Файл: Митропольский Ю.А. Интегральные многообразия в нелинейной механике.pdf

Скачать файл
Заказать решение

ВУЗ: Не указан

Категория: Не указан

Дисциплина: Не указана

Добавлен: 10.04.2024

Просмотров: 205

Скачиваний: 1

ВНИМАНИЕ! Если данный файл нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам.

§ 4. ИССЛЕДОВАНИЕ УСТОЙЧИВОСТИ РЕШЕНИЙ

425

Пусть U (і) — разрешающий оператор однородного урав­ нения

4

-

- А &

<♦ •*>

удовлетворяющий неравенствам

 

\\U(t)\\<

Ml,

|t / _1

(4.9)

Заметим, что в рассматриваемом случае, когда спектр опе­ ратора Ау является критическим, эти неравенства заведомо будут выполняться, если А1является оператором скаляр­ ного типа.

Пусть нулевое решение уравнения (4.5) устойчиво. Это

означает, что по заданному 8 >

0 (е <

е0) можно указать та­

кое сс2 > 0, что если

|| р || С

а 2, то

при всех

/ >• 0 имеет

место неравенство

\u(t,p) II < е .

 

(4.10)

 

 

Для решения и (t, р),

представимого в виде

 

 

t

 

 

 

и (t, р) = U (/, р) -f

\і1 (t) U~l (а) Хд (а, и (а,

р), 0, г)da,

можем написать:

в

 

 

 

 

 

 

 

и (t, p') — и (t, р") = U (t) (p' — р") + t

-f- ( U (t) t/“ 1(а) [Х3 (а, и (а, p'), 0, е) — Х 3 (а, и (а, р"), 0, s)]da,

о

 

откуда,

воспользовавшись неравенствами (4.6) и (4.9), по­

лучаем

 

\u{t, p')

и (t, P'OIK

< М 1||/з' —/?''!+ ] Mig(a)||M(a, р ')— и(а, p")\da, (4.11)

 

6

где g (а) — интегрально-ограниченная

функция.

 

Из неравенства (4.11), на основании леммы Веллмана —

Гронуолла, находим

 

 

 

II и (t, p') — и (t, p'') II < М21! p' — p" II,

(4.12)

где

 

 

 

2

'

/Ci<oo.

 

M 2=

\ g(a)da =

 

 

ö

 

 

426 гл. VIII. МНОГООБР. УР-НИЙ В БАНАХОВОМ ПРОСТРАНСТВЕ

Теорема будет доказана, если покажем, что, при сделан­

ных

предположениях, решение системы (4.4) g (t) = g (t,

X, y),

s (t) = s (t, X, у) представимо в виде

 

t ( 0

= u(t, p) + v(t),

 

 

(4.13)

 

s (i) — s ((),

где V (t) -► 0, s (t)

0 при t -> oo.

Метод доказательства теоремы состоит в следующем. Вна­ чале исходим из предположения, что представление (4.13) существует, и устанавливаем оценки для ѵ (t), s (t). По­ казываем, что и (0 0, s (t) —> 0 при t —►оо. Затем до­ казываем законность представления (4.13).

Итак, пусть представление (4.13) существует. Тогда, подставляя выражение (4.13) в уравнения (4.4) и принимая

во внимание,

что и (t, р) — решение уравнения (4.5), по­

лучаем

 

=

А,ѵ + Х3 if, и + о, s, е) — X, (*, и, 0, е)

или

 

= (S + N) V + X, (t, и + V, s, е) — Х3 {t, и, 0, е),

(4.14)

где Аг = S + N — разложение Данфорда для конечномер­ ного оператора Аг, в котором S — оператор скалярного ти-

 

П

 

 

 

 

 

 

 

 

 

па (S — 2

Vfc»

 

/:

II5 II

=

k,

k — порядок

 

ft—1

 

n

 

 

 

 

 

 

 

оператора);

N — 2

Nk, Nk — нильпотентные

операторы,

ЦМЦСу,

у =

fc=i

В

рассматриваемом случае,

когда

const.

спектр оператора А± является критическим,

l ^ l =

1.

Вводя в уравнениях (4.14) вместо ѵ новую переменную /

посредством замены

f ^ é ~ stv,

 

 

 

 

(4.15)

получаем

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

- § =

Nf + e~st {Х3(t, и + estf, s, г ) -

 

Х (t,3

и, 0, е)}.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(4.16)

Как

было

замечено,

|] est || =

1

и,

следовательно,

§ 4. ИССЛЕДОВАНИЕ УСТОЙЧИВОСТИ РЕШЕНИЙ

427

Найдем функции / (/), s (/), решая следующую систему

интегральных

уравнений:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

t

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

/ (0 =

j [N f (т) + e ~ S x [ X a (T, и (T,

p) +

eSxf (T ),

S (X),

e) —

 

 

oo

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

t

 

— X 3(T,u{T,p),0,B)\)d%,

 

(4.17)

s(t) =

+

J e -i4sT[X4(x, U (T , p) + e Sxf{T),

s(t),

 

e ) ]

xd |

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(4.18)

методом последовательных приближений.

 

 

 

 

 

Положим /° == 0,

s ° =

eAdy и определим

 

 

 

 

 

t

 

e-ST [X 3 (г, u (T ) +

 

 

 

 

 

 

f (t) =

j' [ N ? - 1 (x) +

 

 

 

 

 

 

 

CO

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

+

eSxfk ’(x) ,s k

‘ (T ),

e) — X3(x, U (T ),

0, e)]} dz,

 

(4.19)

 

 

t

 

 

 

 

 

 

 

 

 

sk (t) =

eA‘ly -)-

^ eA2 <'-T)X4(T, Ü (T) -f-

 

 

 

 

 

 

 

 

<j

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

+ eSxfk~ l (T),

Sa_1 (x), e)dx

(& =

0, 1,

.. .).

 

(4.20)

Покажем, что при достаточно малом значении

|г/|

все

последовательные приближения f

(7), sk (t) определены, не­

прерывны и удовлетворяют неравенствам

 

 

 

 

fk(t,P ,y )\\< ^ \ \y \\e - vt,

\}sk( t , p , y n < D k\\yle-vt,

(4.21)

где Dk

D (1

-j- XDk—i), Dk—\ — D (1

AD*_2

), ...

 

r Z?3

—

=D (1 + W j , Dx = D (1 + X), А « V.

Заметим, что, так как и (t) — и (t, р), то, очевидно, в

(4.17), (4.18) / (t) =

/ (t, р, у), s(t) =

g (t, р, у).

Так как Х3 (L

s, е) £ Lip (g,

s; А, (е, ос, б)), то из

(4.17) получаем следующее неравенство:

II fit, p', у) —fit, р", у)К

t

< j II N f (т) -f c -ST [Ха (T , U (T , p') + esxf (T ), S (T ), e) —

CO

—X3(T , U (T , p'), 0, e)] — Nf (T ) — e~Sx [X3(т, U (T , p") +

+eS%f (r), s (T ), e) — X3 (x, и (x, p"), 0, e)] |j dx <

428 гл . V III, МНОГООБР. УР-НИЙ В БАНАХОВОМ ПРОСТРАНСТВЕ

 

<

2А(е, а,

Щ и {t, p') — и (t, р")|| ^ ||е

5т||dx <

 

 

 

 

 

 

 

 

 

оо

 

 

 

 

<

21 (8, а, 6) II и (t, p') -

и (t, р") IIJ

Ö =

 

 

 

 

 

 

=

^ ^ - \ \ u { t , p ' ) - u { t , p " ) t

(4.22)

или, принимая во внимание (4.12),

 

 

 

If it. P', У) -

f it, P”, У) I! <

U-(efeK’

6) M

J p ' - p" ||. (4.23)

 

Выбрав

ex •< e0,

<; cn0,

Sx ■< б0

достаточно

малыми,

чтобы при е <

elt а

< alt б <

бх выполнялось неравенство

• ^

^8,fea’

-

М2 <

1, получим

 

) \

\IP'< -q

Р" II,

 

где

q <

1.

II fit, Р', У )~ f it, Р", y

(4.24)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Заметим далее, что, так как спектр оператора Л2 распо­

ложен слева от мнимой оси, то, очевидно, найдутся такие

р >

0 и D >

0, что

 

 

 

|е Л«<| <£><?“ *

(4.25)

для

всех t >

0.

Функции /°, s°

Рассмотрим уравнения (4.19), (4,20).

непрерывны и удовлетворяют оценкам типа (4.21) при всех

t >

0. Для Д имеем

 

 

 

 

t

 

 

 

 

Д =

^ (ЛД° + e^ST [Х3 (т, и + es7°, s°, е) — Х3 (т, и, 0, е)]>, dx,

 

 

 

 

 

(4.26)

откуда,

учитывая

известные

соотношения

||e~ST|| = 1,

Д s= 0, Х„ (f, X, г/, е)

£ Lip (х, у,

А (е, а, б)}, получаем

 

t

 

 

 

 

IIД К j ll*i(L и, s°, e)—Xl (L U, 0, e)||dT<

 

 

oo

t

 

 

 

 

 

 

t

 

 

<

A(e, a, 6) J IIs°II dx < A (e, a, 6) j D ||#||e~

<

< D

II p Иe " * < 4-11У II e^ ‘ (4-27)

 

 

§ 4. ИССЛЕДОВАНИЕ УСТОЙЧИВОСТИ РЕШЕНИЙ

429

при

 

 

D

X (г, а, 6)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(.1

 

 

 

 

Для

s1 имеем следующее выражение:

 

 

 

 

 

I

 

 

 

 

 

 

 

 

 

s1 =

еА^у + j

еА‘- <*“х>[Х4 (т, и -j- eSxf°, s°, е) —

 

 

 

 

о

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

—Х4(т, и -f eSxf°, 0, е) -f Х4(т, и -f eSxf°, 0,

е)] dx,

откуда,

принимая

во

внимание,

что

pSx и _

1,

О,

еА‘‘\K D e - » ,

Х 4{t, X,

0, е) = 0,

 

Х4Ц ,х ,у,е )£

 

 

 

 

 

 

 

 

€ Lip {х, у;

К (г, а, б)},

получаем

 

 

 

 

 

 

 

 

 

\s 4 < D W e - * '+

е -Ц(t-X) X (е, а,

б) [I s°Idx <

 

 

 

 

 

 

S

 

 

 

 

 

 

 

< D \y \ е

+

j «Г* (/- т) X(е, а

, б) \у \ De ^ d x <

 

 

 

 

 

О

 

 

 

 

 

 

 

< D II у II в -* + XDII у II е - » \ = D ! у ||(1 + X) е * <

 

 

 

<

ö i II0 II

где

Dx = D (1 -f- X).

(4.28)

Далее, имеем

 

 

 

 

 

 

 

 

t

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

/ 2 = ]

{Л//1 + e~ Sx [X, (т,

и + eST/ \

s1, 8) — Х3(т,

и, S1, 8) +

М

 

 

 

 

+

Х3(т, и, s \ 8) — Хз (т,

И, 0, 8)]} dx,

 

 

 

 

 

откуда

(при у

а )

 

 

 

 

 

 

 

< \ i y m + 4 f 4 + 4 ^ ä x ^

 

 

 

 

 

<

2Х-

 

е

 

+ Щ|г/||(1 -|-Я,)«-,ІХ]Л г<

 

 

<

( - J - +

 

 

 

 

 

nt

1

 

(4.29)

 

 

 

 

D jll^lв"1*4

e - ßt

Смотрите также файлы