Файл: Митропольский Ю.А. Интегральные многообразия в нелинейной механике.pdf

Скачать файл
Заказать решение

ВУЗ: Не указан

Категория: Не указан

Дисциплина: Не указана

Добавлен: 10.04.2024

Просмотров: 221

Скачиваний: 1

ВНИМАНИЕ! Если данный файл нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам.

892 ГЛ. VIII. МН О Г О О Б Р . У Р - Н ИЙ В БАН АХ ОВ ОМ П Р О С Т Р А Н С Т В Е

Обозначим

 

 

 

 

 

 

^ ( a ) =

sup

Ц/^Дф,

Х2(ст) =

sup

|/?<и(Ф, 0|.

 

IW11«®

 

 

II Ml« 0

 

В результате из выражения (2.29) получим

 

 

Ц-^оСФг к)

З Д о ^i) I ^

 

 

 

 

<

К (ff) 1фа —ФіII + К (ff) II к — kW <

 

 

где X (а) =

 

< к И

(II Фа — Фі II + II k — k II)

(2'3°)

m ax^! (а), Х2 (а)}

0 при а

0.

 

 

Аналогично

получаем

 

 

 

 

IIS0(ф2, /2)

50 (ф1( R) 1^

X (су) (II ф2

фі і! -ф 1к

k |D-

 

 

 

 

 

 

(2.31)

Возвратимся к рассмотрению выражений

(2.17) — (2.22).

Ввиду того, что функции X (t, х), А0 (х) удовлетворяют усло­ вию Липшица по ф, 2 с некоторой константой L, из выраже­ ний (2.20) и (2.22) следует, что (t, ф, г, s), eSx (t, ф, г, s) удовлетворяют условию Липшица по ф, г, s с константой, пропорциональной е.

Таким образом, функции s R (t, ф, г, s), eS (t, ф, г, s), определенные посредством выражений (2.18) и (2.19), удов­ летворяют условию Липшица по ф, г, s с константой Лип­ шица X (е, а) 0 при е -»- 0, а -ѵ 0.

Итак, функции E R (t, ф, г, s), eS (^, ф, г, s), стоящие в правой части уравнений (2.24)х, (2.24)2 со значениями в ин­ вариантных подпространствах Вг и В2, определены на мно­ жестве R X ¥ X £/(jt X X Ее„, непрерывны, перио­ дические по ф с периодом 27’ и обладают ограниченными и . равномерно непрерывными частными производными по

ф, г, s первого порядка, ограничены при г =

0, s = 0 не­

которой функцией М (е)

0 при е -> 0 и удовлетворяют

условию Липшица по ф, г,

s с константой X (г,

о) ->• 0 при

е -> 0, а-ѵ 0.

 

 

Преобразуем теперь уравнение (2.24)х к угловой перемен­ ной ф. Для этого представим уравнение (2.24)х в виде

=

8/?о (ф, г) +

E R 2

(t, ф, г, s),

(2.32)

где

 

 

 

 

 

E R 2 (t, ф, г,

s) =

ER (t, ф, г,

s) — ER (ф, г,

0),

 

 

 

т

 

 

еД0 (ф, г) =

lim - L

f R

(t, ф, г, 0) dt.

 

§ 2. У Р А В Н Е Н И Я В С Т А Н Д А Р Т Н О Й Ч О Р М Е

393

Предположим, что уравнение

(2.33)

имеет периодическое решение

г = г{сот) (г (-ф + Т) = г (-ф)),

(2.34)

где л(ф)— дважды непрерывно-дифференцируемая функ­ ция ф. Очевидно, имеем тождественно

-щ-а>==Я0(гІ>, г).

(2.35)

Рассмотрим теперь (2.34) как формулу замены перемен­ ных в уравнении (2.32). Подставляя г = г (ф) в уравнение (2.32) и принимая во внимание тождество (2.35), получаем

■Щ- - W = W ш +

 

ъ г

s)-

 

Умножив обе части уравнения (2.36) слева

на

 

получим

 

 

 

 

 

 

 

1 -Ж- =

ІШ +

(■$■)

1е/?2 (*• V’ '

W , S),

 

где / — единичный оператор.

 

уравнения

 

 

Преобразуем теперь

полученные

 

 

 

~dtdip =

е® +

еР (t, ф, s),

 

 

(2.37)х

 

Ас

EWs + £S(t, ф,я),

 

 

(2.37),

 

^L =

 

 

где

 

 

 

 

 

 

 

Р (/, ф, s) = (-^ -)

R% (t, ф, г (ф), s),

S (t, ф, s) =

 

к виду

 

 

 

 

= 5 (*,Ф,

(ф). S),

 

 

 

 

 

 

 

 

« + р (t, g, К

е),

 

 

(2.38)

 

Wh + Q(t, g, h, е),

 

 

 

 

 

 

при этом Q(t, g, h, &) =

o{\\hf,

еЦЛЦ} при ||h |

| 0,

в 0.

394 г л . VIII. М Н ОГ О ОБ Р . У Р - Н ИЙ В Б А НАХОВ ОМ ПР ОС Т РАНС Т ВЕ

Для этого выберем некоторое положительное постоянное т) и построим выражения *)

оо

Лп(*. Ф,

1]) =

\

Pi(t +

Ч ^,'s)e^r'xdx\

 

 

 

О

 

 

 

 

 

 

оо

 

 

 

дР1 х\ & Ъ

S. Л)

=

Г d P ^ t +

X, ф, S)

e- 4xdT

дф

 

 

J

<Э\р

’

 

 

 

о

 

 

 

д Р и ('■ Ч>. s>Ч)

=

Г

дРх (I +

т, ф, s) e- ^ dx

ds

 

 

J

ds

’

 

 

 

О

 

 

(2.39)

 

 

 

ОО

 

 

•Sit, ((, г|5, s, г|) =

[ S 1 (t -j- т, ф, s) e~nxdx;

 

 

 

о

 

 

 

öSlT1(t, ф, s, ф

 

oo

 

 

 

Г

dSj. (t +

T, ф, s)

e ^dx,

д ф

 

 

J

dty

 

 

 

 

0

 

 

 

dSlr] (t, ф, s, I])

 

oo

dS, (1-f- T, ф, s)

 

 

f

e -^d x,

ds

 

~~ J

ds

 

которые являются преобразованиями Лапласа соответствен­

но для

функций

Р, (t, ф, s) =

Р

(t,

ф, s) — Р0 (ф, s),

дф>

 

 

 

 

 

И S, (I, g ,h ) =

S

 

g, ft) -

S, (g,

ft),

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

dSx (t, g, h)

 

dSx (t, g, h)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

dg

 

’

dh

 

 

 

 

 

 

переменных

со­

Совершим в уравнениях (2.38) замену

гласно

формулам

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ф =

 

g +

ен (і, g,

h, е),

s = h +

ßv(t, g, h, e),

(2.40)

где

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

и (t,

g , h , e) == Die (t,

g , h),

V (t , g, /г,

e) = S le (C g,

Ä).

 

Чтобы

установить

обратимость

преобразования

(2.40),

воспользуемся

следующей леммой

[32].

 

s <

оо)

со

Л е м м а

2.1. Пусть функция cp (s,

X) (0 <

значениями

из

банахова пространства

В

и зависящая

от

*) Интегралы (2,39) существуют, поскольку подынтегральные функ­ ции непрерывны.

 

§ 2.

УРАВНЕНИЯ

В СТАНДАРТНОЙ

ФОРМЕ

395

параметра к £ Л удовлетворяет условиям

 

 

 

 

slip I

-7

- ) ф (s, к) ds

 

 

t

 

0; л £ Л / <с оо

 

и

равномерно относительно

к £ А

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

7'

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

lim -^r \ ф (s; k)d s= 0 .

 

 

(2.41)

 

Тогда равномерно

относительно

к £ Л

справедливо

соотношение

 

 

 

 

со

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1іm г| I ф (s;

к) e~4s ds — 0.

 

 

 

 

 

 

 

п-0

о

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Д о к а з а т е л ь с т в о .

Интегрируя

по

частям, по­

лучаем соотношение

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

г)

\ е ' T1‘\ p (s;

к) ds =

rj

j

е 11sd

j ф (t\ k) dt

 

 

 

о

 

 

 

 

о

 

 

 

 

 

Ф (/; A) dt

 

 

 

I(se-115) -i-

S

 

 

 

С Ю

 

 

 

 

 

 

6j

ф (f;

А,) Л

0|

+ c<щ

J

 

e~~ ' ds

 

 

 

 

 

 

 

=

л2 І

Ф (/; A) of/ e

|Sds.

(2.42)

Для любого 6

>

О найдется Т >

0 такое, что при s :>

Т

 

 

 

 

 

 

- 7

) Ф («; *-) ds

< S .

 

 

 

Из (2.42) следует оценка

 

 

 

 

 

 

 

 

ц

\ ф (s; А) е

ds

<

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

о

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

<

 

1)

U

7 -

] ф (г1;

К) dt

е

ds Ч-

 

 

 

 

 

 

 

Іо

 

 

О

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

s

 

 

 

 

 

 

 

 

 

+

\ se -TJS

4 " I Ф

dt

ds\

<

 

 

 

 

 

 

т

 

 

 

 

 

 

 

 

 

•пт.

 

 

 

 

 

 

< М [ 1 —

 

+

 

 

 

т]Т),

 

 

 

 

 

 

т)Г)] + де~пІ (1 +

396 г л . VIII. М Н ОГ О ОБ Р . У Р - Н ИЙ В БАН АХ ОВ ОМ П Р ОС Т РА НС Т ВЕ

из которой в силу произвольности б > 0 получаем требуе­

мое утверждение.

т, g,h),

Нетрудно видеть, что вектор-функции Рг (t +

Si (t, -f- т, g, h) и их частные производные по g, h

первого

порядка удовлетворяют условию (2.41) леммы, причем роль

параметров здесь играют t,

g,

h.

Поэтому будут выполняться соотношения

lim eu (t, g, h, е) =

0,

 

lim eug(t, g, h, e) = 0,

e-*o

 

 

Б− + 0

lim гик (t, g,

h, e) = 0,

e-*0

 

 

 

lim ev (t, g, h, e) =

0,

lim evg(/, g, h, e) — 0,

e-*-0

 

 

E-+0

lim Evh(t, g, h, e) = 0

e-+0

равномерно относительно t £ R, g £ Q, h £ £/s0>e £ £)>„, из которых следует, что при достаточно малом е операторы

/ — eug ((, g, h,

е), / — е щ

(t, g, ft, e),

/ — evé (t, g, h, e),

 

I — m

(*, g, h, e)

 

для всех t £ R,

g £ П, h £ U&, имеют

ограниченные об­

ратные и, следовательно, преобразование (2.40) обратимо. При этом всегда можно указать такие достаточно малые по­ ложительные ег <; е0, 6j С 60, что при е < ег и | А|| < бх переменная s не будет выходить из области своего определе­

ния Uo2.

 

 

 

 

 

р),

v (t, g,

h, p)

Представив вектор-функции и {t, g, h,

в виде

 

 

e?1^ Pj (T,

 

 

 

 

 

 

и (t, g, h, p) =

g, h) e

PTdx,

 

 

(2.43)

V {t, g, h, p) =

eP‘ j Sx (T,

g,

h) e

pxd%,

 

 

 

получим

 

 

t

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Ut (t,

g ’ h > p ) =

P u (t> g> fl, p) —

Рг (t, g, ft),

I

(2.44)

vt (t,

g, h, p) =

pv (t, g , ft, p) — Sx {(, g,

h).

f

J

 

Подставляя выражения (2.40) в уравнения (2.37) и учитывая соотношения (2.44) (заменяя при этом р на е),

Смотрите также файлы