Файл: Митропольский Ю.А. Интегральные многообразия в нелинейной механике.pdf

Скачать файл
Заказать решение

ВУЗ: Не указан

Категория: Не указан

Дисциплина: Не указана

Добавлен: 10.04.2024

Просмотров: 222

Скачиваний: 1

ВНИМАНИЕ! Если данный файл нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам.

888 г л . VIII. М Н ОГ О ОБ Р . У Р - Н И Й В Б АН А ХО ВО М П Р ОС Т РА НС Т ВЕ

Обозначим А (сот) сильную производную вектор-функ­ ции Х0 (х) по х при X = х° (сот) и рассмотрим линейное уравнение

— А (сот) у (А (сот) = Х0х(х° (сот))),

(2.5)

которое является уравнением в вариациях, составленным

для решения (2.4).

 

 

 

 

U (сот)

Введем в рассмотрение разрешающий оператор

уравнения (2.5), удовлетворяющий системе

 

 

 

 

 

 

= А (сот) U (сот),

 

(2.6)

 

 

 

 

di

 

 

 

 

 

 

 

U (0) =

/,

 

 

 

оператор монодромии U (Т)

(U (сот + Т) = U (сот) U (Т)),

оператор F =

 

ln U (Т)*),

оператор-функцию Ѳ (сот) =

= U (cüT)a-bnF и, наконец,

представление Флоке

 

 

 

 

 

U(сот) =

Ѳ (сот) емт/?.

 

(2.7)

Нетрудно проверить, что оператор-функция

Ѳ (сот) удовле­

творяет соотношению

 

 

 

 

 

 

 

 

со + в (сот) F = А (сот) Ѳ (сот).

(2.8)

Представим исходное уравнение (2.1) в виде

 

 

ИY =

гХ0 (х° (сот)) +

гА (on) у + гХг (t, х, у),

(2.9)

где

 

гХ (t, х) — еХ0 (х) + гХ0(х) —

 

еХх (t, X, у) =

 

 

 

 

 

— еХ0 (х° (сот)) — еА (сот) у ,

(2.10)

при

этом ЦеХі (t,

X, у)\\ =

О (е, ||г/|2) при

\\у\\ -н- 0,

е -> 0

(у =

X — х°).

 

уравнении

(2.9) замену

переменной со­

Произведем в

гласно формуле

X == х° (сот) 4- Ѳ0 (сот) г.

 

(2.11)

 

 

 

 

В результате,

воспользовавшись соотношением

(2.8),

а также очевидным тождеством

 

 

 

 

 

А

х° (сот) =

еХ0 (х° (сот)),

 

(2.12)

получим

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

~

= eFz +

eZ (/, ф, г),

 

(2.13)

') Предполагается, что ln U (Г) существует.

§ 2. У Р А В Н Е Н И Я В С Т А Н Д А Р Т Н О Й ФОРМЕ

389

где *)

eZ (t, ф, z) = еѲо-1 (-ф) Х г (t, х° (ф) + Ѳ0 (ф) г, Ѳ0 (ф) г).

Из существования периодического решения (2.4) следует, что оператор eTF имеет собственное значение, равное 1,

иследовательно, оператор F имеет нулевое собственное зна­ чение р = 0, которое полагаем изолированной точкой спек­ тра оператора F. Остальной спектр оператора F обозначим а0 (F) и предположим, что он не пересекается с мнимой осью

ив общем случае расположен как в левой, так и в правой полуплоскостях.

Введем в рассмотрение проекционные операторы

= -------

5НГ ф

— * ' Г ' Л . Р , = - - і - ф (Г - и г Ж

 

Г,

г„

 

 

(2.14)

где Г1!, Г0 — замкнутые жордановы контуры, окружающие соответственно точку р = 0 и спектр а0 (F). Проекторы Plt Р0 проектируют исходное пространство В в инвариантные подпространства Blt В0 со спектрами соответственно 0 и а0 (F), так что а (F) = {0} (J а0 (F). Обозначая элементы под­ пространств Вх и В0 соответственно через г и s, можем на­ писать

г = Ргг, s = P0z

(z = Pxz + P0z).

(2.15)

Дифференцируя соотношения (2.15) по t, принимая при этом во внимание уравнение (2.13), получаем

4t = Р Л

= Pi&Fz +

P ieZ (*» Ь

2) =

 

 

=

zFjZ +

e Z ^ , ф, г, s) = eR(t, ф, г, s),

(2.16)

4 t = P o 4 t

=

p oeFz +

ф, z) = eHs + eS(t, ф,

г, s),

______________

 

 

(2.17)

*) В отличие от евклидова и гильбертова пространств, в которых оператор F*, сопряженный некоторому линейному ограниченному опе­ ратору F, действует в том же пространстве, что и оператор F, в банахо­ вом пространстве В сопряженный к F оператор F* действует в сопряжен­ ном пространстве В*, и следовательно, мы не можем воспользоваться

преобразованием типа (1.61) гл. I, которое является вещественным. Чтобы оставить преобразование (2.11) вещественным, в рассматри­

ваемом случае банахова пространства мы воспользуемся функцией Re (Ѳ(сот)} = Ѳ„ (сот), которая является 2Т-периодической операторфункцией сот.

390 ГЛ. VIII. М НОГ ООБ Р . У Р - Н И Й В БАН АХ ОВ ОМ П Р ОС Т РА НС Т ВЕ

где vt? = P0F — оператор,

спектр которого

совпадает с

о0 (F). Значения вектор-функций R (t,

ф, r,s)

и 5 (t, ф, г, s)

принадлежат соответственно

инвариантным подпространст­

вам By, Вѵ.

 

 

 

(t, ф, r, s) можно пред­

Вектор-функции ER (t, ф, г, s), eS

ставить в

виде

 

 

ф, г, s) +

еР0(ф, г, s),

(2.18)

е Р

(t, Ф, Г, S) == г Р і (t,

eS(t, Ф, Г, S) == eSy (t, ф, г, s) +

е50(ф, г, s),

(2.19)

где

 

 

 

 

 

 

 

 

г/м*, Ф. г, S) = РугѲ

1 (сот) [X (t, х° (сот)

-ф- Ѳ (сот) г) —

 

 

 

 

-

а; (х° (сот)

-ф- Ѳ (сот) г)],

(2.20)

etfo (*. Ф> г, s) — Ру еѲ"

1 (сот) [Х 0 (х° (сот) -ф- Ѳ (сот) г) —

(2.21)

 

 

- Х 0 (X0 (сот) — А (сот) Ѳ (сот) г)],

eSy {і, Ф- Г,

S) = Р 0е Ѳ - 1 (сот)[X(t, х° (сот) -ф- Ѳ (сот) г) —

 

 

 

 

 

А0(л;0 (сот)

-ф- Ѳ (сот) г)],

(2.22)

eS0 (ф г, S) - =Р0еѲ—1 (ыт)[Х0(х<1 (сот)

-ф- Ѳ (сот)г) —

 

 

— Х 0 (х° (сот) — А

(сот) В (сот) г)],

(2.23)

при этом 2

= г -ф- s. Таким образом, мы привели исходное

уравнение (2.1) к виду

 

 

 

 

 

 

 

■^ =

eR(t,ty,r,s),

 

 

(2.24),

 

= eWs +

eS (t, ф, r

, s),

 

(2.24)a

где H = P0B —■линейный оператор, спектр которого не пе­ ресекается с мнимой осью и расположен, в общем случае, в левой и правой полуплоскостях; функции R (t, ф, г, s), S (t, ф, г, s), со значениями в инвариантных подпространствах

By,

В2 соответственно определены на множестве

R х 'Т х

X

Uot X

Uа, (Оу, о2 — некоторые достаточно малые положи­

тельные

постоянные, такие,

что при r £ U 0l,

s £ Uot,

X £ Up W -- [0, T\ — область

определения ф),

являются

непрерывными функциями своих аргументов, периодически­ ми по ф с периодом 2Т. В силу ограниченности оператора

Ѳ-1 (ф)

и функций

X (t, X), Х0 (.к) функции R (t, ф, г, s) и

S (t, ф,

г, s) также

будут ограничены некоторой константой

§ 2. УРАВНЕНИЯ В СТАНДАРТНОЙ ФОРМЕ

391

К.. Из соотношения {X (t, х), Х0 (*)} £ С\, учитывая вы­ ражения (2.18) — (2.23), получаем соотношение {R (t, ф, г, s),

S (t, ф, ry s)) (z CtyS'S-

Далее, согласно выражениям (2.20) — (2.23), при г = 0,

s — 0 (а следовательно, и при z =

0) R0 (ф, г, s) и50 (гр, г, s)

обращаются в нуль, а

(t, -ф, г,

s), Sx (t, ф, г, s) (принимая

во внимание, что разность между

вектор-функцией гХ (t, х)

и ее средним значением SXQ(л:) — величина порядка малости е) ограничены некоторой величиной, пропорциональной е. Поэтому можем полагать, что при г = 0, s = 0 &R (і, ф, г, s) и eS ((, ф, г, s) ограничены некоторой функцией М (е) -> 0 при е -у 0.

Нетрудно показать, что функции R (t, ф, г, s) H S {t, ф, г, s) удовлетворяют условию Липшица по ф, г, s с константой X (е, о) -у 0 при 8 —у 0, о —у 0.

 

Д л я

этого

введем

обозначения:

Ѳ (сот) z =

/ (сот, г),

Д хеѲ -1

(сот) =

а (сот),

Д 0еѲ - 1 (сот) =

ß (сот)

и

рассмотрим вы­

ражения

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

R0(Ф, r>s) =

 

Ro (Ф> t) — а

(ы т ) іХ о (х ° (WT) +

1(о п >г )) —

 

 

 

 

 

 

 

— Х0 (х° (сот)) — А (сот) I (сот, г)],

(2 .2 5 )

50(ф, г, S) — 50(ф, 1) =

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

= ß (сот) [Х0 (х° (сот) -ь I (сот,

г)) — Хй (х° (сот)) —

 

Имеем (сот =

ф):

 

 

 

 

 

— А (сот) /(сот, г)].

(2.26)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Rot (ф, 0 =

ос (ф) [Х0х {х° (ф) +

I (ф, г)) — Хх (х° (ф))],

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(2.27)

 

(ф, 0 = а' (ф) [X (х° (ф) + I (ф, z)) — X {х° (ф)) ~

 

 

 

 

— А (ф) I (ф, г)] +

а (ф) [Хф (л;0 (ф) +

I (ф, г)) —

 

 

 

 

— Хф (х° (ф)) — Лф (ф) I (ф, г) — А (ф) /ф].

(2 .2 8 )

Очевидно, можем написать

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(Фа.

 

Яо(Фі>

 

 

1

(Фі +

 

 

 

/2)

 

 

Ro

h) —

 

= J

#оч>

S(фа — фх),

(ф2 —

 

 

 

l i)

 

 

 

 

 

 

— фі) ds 4* I1Rot (Фі*о l\ +

s

— ^i)) (^a— k)

 

(2.29)

о

Смотрите также файлы