Файл: Митропольский Ю.А. Интегральные многообразия в нелинейной механике.pdf
ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 10.04.2024
Просмотров: 214
Скачиваний: 1
§ 3. У Р А В Н Е Н И Я , Б Л И З К И Е К Т О Ч Н О - И Н Т Е Г Р И Р У Ю Щ И М С Я 40?
§ 3. Уравнения, близкие к точно-интегрирующимся
Настоящий параграф поспящен исследованию локальных инте гральных многообразий нелинейного дифференциального уравнения в
банаховом пространстве вида
J ! L |
= X( x) + eY(l, X) |
(3.1) |
dt |
|
|
в окрестности некоторого |
частного решения соответствующего |
невоз |
мущенного уравнения |
|
|
|
dt = * (* )• |
(3.2) |
1. Расщепление исходного уравнения. Пусть относитель но уравнения (3.1) выполняются следующие условия.
1°. Вектор-функции X (х), Y (t, х) со значениями в бес конечно-мерном банаховом пространстве В определены на множестве R X D (D — открытая область В).
2°. Невозмущенное уравнение (3.2) имеет изолированное статическое решение, соответствующее положению равно весия
х = |
х0 = 0, |
(3.3) |
определяемому уравнением |
|
|
X (0) = 0 |
(Х;(0)=^0). |
|
3°. На множестве R X DPo (DPo — некоторая р0-окрест- ность точки X — 0 в D) вектор-функции X (х), У (t, х) не прерывны и Y (t, х) обладает ограниченной сильной произ водной по X первого порядка, а X (х)— первого и второго
порядков (У (t, х) £ СІ; X (х) £ СІ). Кроме того, Y (t, х) является периодической функцией t с периодом Т.
4°. Спектр оператора А = (Хх (0)) допускает а-раз- биение. Это означает, что спектр а (А) можно разбить на два спектральных множества
ст (А) = |
о1 (А) U о-0 (А) |
|
(3.4) |
|
так, что при некотором а > |
0 |
|
|
|
|R eÄ ,|> a, |
Я £ о 0(Л), |
1 |
(3.5) |
|
I Re КI < а, |
К £ стг (Л). |
| |
||
|
Представим уравнение (3.1) в виде
~ г = Ах + Х 1 (t, X , е), |
(3.6) |
408 гл. VIII. МНОГООБР. УР-НИЙ В БАНАХОВОМ ПРОСТРАНСТВЕ
где |
_ |
|
|
Х г (t, X, г)— X (х) -{- гѴ (t, х), |
|
при этом полагаем, что всегда найдутся |
такие постоянные С |
|
и Pi (Pi |
Po). что ПРИ I X I С рх будет |
справедливо нера |
венство |
||X (x )||< C ||x f. |
(3.7) |
|
||
Полагая, что неравенство (3.6) выполняется для || х || •< р1( введем в рассмотрение окрестность DPl точки х0 = 0.
Рассмотрим соответствующее (3.6) линейное уравнение
4 - = ^ - <з -«>
Обозначим через Рг и Р0 операторы, проектирующие бана хово пространство В в инвариантные подпространства Вх и В0так, что РкВ = B k, РкА — Ak (k = 1, 0), при этом спек тром Аг в Вх является ах (Л), а спектром Л0 в В0 является а0 (Л). Имеем
p i = ~ |
- é r $ R>-dX’ |
p o = |
- - 4 « § R , d k (3.9) |
|
|
|
|
|
г„ |
гдеГ^, Г0 — |
замкнутые жордановы контуры, окружающие |
|||
|
Г, |
|
|
|
соответственно |
ог (Л), <т2 (Л); |
R\ = |
(XI — Л)-1; X — регу |
|
лярная точка оператора Л.
Обозначая элементы подпространств Вх и В0 через | и
h, можем написать |
|
|
%— Р-іХ, h = P0x |
(х = Рхх + Р0х). |
(3.10) |
Дифференцируя соотношения (3.10), в силу уравнения (3.6), принимая при этом во внимание свойство коммутатив ности проекционных операторов с оператором Л, получаем следующие уравнения относительно новых переменных £, h:
= Рі "ДГ = Р'Ах + РЛ |
РіХ + |
Р*х + Рох’ 8) = |
|
|
= Ail + ^ |
(t, Ь к е). |
|
JW ==P° ~ lir == Р°АХ + P0X l (t> Pl X + |
Р2Х + |
Р0Х’ е) = |
|
= Л0/і + R (t, £, h, e), I (3.11)
где функции, стоящие в правой части, обладают следующими свойствами.
.§13. У Р А В Н Е Н И Я . Б Л И З К И Е К Т О Ч Н О - И Н Т Е Г Р И Р У Ю Щ И М С Я 409
Функции 'tP (t, g, h, е), R (t,%, h, e) со значениями в ин вариантных подпространствах В1 и В.г соответственно опре делены на множестве
|
R X I/*. X U6o X £ е„ |
(3.12) |
(х £ DPo при |
g £ t/a,,, /г £ t/öo), непрерывны, |
2л-периоди- |
ческие по t, |
ограничены, в частности, при h = |
О некоторой |
функцией М (е, а) -> 0 при е -»■ 0, а ->• 0 и удовлетворяют условию Липшица относительно g, h с константой Липшица
X (в, а, б) -*■ 0 при е ->• 0, a -> 0, б |
0 (а ■< а0, б <; б0). |
|
Представляет интерес выделить случаи, когда размер |
||
ность уравнения относительно |
критической переменной g |
|
является конечной. |
|
|
Так, предположим, что у спектра а (Л) удается выделить |
||
k собственных значений іац, ..., |
ia>k, расположенных на мни |
|
мой оси, которые полагаем изолированными точками спектра, при этом каждая точка имеет конечный ранг, т. е. является полюсом порядка trij в соответствующем разложении резоль венты Rx в окрестности этой точки в ряд Лорана. Остальной спектр обозначим о0 (Л) и предположим, что он не пересека ется с мнимой осью и в общем случае расположен в левой и правой полуплоскостях.
Вводя в рассмотрение проекционные операторы |
Р/ = |
|
=zz~ ~ 4 ü § RkdX 0’= 1 > — k' °)> гДе г і- г 2 . |
гй. |
г о — |
г/
—замкнутые жордановы контуры,окружающие соответствен
но точки |
/%, |
..., |
m k и о0 (Л), |
проектирующие |
исходное |
||
пространство |
В в |
инвариантные |
подпространства Ви ..., |
||||
Bk, В0 с |
элементами соответственно g, |
ц, ..., £, |
h (g £ Blt |
||||
г] $ В2, ..., £ £ Bk, h £ BQ), вместо (3.6) |
получим |
уравнения |
|||||
|
- § - = Л ^ + |
^ ( f .g , г,, |
. . . , |
|
|
||
|
J ± |
= A,n + 9 2( ( , l y ]..........£, h, е), |
|
||||
|
dt |
Ak£+ |
Ь Л. |
• • • . |
£, h, e), |
|
|
|
dh |
Wh + R ( t , l 4..........£, |
h, e). |
|
|||
|
dt |
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
