Файл: Митропольский Ю.А. Интегральные многообразия в нелинейной механике.pdf

Скачать файл
Заказать решение

ВУЗ: Не указан

Категория: Не указан

Дисциплина: Не указана

Добавлен: 10.04.2024

Просмотров: 225

Скачиваний: 1

ВНИМАНИЕ! Если данный файл нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам.

. Г Е О М Е Т Р И Я Б Е С К О Н Е Ч Н О М Е Р Н Ы Х ПР О СТ Р АН СТ В 383

16. Линейные дифференциальные уравнения с периоди­ ческой оператор-функцией, зависящей от параметра. Рас­ смотрим уравнение

JjL- = A(t,K)y

(1-64)

в банаховом пространстве В, где X — комплексный пара­ метр, I Я| < г, А (t, X) — Т-периодическая по t операторфункция, сильно непрерывная относительно t, аналитиче­ ски зависящая от X, и, следовательно, разлагающаяся в ряд

©о

А{і,Х) = 2>Ак(і)Хк,

(1.65)

≤ = 0

 

равномерно сходящийся для всех / £ [О, Т] и |Х| <; г. Обо­ значим U (t, К) разрешающий оператор уравнения (1.64):

= X) U it, X),

(1.66)

и (О, X) = I.

Можно показать, что оператор U (t, X) также будет аналити­ ческой функцией X, для которой справедливо разложение

с о

 

U ( t , X ) - = ^ U k (t)Xk,

(1.67)

k=0

 

сходящееся равномерно для t £ [О, Т] и | X| <

г.

В частности, аналитической функцией X является опе­

ратор монодромии U (Т , X), определяемый посредством со­

отношения

 

U(t + T,X) = U(t,X)U(T,X).

(1.68)

Воспользовавшись оператором монодромии, построим представление Флоке для оператора U (t, X). Для этого рас­ смотрим оператор монодромии U0(Т) = U (Т , 0) и предпо­ ложим, что его спектр не окружает нуль. Эго означает, что всегда можно выбрать простую кривую /, выходящую из на­ чала координат и уходящую в бесконечность, не пересека­ ющую спектр оператора U0 (Т). Разрежем по линии / рас­ сматриваемую комплексную плоскость и рассмотрим в ней некоторую однозначную ветвь In ц. Обозначим через Г про­ стой замкнутый контур, лежащий в этой плоскости и окружа­ ющий спектр a ((/„ (Г)). В силу непрерывности при достаточ­ но малых значениях |Я| в области, ограниченной Г, будет

384 г л . VIII. МН ОГ ООБ Р . У Р - Н ИЙ В Б А НАХОВ ОМ ПР ОС Т РАНС Т ВЕ

лежать также и спектр оператора U (Т, А). Для этих значе­ ний IАI построим оператор

F (К) = -і- ln U (T , А,) = —

(j) ln р (U (Т , X) — р /Г ^ р .

(1.69)

Построив ln U (Т , X) для некоторого X = Alf мы можем затем деформировать контур Г так, чтобы он не встретил особенностей подынтегральной функции для F (X), и затем аналитически продолжить F (А,) в некоторую окрестность точки X = Аг. Продолжая этот процесс до тех пор, пока кон­ тур Г не будет самопересекаться, мы получим аналитиче­ ское продолжение функции F (А) в некоторый круг (A j < /у (П О г), в котором аналитическая функция F (А) однознач­ на и разлагается в ряд

F (А) = Л) + А/71 -f- ••• -\-XnFn Jr ••• (I АI <сГ гх).

 

 

(1.70)

Рассмотрим оператор-функцию

 

Ѳ (/, А) = U (t, A) e~iFа>, Ѳ (0, А) = /.

(1.71)

Нетрудно проверить, что Ѳ (t, А) является Т-периодической оператор-функцией, непрерывной на сегменте [0, Т], диффе­ ренцируемой и обладающей обратной оператор-функцией

Ѳ -1(і, А).

Согласно (1.70) и (1.71), для Ѳ (t, А) также справедливо разложение в ряд

о о

 

Ѳ(С А )= 2 Ѳ * (0 А ‘,

(1.72)

*=о

 

равномерно сходящийся для всех ^ ^ [0, Т] и

|А] -< г.

Из выражения (1.71)следует представление Флоке

U(t, А) = Ѳ(/, А)е«н*>.

(1.73)

Посредством преобразования

 

y — Q(t,X)z

(1.74)

уравнение (1.64) приводится к виду

 

 

(1.75)

с постоянным операторным коэффициентом.

 

§ 1.

Г Е О М Е Т Р И Я Б Е С К О Н Е Ч Н О М Е Р Н Ы Х

ПР ОС Т РАНС Т В 385

 

Способ последовательного определения коэффициентов

в разложениях

(1.70)

и (1.72) подробно изложен в [321.

 

Рассмотрим

теперь

случай, когда

А (t,

Я) =

ЯЛ (t).

Тогда уравнение (1.64) принимает вид

 

 

 

 

 

 

 

-%- = kA(t)y.

 

 

(1.76)

 

В разложении (1.65)

 

 

 

 

4

, ( 9 =

0, AL(t) = A(t),

Л*(0 = 0

(k =

1,2,3,

...)

 

 

 

 

 

 

 

 

(1.77)

и,

кроме того,

в (1.70)

В0 =

0.

 

 

 

 

Таким образом, в рассматриваемом случае в уравнении

 

 

 

 

- § ^ F ( K ) z ,

 

 

(1.78)

полученном из уравнения (1.76) посредством преобразова­ ния (1.74), разложение в ряд по степеням Я коэффициента F (Я) начинается с величин порядка Я.

17. Квазилинейные уравнения. Рассмотрим уравнение вида

- * . = Ax + F(t, X),

(1.79)

в котором вектор-функция F (t, х) со значениями в В опре­ делена для t £ R, X £ D, гдеО — некоторое подмножество пространства В, при этом полагаем, что F (t, х) удовлетво­ ряет условию

 

||Р(^, х)||<С (х)||х||, lim С (х) =

0,

(1.80)

а

спектр оператора А

не пересекается с мнимой осью и

расположен в левой и правой полуплоскостях

 

 

 

о(Л) = о+ (Л) U а_(Л).

 

(1.81)

 

Приведем теорему об ограниченности решений уравне­

ния (1.79) на всей оси.

Пусть функция F (t,

х)

определена

на

Т е о р е м а

1.8.

множестве R

X Dp, где Dp — {х, |] х|] •< р},

непрерыв­

на по t и удовлетворяет условиям

 

(1.82)

 

 

II

F(t, х)1< М ,

 

 

II F{t, x') — F (t, О ||< ? К - Г

fl,

(1.83)

13 Ю. А. Митропольский, О. Б. Лыкова

386 г л . VIII. МН О Г О О Б Р . У Р - Н И Й В Б АН А ХО ВО М - П Р О С Т Р А Н С Т В Е

где М, q — некоторые постоянные. Пусть спектр а (Л) удовлетворяет условию (1.81). Тогда уравнение (1.79) имеет одно и только одно решение -х (t), остающееся при всех te шаре Dp:

sup

||х ||< р.

(1.84)

—ОО<^t<Соо

 

решение х (t)

Д о к а з а т е л ь с т в о .

Рассмотрим

уравнения (1.79), не выходящее из Dp. Тогда функция F(t, X {t)) ограничена на всей оси, и мы можем применить

теорему IX. 1.5,согласно которой решение уравнения

(1.79)

можно представить в виде

 

ОО

 

x ( t ) ~ j GA it — %) F (г, X (%)) d%,

(1.85)

— oo

где GA (0 — главная функция Грина оператора А. Опера­ тор-функция G (t) подчинена оценке

||Ол ( / ) ||< Л ^ |П,

(1.86)

где N, у —• некоторые положительные постоянные.

Таким образом, рассматриваемое решение х (і) уравнения (1.79) удовлетворяет интегральному уравнению (1.85), и, наоборот, каждое решение интегрального уравнения (1.85), на выходящее из Dp, на основании той же теоремы

удовлетворяет уравнению

(1.79).

(t), определенных

Итак, при рассмотрении решений х

на всей оси R и не выходящих из Dp,

уравнения (1.79)

и (1.85) можно считать эквивалентными.

 

Для доказательства существования и единственности

решения уравнения (1.85)

рассматривается шар Dp, состоя­

щий из функций X (t), удовлетворяющих условию

III X 1 =

sup ||х ( 0 К р .

—co<f<Соо

 

Принимая во внимание свойства функции F (t, х), легко убедиться, что при достаточно малых М и q преобразова­ ние

у (t) — (Sx) (t) = I CA(t — s) F (s, X ( s ) ) ds

—oc

действует в шаре Dp и является сжатием. Отсюда вытекает существование единственного решения уравнения (1.85), а значит, и уравнения (1.79) в шаре Dp.

§ 2. У Р А В Н Е Н И Я В С Т А Н Д А Р Т Н О Й ФОРМЕ

387

§ 2. Уравнения в стандартной форме

В этом параграфа нами будут исследованы интегральные многооб­ разия нелинейных дифференциальных уравнений в стандартной форме

- ^at- = еХ (/, X)

(2.1)

в бесконечномерном банаховом пространстве В.

Понятие интегрального многообразия, введенное для евклидова пространства, переносится также на случай банахова пространства. Таким образом, под интегральным многообразием уравнения (2.1), как и обычно, мы будем понимать некоторое множество S< в произведении R X В (R — вещественная ось), составленное из траекторий этого

уравнения.

Что касается методов исследования интегральных многообразий в бесконечномерном банаховом пространстве, то они существенно опи­ раются на спектральную теорию линейных ограниченных операторов и теорию дифференциальных уравнений в банаховом пространстве. Все необходимые вспомогательные сведения нами приведены в предыдущем параграфе.

1. Приведение исходного уравнения к специальному виду. Рассмотрим уравнение (2.1), где вектор-функция X (t, х) со значениями в бесконечномерном банаховом про­

странстве В определена на множестве R X D,

где D —■

некоторое открытое множество

пространства

В,

г — ма­

лый

параметр, е £ ЕЁ0.

 

 

 

Пусть функция X (t, х) допускает существование сред­

него

по t:

 

 

 

 

7

 

 

 

 

Х(х0) = 1іш4 j r \x ( t,x ) d t

 

(2.2)

 

г-°о 1 6

 

 

 

равномерно относительно х £ D,

и наряду с

уравнением

(2.1)

рассмотрим соответствующее ему усредненное уравне­

ние

 

 

 

 

 

- § - = *„(*)•

 

(2.3)

Предположим, что уравнение (2.3) обладаетпериодическим решением

2C= X°((ÜT) (л:0(ф Т ) = х0(ф)).

(2.4)

Обозначим р0-окрестность решения (2.4) через DPo. Пусть вектор-функции X (t, %), Х0 (х) непрерывны на множестве R X DPo и обладают непрерывными сильными производ­ ными по X первого и второго порядка.

13*

Смотрите также файлы