Файл: Митропольский Ю.А. Интегральные многообразия в нелинейной механике.pdf

Скачать файл (21,78Мб)

Заказать решение

ВУЗ: Не указан

Категория: Не указан

Дисциплина: Не указана

Добавлен: 10.04.2024

Просмотров: 210

Скачиваний: 1

ВНИМАНИЕ! Если данный файл нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам.

416гл. VIII. МНОГООБР. УР-НИЙ В БАНАХОВОМ ПРОСТРАНСТВЕ

Ле м м а 3.2. Пусть правые части уравнений (3.16) об ладают свойствами, указанными на стр. 412.

Тогда всегда можно указать такие положительные посто янные е', а, 63, 62 (е' с е* -< е0; 63 < ö2 < 6j), что для каждого г < е', любого вещественного t0 в окрестности Uв, существует особое многообразие ЭЛ (t0, g10, g20, е) точек {h} со свойствами:

1) Если для t — t0

	К € Uв,,	но ht £ ЭЛ (tQ, gl0, g20>		е),	(3.38)
то тогда для некоторого t >			t0
2) Если для t — t0		h, ё	Uа,.
2) Если для t — t0
	й<еЯП(о.£іо.&о,в).				(3-39)
то тогда для всех t >		t0: ht £ U(,t и
IIht ~ f	(t, hu, ht, e) II < Ke-v1 1I\hn- f			(t0, g10l g20	E)\|\|
					(3.40)
где h0 =	Л/о.

3) Если спектральное множество а_ (W') пусто, то много образие ЭЛ (/0, g10> g20, е) вырождается в точку h0 = / (/„,

£і0> І20і е)-

4) £слы спектральное множество а+ (W) пусто, то много образие ЭЛ (t0, t10, g20, е) совпадает со всей окрестностью UÖs.

Д о к а з а т е л ь с т в о . Рассмотрим интегро-диффе- ренциальную систему, эквивалентную уравнениям (3.16):

ОО Ъ ht = $ G (T - f)R (т, git, g2x, hx, е) di -f G (t0— t) N,

— ioEh‘ + ^ (t, ht, ht,	ht, e),
dt — ісо2^2і -f- Q (t, ht, h tI	hf, e),	t^> tQ
~ £l0 >ht = ^ 2 0 при t = t0,

(3.41)

где N — некоторый произвольный фиксированный вектор из банахова пространства В0 и оператор-функция G (т — і) удовлетворяет неравенству (3.30).

§ 3. УРАВНЕНИЯ,- БЛИЗКИЕ К ТОЧНО-ИНТЕГРИРУЮЩИМСЯ 417

Применяя к системе (3.41) способ получения оценок, не однократно применявшийся выше, учитывая при этом свой

ства вектор-функции		(t,	ga,	h, e), Q (t, \| lf gs, h, e),
R (t,	g2, h, e), а также неравенство (3.30),				нетрудно по
казать,	что при всех е <	е'	(е' <	ех <!е0), \|	\| <Г б2 опера

тор в правой части интегрального уравнения (3.41) является оператором сжатия, а система дифференциальных уравнений удовлетворяет условиям, обеспечивающим существование единственного решения и, следовательно, интегро-дифферен-

циальная	система уравнений (3.41) имеет единственное
решение (£», ht,		ht), для которого ht £ и&г при всех t		> t0,
причем		ft<=	’P(f0, / , g1/;b ,W ,e ),	(3.42)

где W (t0,	t, ht,	ht,	N , e) — сильно-непрерывная	функ

ция своих аргументов удовлетворяющая условию Липшица вида

IIY (/„, t, Іи Ъ, N', е) -						¥	(/„, f, Ь, Й, /V", е) I <
< А	( I Й	-	Й I +		I Й	-h	I) +	К е - а 1 1- * ° 1 IIN ' -	N " fl,	f > t0,
										(3.43)
/С — постоянная					из условия (3.30).
Запишем систему (3.41) в виде
	t
ht =	I G(т — f) R (т, gix, І2Х,							hx, 8) dt +
	t.
		oo
	+	1 G { x		—	t)R ( T ,		£ I T , І 2 Т, hx, e) d x +		G (70 —	0 W,
—				^	(*» iw, I»,			e),
—	=	m fyt		+ Q (*, iu, ht, ht, e),
	=	£io>	ht = І2 0			ПРИ ^ = ^o-				J
										(3.44)

Принимая во внимание соотношения (3.29), нетрудно ви деть, что решения интегро-дифференциальной системы (3.44) являются в то же время решениями дифференциальной си стемы уравнений (3.16).

14 Ю. А. Митропольский, О. Б. Лыкова

418 ГЛ. V III. МНОГООБР. УР-НИЙ В БАНАХОВОМ ПРОСТРАНСТВЕ

Назовем решением типа 62 любое решение системы диф ференциальных уравнений (3.16), удовлетворяющее условиям

Іі =	£м>	^ 2	= ^2 0 >	hf — h0 £ U(,3 при t ~ t0,	I ^
Ei =	Іи,	І 2	= h t,	ht £U62 при t'^>tl > t ü.	)

Легко показать, что всякое решение типа 63 удовлетворяет системе дифференциальных уравнений (3.16) при N — к0 и, следовательно, для этого решения имеем

ht = 4 ( t0,t,b t.b i> N ,e ),	\|Л /\|< 0 3.	(3.46)
С другой стороны, для е <; е' (для	которого	D (е) < 62

(62-<61))все решения, лежащие на интегральном многооб разии Ж ,, принадлежат к типу 62 и, следовательно, являются решениями системы (3.44) при некотором N = N’, удовлет

воряющем условию \N' I <С 62.		имеющем место
Поэтому, полагая в неравенстве (3.43),
для решений интегро-дифференциальной		системы (3.44),
вместо одной из функций Ф (t0, t,	Ьи,	N, е) функцию

/ (t, SH, %2 і, е), принадлежащую интегральному многообразию

Ж,, и соответствующее ей значение N =				N ', получим
	<	к (е, а2, ß2) е~у 1*~и 11\| N' — N \|\|				(3.47)
и, в частности, для любого решения типа 62, заменив						здесь
произвольные	£2 на Ей, Ьм, найдем
II f (t, Ен bt, e ) - h t \\< K (8 а2, ß2)			1	1 x
		X l/(^ E x o ,U .8 ) - Ä 0ll,				(3.48)
при этом следует иметь в виду, что эти оценки					справедливы
до тех значений	t0 Е	(/„, tx], пока\| %и \| < а 2,			\| < ß2 (а2<■
■^7 ocj < а0; ß2	ßi ^	ßo).	значений		при	t =
Обозначим множество начальных

для решений типа 62 через Ж (t0, | 10, £20, е). Это есть множест

во точек {h}	из і/ба, для которых
h =	Т (t0, t0, l 10, g 20, N, e ) ,	I N I < 6 S.	( 3 . 4 9 )

Так как для всякого решения типа 5 выполняется соот ношение (3.46), то, положив в нем t — t0, убеждаемся, что Іг0 должно принадлежать Ж (t0, | 10, £20, е).

Поэтому, если для t = t0
ht € ^6j> но h( £ Ж {t^, ^10, ^20, e),	(3.50)

§ 3. УРАВНЕНИЯ. БЛИЗКИЕ К ТОЧНО-ИНТЕГРИРУЮІДИМСЯ 419

то соответствующее этим начальным условиям решение (bt, £2 (, ht) не может принадлежать к типу б2, так что ht не мо жет оставаться в окрестности i/öi для всех t > t0, т. е. най

дется такое t Д> t0, что /г- £ U6s.

Пусть теперь %t, ht — решения уравнения (3.16), для которых ht £ ЭЛ (f0, £10, g20, е) при t = (0. Нетрудно убедиться, что это решение является решением типа 62 и, следовательно, для него выполняется неравенство (3.48)

(для всех t 6 Uo, пока | gu | < a 2, | | < Рг)- Действительно, как мы показали, решения системы урав

нений (3.44) являются в то же время решениями уравнений (3.16). Для решений уравнений (3.44) имеем

(3.51)

Так как решения уравнений (3.16) всецело определяются начальными условиями, то если ht есть какое-либо решение уравнений (3.16), для которых имеет место соотно шение (3.51), то оно является также решением уравнений (3.41).

С другой стороны, любое решение типаб2 является реше нием уравнений (3.44) при N — h0 и для него

	ht = 4 (t, t0, Іи , b t, N, г), ii N I <			63.
Далее,	через ЭЛ (/0,	£10, £20, е)	мы обозначили множество
точек	[h) из области	0^,, для	которых Іг0 =	W (t0, t0, \| 10,

£2о, N, s). Следовательно, решения, принадлежащие при некотором t = t0 множеству ЭЛ (t0, £10, £20, 6). являются ре шениями типа 62, и поэтому для них будет выполняться не равенство (3.48) для всех t >• і0.

Установим теперь справедливость третьего и четвертого утверждений леммы.

Пусть спектральное множество о_ (W) пусто. Тогда, со гласно определению оператор-функции Грина G(t), имеем

и интегральное уравнение в системе (3.41) принимает вид