). |
|
Посредством преобразования |
|
у = Q (і) г |
|
уравнение (1.56) приводится к виду |
|
■§ = В(г) |
(1.63) |
с постоянным операторным коэффициентом. |
|
*) Спектр а ( U (Т )) заведомо не окружает нуль, если пространство В конечномерно или если А (t) — оператор-функция с вполне-непрерыв- ными значениями.
