Файл: Митропольский Ю.А. Интегральные многообразия в нелинейной механике.pdf

Скачать файл (21,78Мб)

Заказать решение

ВУЗ: Не указан

Категория: Не указан

Дисциплина: Не указана

Добавлен: 10.04.2024

Просмотров: 218

Скачиваний: 1

ВНИМАНИЕ! Если данный файл нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам.

§ 2. У Р А В Н Е Н И Я В С Т А Н Д А Р Т Н О Й ФОРМЕ

401

Обозначим
gt =	(gV, ht = f {t\	(g), e).	(2.66)

Тогда, полагая в качестве переменной интегрирования х =» = z + t, вместо (2.64) получим следующее уравнение:

оо

ht = ] G(x— t)Q (x,gx,h x,B)dx.	(2.67)
— оо

Дифференцируя выражение (2.67) по t как параметру, при нимая во внимание свойства функции Грина 1) и 2) (см. стр. 378), находим

JlL = Hh + Q(t, g , h, г).

Таким образом, функции gt, ht = / (t, gt, e) представляют собой решения уравнений (2.46). Следовательно, многооб разие ОТ,, определяемое соотношением

h = f (t, g, e),

(2.68)

является интегральным для уравнений (2.46). Предположим теперь, что спектральное множество <т+ (W)

пусто. В этом случае можно показать,что многообразие ОТ, обладает свойством притяжения траекторий любых решений уравнений (2.46), выходящих в начальный момент времени

из	некоторой окрестности многообразия ОТ,,		причем		это
притяжение осуществляется по закону
	II h ( t ) - f (t, g,	е) I < К (в, ц) <ГТ 1^	1,	(2.69)
где	у = const, К (е,6)	К при 8 ->• 0, 6->- 0, (6 <		62 <	б().
	Для доказательства этого утверждения введем в рассмот
рение интегро-дифференциальную систему вида
	і
h, = ^G(x — t)Q (т, gx, ht, е) dx -f G (t0 — t)A			при t >		t0,
	^0

® + P (t, gt, К e).

(2.70)

gt = go ПРИ t = h, гДе ^ — произвольный фиксированный вектор из В2.

4 0 2 г л . VIII. М Н ОГ О ОБ Р . У Р - Н И Й В Б А НАХОВ ОМ ПР ОС Т РАНС Т ВЕ

Для построения решений системы уравнений (2.70) вос пользуемся следующей вспомогательной системой:

<о-<

ht = — £ G (г) R{t + z; gt, ht, е) dz -f G (/0 — t) А, t > t0,

	(2.71)
gt — £о ПРИ t = to< решение которой	будем искать с по
мощью метода последовательных приближений.
Выбираем произвольную функцию f0	(t, g) со значениями
из В0, определенную на множестве R X £2 и удовлетворяю
щую условию Липшица с некоторой константой Д:
fo(G ё) £ Lip (g; A),	(2.72)

а также вектор А таким образом, чтобы выполнялось условие

	l ( i ,g ) + K \ A \ < D ( e ) < b 1,	(2.73)
в котором К —	постоянная из условия (2.57).
Положим	fo(t,g,A ) = U t,g ) G ( tb - f) A .	(2.74)
	fo(t,g,A ) = U t,g ) G ( tb - f) A .	(2.74)
Тогда согласно (2.73) и (2.57), имеем
	lh (t> g 'A )\< D (e )< 6 v	(2-75)
l/o(*. g', А') -	fo(t, g"> А") I < AI g' - g" I +
	+ Ке_т\|<_,„\| (\|Л' — Л"\|\|.	(2.76)
Рассмотрим уравнение
	-%- = сo + P ( t ,q ,f 0(t,g,A),e).	(2.77)

Нетрудно видеть, что для уравнения (2.77) выполняются условия, обеспечивающие при заданных начальных усло виях единственное решение.

Обозначим его через
d ' = Bh.(go>A).	(2.78)

Подставляя теперь в уравнения (2.71) вместо ф, h соответст венно

^°t0(g0, А ) \ /0 (t -|- г; ВІ°іа; А) ,

(2.79)

§ 2. У Р А В Н Е Н И Я В С Т А Н Д А Р Т Н О Й ФОРМЕ

4 0 3

найдем значение h в первом приближении:

hit, g, А) =

k - t

= — j G(г) R (t -|- 2 ; Bf/j (g , A); /0 (t -\- z\ Bf°t\ Л); e) dz +

+ G(t0~ t) A . (2.80)

С другой стороны, для решения В%0 (g0, А), восполь зовавшись неравенствами (2.51), (2.52), нетрудно установить следующее неравенство:

\В1°;А§о, А ' ) - В І Х	(go, Л") \| <
< [1 +	е2К(8,о)(И-Д)«-<„)] I go — go I +
X(е, D) к		IА' — A" I {е~у (<~,о) +
1— У+ X(е, D) (1 -\|- А)]

g2X(e,О)<Ч-Д)<*-<„)}, (2.81)

Согласно неравенствам (2.57), (2.75), а также (2.81), убеждаемся, что всегда можно выбрать такое в' <; е1( что для всех в с е ' вектор-функция /) (t, g, А, е) будет удов летворять следующим неравенствам:

I I (/, g, А, 8) II < JL {М (е) + К(е, D) D] + К \ А | < D (е),

					(2.82)
IIA it, g', А \ 8) ~ h ( t , ё",		A \ e)I <
<	V! (8, D)\g' — g" I +	Кi (8,	D) e v	II A' — A" \|\|,	(2.83)
где	V1(8,D)->0, Ki (e,D)		К при e->-0, D-> 0. На сле
дующем шаге из уравнения
	~jh==(ü А-Р (t, g, fi(t, g,			А, г), е), I	(2.84)
	g' = Я о ПРИ	^= 0		I	(2.84)
	g' = Я о ПРИ	^= 0		J
мы можем найти значение g[',			соответствующее h		=
= 7і	(*. g . Л , e):

g< = Pu» (gu- ^)>

(2.85)

4 0 4 г л . VIII. М Н ОГ О ОБ Р . У Р - Н ИЙ в б а н а х о в о м п р о с т р а н с т в е

после чего значение h во втором приближении определится посредством следующего выражения:

/ 2 (/, g, А, е) = t0—t

= — \ G(z)R(t + 2 ; Bl't (g, А); /і (t + z; Bf2y, e); A; e) dz +

+ G(t0- t ) A , (2.86)

причем вектор-функция /2 (t, g, А, г) удовлетворяет неравен ствам типа (2.82), (2.83).

Используя обычный мажорационный прием, нетрудно показать, что построенная таким способом последователь ность вектор-функций

/о V, g, Л), h (t, g, А), ... , fn (t, g, А), ... (2.87)

равномерно сходится по норме пространства В2 к некоторой функции / (t, g, А, г), также удовлетворяющей неравенствам типа (2.82), (2.83), и, кроме того, вектор-функция f (t, g, А , е) является решением интегро-дифференциальной системы (2.70).

Итак, функции ht, gt, определяемые посредством выра жений

ht = f(t, B[t„{g0, А)\ А; г), gt = B\yta(g0, А), (2.88)

представляют собой решение интегро-дифференциальной системы (2.70), сводящееся при t = t0 к А , g0 и удовлетворя ющее неравенствам типа (2.82), (2.83).

Нетрудно также убедиться, приняв во внимание свойства функции Грина G, что решения интегро-дифференциальной системы (2.70) являются решениями дифференциальной си

стемы уравнений (2.46).		ht,
Назовем решение дифференциальной системы (2.46)
gt, Для	которого при t = t0: ht = h0^U y, gt = g0
(ö' •< 6X), решением типа б'.
Легко показать, что всякое решение типа б' является
решением	интегро-дифференциальной системы (2.70)	при

А— h0.

Сдругой стороны, любое решение ht, лежащее на интег ральном многообразии, удовлетворяет условию | f (t0,g0,e |-< < 6' и, следовательно, является решением интегро-диффе ренциальной системы (2.70) при некотором А = А '.

Поэтому, подставляя в неравенствах типа (2.82), (2.83), справедливых для решений интегро-дифференциальной

§ 2. У Р А В Н Е Н И Я В	С Т А Н Д А Р Т Н О Й	ФОРМЕ	405
системы (2.70), вместо одной из функций		А, е) функцию
f (t, g, е), получим
If (t, g ,t) — f (І, g, Д e) I <	к (e>D) e~y (t~to) I A' — А" \|.
			(2.89)

Заменяя здесь g на В\л„ (g0), принимая при этом во вни

мание, что / (t, Bt't0 (g), г) = ht, получаем окончательно неравенство

II / (t, gt, е) — Л, I < К (е, D) e~v {t~U)||f (t0, g0, e) — h01|, (2.90)

справедливое для любых решений^, ht уравнений (2.46), для которых h0 ( f/б,. Итак, можно сформулировать тео рему.

Т е о р е м а 2.1. Пусть правые части уравнений (2.46) обладают указанными на стр. 398 свойствами, при этом спектральное множество <з+ (W) пусто.

Тогда всегда можно указать такие положительные по

стоянныее,	6^	62 (е <	< е0, 62 С	и функции	D (е),
Д (е), К (е,	ц),	стремящиеся к нулю при е->- 0, б ->			0, что

для всех положительных г •< е уравнения (2.46) будут обла дать интегральным многообразием ЭН,, представимым со отношением вида

h = f(t, g, е),

где вектор-функция f (t, g, е) со значениями из В.2 определена

на множестве R X Q		X Е-, непрерывна, 2Т-периодична по
g и удовлетворяет неравенствам:
II/ V, g>	e) \ \ < D (е); II f	{t, g', e) —/(t, g”, e)I< Д (e) \|]g' —g” \|\|
Многообразие ЗЛ, обладает свойством притяжения (при
t оо)	траекторий	любых решений уравнений (2.46),