Файл: Митропольский Ю.А. Интегральные многообразия в нелинейной механике.pdf

Скачать файл (21,78Мб)

Заказать решение

ВУЗ: Не указан

Категория: Не указан

Дисциплина: Не указана

Добавлен: 10.04.2024

Просмотров: 213

Скачиваний: 1

ВНИМАНИЕ! Если данный файл нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам.

410 г л . Ѵ Ш. МНОГООБР. УР-НИП В БАНАХОВОМ ПРОСТРАНСТВЕ

Размерность корневых подпространств Ви .... В2 равна соответственнот1, ..., mk; Ах, Ak, W — линейные огра ниченные операторы, при этом спектр Ах в Вх состоит из

точки KOJ алгебраической кратности	тх; спектр	Аг в В2
состоит из точки кв2 алгебраической	кратности т2 и т. д.
и спектр W в В0совпадает с сг0 (Л).	m) имеет конечный
Если каждая точка ia>k (k = 1,
ранг mk и, кроме того, каждой точке	iwk (k — 1, ..., т) со
ответствует тк линейно-независимых собственных		векторов
(собственная кратность ak точки iwk равна mk),		то вместо
исходного уравнения (3.6) получим уравнения

;"Ч+1	mk -l + l
12	***>

(t, ä , . . . ,

■mk. h; e),

**I )k >

§ 3. У Р А В Н Е Н И Я , Б Л И З К И Е К Т О Ч Н О - И Н Т Е Г Р И Р У Ю Щ И М С Я 411

dt m /tb k + 9 k k(t,gu . . . , gr*;

S2 ,

d/г ~ЗГ =

:иі+1 э2 > ,

S2 'i	•. •	i 5âft	),	.. . , Eft k\ h', в),	(3.14)
Wh + R(t, gl, . . . .				I?';
j.m2.	• • •	. «.'»ft-l+'		Л . h. рЧ	}
52 .	• • •	» 5ft	....................	. , П, Ч-	}

Если каждая точка гсой является точкой конечного ран га, равного 1, то относительно новых переменных получим уравнения вида

dl1	=		{t, Ei,		■• •	> Eft.		8)>
dt	=
dik	= '4 4 +		(t,	Ei,	• • •	, Ел- К		(3.15)
dt								e)
dh	= Wh + R(t, Ei,			••• .		Eft,	h, e),
dt
причем уравнения		относительно			критических переменных
gb .... gfc рассматриваются в одномерных							собственных под
пространствах Вх, ..., Вк.
В простейшем случае, когда у оператора А удается выде
лить две изолированные точки спектра,							расположенные на
мнимой оси KOJ, т.2, каждая конечного							ранга, равного 1
(остальной спектр обозначим о0 (Л)), получим уравнения
	~	fft)lEl +	(А El. Ег.				6)>
	=	^2^2 +	Q ((, Еі, Е2>h,				е),	(3.16)

J!L = Wh + R(t, glt g2, h, e).

З а м е ч а н и е 3.1. В случае вполне-непрерывного оператора А для критических переменных, соответствующих ненулевым изолированным собственным значениям, рас положенным на мнимой оси, мы всегда можем получить уравнения, рассматриваемые в конечномерных подпростран ствах (корневых или собственных).

412 г л . V I I I . М Н ОГ О ОБ Р . У Р - Н ИЙ В Б А Н АХ ОВ ОМ ПР ОС Т РАНС Т ВЕ

2. Существование и свойства локального интегрального многообразия. Пусть исходное уравнение (3.1) в окрестности статического решения х0 = 0 соответствующего невозму щенного уравнения приведено к специальному виду. Для простоты ограничимся рассмотрением уравнений (3.16), правые части которых обладают следующими свойствами.

1°. Вектор-функции ^ (t, £1( g2, h, г), Q (t, g1( £2, h, е), R (t, І!, g2, h, e) со значениями в инвариантных подпростран ствах, соответственно, By, В2, В0, определены в области

R ХІ/а,Х n ßo X Uöo X Еео		(3.1 7)
и принадлежат в этой области классу
(tr, М (в, а 2, ß2) \|Л„ 0; 4 е. “ 2. ß2. b2)(luh,h))-		(З-18)
2е. Спектр оператора W распадается на два спектральных
множества а_ (IV) и	(W), не пересекающихся с мнимой
осью и расположенных,	соответственно, в левой и правой
полуплоскостях.

Докажем лемму о существовании локального интеграль ного многообразия Щ уравнений (3.16).

Л е м м а 3.1. Пусть функции в правой части уравнений (3.16) обладают указанными выше свойствами.

Тогда всегда можно указать такое положительное по стоянное ех (Еу < е0), что для каждого е > 0, в < егуравне ния (3.16) обладают двупараметрическим локальным интег

ральным многообразием	Tlt, представимым	соотношением
g =	4 ( t ,h ,h , в),	(3.19)

где вектор-функция cp (i, ly, g2. е) со значениями в В0 опреде лена в области t £ R, | £ * | < ß i , в £ ЕЕі, не прерывна, Т-периодическая по t и удовлетворяет условиям

ІФ (t, gi, ga, e) [\|< D (e); ф (t,	ga, e) £ Lip {glf g2; А (e, a 2, ß2)).
	(3.20)

Д о к а з а т е л ь с т в о . Как и при доказательстве лем мы 2.1 гл. IV, вместо (3.16) будем рассматривать уравнения

§ 3. У Р А В Н Е Н И Я , Б Л И З К И Е К Т О Ч Н О - И Н Т Е Г Р И Р У Ю Щ И М С Я 413

в которых функции, стоящие в правой части, определены в расширенной области

t (: Д Еі. ^ 2 £ Z, А £ Д 0, е £ Е£і,

(3.22)

где Z является расширением локальной области изменения переменных h (t), ga (0 для / £ Д

При этом потребуем, чтобы в расширенной области функ ции

^ 1 Д У У	А, е)>	Ql Д Еі> Ег> А, е)>	Д Д Еі.	Еа>А, е)
обладали теми же свойствами, что и функции
^ Д Ei. У	А, 8),	<2 Д EL Еа. А, е),	Я (А Еі. У	А, е)
в области t £	R, \|£ j < а0, \|g * \| < ß0,		\| h \ < ö0, e £ Eto,

и в этой области совпадали с ними.

Докажем существование ограниченных по t решений уравнений (3.21). Отсюда, согласно определению, будет сле довать существование интегрального многообразия этих уравнений.

Фиксируя положительные числа D, А (Z>< 6J, рассмо трим класс С {.D, А) вектор-функций F (t, У У со значе ниями в В0, непрерывных по t и удовлетворяющих неравен ствам

		II ЯД у		у	к	д
IIF Д У у	- F Д У УII <				А (I - ё I + I h - Ъ			I),
где								(3.23)
где	II Я Д	Еі. У	11=	sup		I F (t, у	g2)\|.	(3.24)
	II Я Д	Еі. У	11=	sup		I F (t, у	g2)\|.	(3.24)
					tCR
Имеем
IIF \|\|=		sup	\F(t, у			\| a) I < D < 6 X.		(3.25)
		t£R
		I..I.GZ
Рассмотрим уравнения
		^	Д		l2,	F (t, \| lf	8), 8),	(3.26)
								(3.26)
-^r =	i(d&	+ Q1 Д			5a. F Д EL		Ea. У У

Нетрудно проверить, что функции в правой части урав нений (3.26) удовлетворяют условиям, обеспечивающим

4 1 4 ГЛ. Ѵ Ш. МНОГООБР. УР-НИЙ В БАНАХОВОМ ПРОСТРАНСТВЕ

существование единственного	решения,			удовлетворяющего
заданным начальным условиям		^	= £10,	£2 = Ізо	при і —
•= t0. Обозначим					(3.27)
Іи — L it , (£10, Sa,,),	I 2 1	=	M z,t, (U. іго)-

Рассмотрим теперь оператор S, переводящий векторфункцию F (t, | t, І2 , 8) со значениями из В0, принадлежащие классу С (D, А), в

—• \	G(г) R [t	z\ Lz't (\|і, І2 , 8)>			(£ъ	e);
— oo
F\t + z'	Lit (llt l2, e);		Mz,t ß lt ga, e); e], e) dz,			(3.28)
где G (z) — оператор-функция			Грина, определяемая по
средством соотношений
—щ- = — WG — — GW,				г ф о,		(3.29)
G ( - 0) — G (ф 0) — I,						(3.29)
G ( - 0) — G (ф 0) — I,
при этом						(3.30)
	I G (/) I С К	е а 1	1 ,	t £ R .		(3.30)

Принимая во внимание свойства функций в правой части уравнений (3.22), для St,і,л, (F) можем получить следую щие оценки:

\\Saui A m < D ( s ,	а \ ß2),		(3.31)
"(^)ІК
•< А (8, “ 2>ß2) (I Ію —Ію I + IІ2 0 — І2 0	1) +	~2*1 F — F l!> (3.32)
где D (e, oc2, ßa) -> 0, A (e, a a, ß2) -> 0		при e	0, a 2 -*■ 0,
ß2-^0.
В частности, из неравенства (3.32) при F =			F находим
IS a ' , i '2^ - s a l t 2 {F) 1< A (e>a2> №	(I S*o -

— Ію I + I І2 0 — І2 0 IK

а при £io == Ію, І2 0 = іго получаем следующее неравенство:

I S F - S F l K - ^ W F - F l

(3.33)

§ 3. У Р А В Н Е Н И Я , Б Л И З К И Е К Т О Ч Н О - И Н Т Е Г Р И Р У Ю Щ И М С Я 415

Отсюда следует, что оператор S является оператором сжа тия, и, следовательно, уравнение

F = SF

(3.34)

имеет в классе Со,д единственное решение. Обозначим его

F = fi(*,gi,ga,e)-

(3.35)

По самому определению класса Со,д видим, чт[1 (t, g1( | 2,е)

£ CD,а-

Раскрывая теперь уравнение (3.34) с учетом выражений (3.28), (3.35), производя затем в нем замену z + t — г и дифференцируя полученное равенство по t как по параметру,

убеждаемся,		что функции
hu	=	А (/; Lfz]t (§і, ga, е);	Mfz)t (gx, g2> e); e),
	=	1>І2> e)>	(3.36)
ga	=	(gl, g2, e)


являются	решениями		уравнений (3.21),			сводящимися при
t — А) К /і	(^0, gl> ^2, е)> gl, ^2-
Отсюда, согласно определению, следует, что многообра
зие, определяемое посредством hv = f1						\| 1( g2, е), является
интегральным для уравнений (3.21).
Но так как		в	области	t £ R,	'\| £ \|<ос0,		\|\|*\|<Го»
I /гI <Г б0, е £ ESl		уравнения		(3.21)	эквивалентны уравне
ниям (3.16), то в		этой	области	/х (t, \| х, £2, е) == f			(t, £г, \| 2, е)
является представлением двумерного локального							интеграль
ного многообразия уравнений (3.16).
С л е д с т в и е 3.1. На многообразии Щ рассмотрение