Файл: Митропольский Ю.А. Интегральные многообразия в нелинейной механике.pdf

420 гл. VIII. МНОГООБР. УР-НИЙ В БАНАХОВОМ ПРОСТРАНСТВЕ

где отсутствует произвольный вектор N. Отсюда следует, что множество Ж (^0, g10, ^o. в), состоящее из начальных

— / (^0> Ню> &20> е)- Предположим теперь, что пусто спектральное множество

где N~ — произвольный фиксированный вектор из простран­ ства В0, удовлетворяющий условию ( JV | ■< б3.

Из леммы (3.2) вытекает следующее утверждение.

С л е д с т в и е 3.2. Если спектральное множество а+ (W) пусто, то многообразие Щ притягивает к себе тра­ ектории любых решений уравнений (3.16), выходящих в на­ чальный момент времени из точек области причем это

422 ГЛ. V III. МНОГООБР. у р -н и й в б а н а х о в о м п р о с т р а н с т в е

в которых функции 5^ (t, glt £2, е) и Qf (t, £lt g2, s) принад­ лежат классу (t2n; k (s, ct, ß)|„|t).

3. Если спектральное множество о+ (№) пусто, то много­ образие St притягивает к себе траектории любых решений уравнения (3.1), выходящие в начальный момент времени из области DPi, причем это притяжение осуществляется по закону

Если оба спектральных множества о_ (W), а+ (W) не пусты, то к многообразию St будут притягиваться {по ука­ занному закону) траектории только тех решений, начальные значения которых принадлежат особому точечному много­ образию Ж (t0, g10, t20, е). Траектории всех остальных реше­ ний с течением времени будут отталкиваться от много­ образия St.

З а м е ч а н и е 3.2. Вопрос о гладкости интегральных многообразий нами подробно рассматривался в случае евклидова пространства. В рассматриваемом случае бана­ хова пространства гладкость интегрального многообразия, определяемого соотношением (3.56) (а также многообразия, определяемого соотношением (2.92)), можно доказать, ис­ пользуя тот же прием, т. е. посредством дифференциро­ вания соответствующих итерационных формул в предпо­ ложении, что правые части исходных уравнений являются достаточно гладкими функциями соответствующих аргумен­ тов.

§ 4. Исследование устойчивости решений нелинейных дифференциальных уравнений в банаховом пространстве

1. Формулировка задачи. В этом параграфе, применяя метод интегральных многообразий, изложенный в предыду­ щих параграфах, мы исследуем устойчивость решений рас­ сматриваемых уравнений в банаховом пространстве.

Будем исходить из рассмотрения уравнений

£> К е)>

(4.1)

где Х г (t, g, h, г), Х 2 (t, g, h, е) — вектор-функции со зна­ чениями в инвариантных подпространствах Ви В2 соответ­ ственно, Аи А2 — линейные ограниченные операторы, при этом спектр оператора Аг является критическим, а операто­ ра А2 —- не пересекается с мнимой осью и расположен сле­ ва от нее.

Полагаем, что правые части уравнений (4.1) удовлетво­ ряют всем условиям, обеспечивающим существование глад­ кого интегрального многообразия S, уравнений (4.1), пред­ ставимого соотношением h = <р ((, g, е).

Наряду с уравнением (4.1) будем рассматривать уравне­ ние, описывающее поведение траекторий решений исходных

Полагаем, что уравнение (4.2) имеет конечную размерность. Введем в уравнениях (4.1) вместо h новую переменную s

где

Х3 (t, g, s, е) = Х4(t, |, s + cp (t, g, e), e),

424 гл. V III. МНОГООБР. УР-НИЙ В БАНАХОВОМ ПРОСТРАНСТВЕ

траекторий решений уравнений (4.4) на многообразии описывается уравнением

при этом, если уравнение (4.2) имеет конечную размерность, то уравнение (4.5) также имеет конечную размерность.

Полагаем в дальнейшем, что функция Х3 (t, £, 0, в) удовлетворяет условиям

синтегрально-ограниченными N (t) и g (t).

2.Принцип сведёния. Установим принцип сведения, поз­ воляющий вопрос об устойчивости решений уравнений (4.4), при наличии критического спектра у оператора Alt свести к вопросу об устойчивости решений уравнения относительно критической переменной g.

Т е о р е м а 4.1. Пусть функции в правых частях уравнений (4.4), (4.5) обладают указанными выше свойствами

испектр оператора А1 является критическим, а оператора

А2 — не пересекается с мнимой осью и расположен слева от нее.