Файл: Митропольский Ю.А. Интегральные многообразия в нелинейной механике.pdf
ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 10.04.2024
Просмотров: 217
Скачиваний: 1
398 ГЛ. VIII. МНОГООБР. УР-НИП В БАНАХОВОМ ПРОСТРАНСТВЕ
где функции Р (t, g, h, г), Q (t, g, h, e) со значениями в ин вариантных подпространствах Blt В2 определены на мно
жестве |
R X Q |
X UÜ1X Е е„ я в л я ю т с я непрерывными функ |
|
циями |
своих |
аргументов, |
периодическими по g с периодом |
2Т, ограничены при h = |
0 некоторой функцией М (е) -> О |
||
при е -> 0 и |
удовлетворяют условию Липшица по g, /г с |
||
константой Липшица к (е, б) -> О при е ->-0, б 0 (б С 6L) *). Спектр оператора W распадается на два спектральных мно жества о_ (W) и а-i- (W), не пересекающихся с мнимой осью и расположенных соответственно в левой и правой полу плоскостях.
2. Существование и свойства интегрального многообра зия. Для доказательства существования интегрального многообразия Щ уравнений (2.46) достаточно доказать существование ограниченных на всей оси решений gt,ht этих
уравнений. |
|
некоторые |
положительные |
постоянные D, |
Фиксируем |
||||
А (А < бг) |
и |
рассмотрим |
класс CD,д |
вектор-функций |
F (t, g)**) со значениями из В2, определенных на множестве R X Й и удовлетворяющих неравенствам
\}F(t,g)\\<D, |
(2.47) |
IIF (t, g') - F (t, g") II < А Иg' —g" И, |
(2.48) |
где |
|
\F(t, g)l = sup I/=■(/, g)|. |
(2.49) |
t£R |
|
Для некоторой вектор-функции F (t, g) £ CD,д рассмот рим уравнение
-^§- = |
® + P(t, |
g, F(t, g), e). |
(2.50) |
Принимая во |
внимание |
свойства вектор-функции |
|
Р (U g . h, е), легко получить неравенства |
|
||
IIР (t, g, F (t, g), 8) II < |
M (8) + к (8, D) D, |
(2.51) |
|
P (t, g', F (t, g'), e) — P (i, g", F (t, g"), 8)|| < |
|
||
|
<Я(8, |
D)(l + A )||g '-g "|l, |
(2.52) |
*) В дальнейшем для сокращения записи вектор-функцию / (t, g, h, г), обладающую указанными свойствами, будем считать принадлежа щей классу (ga ; М (е)|л=0; к (в, 6)g hj.
**) Зависимость вектор-функции от е не указываем для простоты
записи.
§ 2. УРАВНЕНИЯ В СТАНДАРТНОЙ ФОРМЕ |
399 |
на основании которых, в силу известных теорем существо вания и единственности решений дифференциальных урав нений в банаховом пространстве, следует существование единственного решения уравнения (2.50), удовлетворяющего заданному начальному условию. Обозначим его
St = Ы - г =--=t — t0, (2.53)
при этом Bo,t0(go) ^ go-
Из уравнения (2.50), используя неравенства (2.51), (2.52), нетрудно получить следующее неравенство:
II Blu (go) —B(h (go) II < II go —go II exP {*■(e D) (1 +A)|z|} +
+ 1Т Т ^ {ехр^ (е' 0И1 + A )|2ll~ 1'- (2-54)
где F (l, g), F (t, g) вектор-функции из класса Сол-
С другой стороны, согласно свойствам вектор-функции
Q (t, g, h, е) и спектра a (W), уравнение |
|
-yr =*Wh + Q (t,g,h,e), |
(2.55) |
в силу теоремы 1.8, имеет ограниченное на всей оси R ре шение h (t) = f (t, g (t), e), представимое в виде
ос |
|
h (t)= [ G(z)Q(t + z; g(z); h(z); e)dz, |
(2.56) |
— oo
где G (г) — главная функция Грина оператора W в подпро странстве В2, при этом
||Ö (0 |< /C e -v ln , |
(2.57) |
где К, у — некоторые положительные постоянные. Рассмотрим теперь решение уравнения (2.50) gz =*
= Bz't0 (g), обращающееся при t = t0 в фиксированный элемент g. Для этого решения из уравнения (2.56) получим интегро-функциональное уравнение
оо
F (t, g, е) = J |
G (г) Q (t + 2 ; ВІи (g)\ |
|
— с о |
|
|
F(t + |
z\ Bg,t,(g); е); г) dz, |
(2.58) |
определяющее F (i, g, в).
