Файл: Митропольский Ю.А. Интегральные многообразия в нелинейной механике.pdf

Скачать файл
Заказать решение

ВУЗ: Не указан

Категория: Не указан

Дисциплина: Не указана

Добавлен: 10.04.2024

Просмотров: 206

Скачиваний: 1

ВНИМАНИЕ! Если данный файл нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам.

430 ГЛ. VIII. МНОГООБР. УР-НИЙ В БАНАХОВОМ ПРОСТРАНСТВЕ

при

Для s2 имеем

I

s2 = еА‘*у + [ еАг {t~x) [Х4(т, и + eSx/ \ s1, е) —

о

— * 4 (т, и + eSxf \ 0, е) + Х4(х, и + eSxf \ 0, е)] dx,

откуда

t

I)s2 || < D |] у Ие-* + i' De~» ('“ т) Щ ||у || e ^ d x <

о

< D|| г/lie-* + DXDJyWe-* < DzWyle-*, (4.30)

где D2 = D (1 + KDJ = D {1 + MD (1 + X)]}.

Полагая далее, что при некотором целом неотрицатель­ ном k для функций f , sk справедливы оценки типа (4.27) —

(4.30), установим их справедливость для fk+l, sk+l. Имеем

(

f+ l = ] {Nfk + e“ ST [X3(x, u + e ^ f , st, e)—X3(x, u, 0, e)]}dr =

CO

t

= \ iNf + è~Sx [*3(T>u + eSxf , 8) —

—Xs(T , U, sk, e) -f- X3(X, u, sk, 8) — X 3(x, u, 0, s)]} dx,

откуда получаем (при у <<£ Я)

1

 

^- II shII) dx С

(YII/* II + ^ II/к«+

o o

 

 

 

t

 

<

\ j 2Я - L 1! УI! ^

x + Щ !! Уli < ?H dx <

 

o o

 

< - £ -

+ ~ О

к \ \ у \ е - ^ = А (1 + D k) V

х Ы е - * < с ± -Ы е ~ » (4.31)

§ 4. ИССЛЕДОВАНИЕ УСТОЙЧИВОСТИ РЕШЕНИЙ

431

при

 

 

 

 

ДР (1 + Dk)

~2~’

^ И"

 

Далее можем написать следующее выражение:

 

t

 

 

 

 

sft+‘ = ел,-1у + ^ еА*ѵ—'г) [Х4 (т, и + е^х[к, sk, е) —

 

6

 

 

 

 

— Х4(т, и +

eSxf ,

0, е) +

Х4(т, и + еіт/ \

О, е)] dx,

откуда, мажорируя правую часть, находим

 

І

 

 

 

II sft+11! < D Iу Ie -* + j

De~* «~x) X«s*| dx <

 

б

 

 

 

 

 

*

 

 

 

< Д |Ы е -* +

] De-* {t- %) XDk j|у | е~*Чт <

 

 

О

 

 

 

< Щ У Іе~ * + D ■X ■Dk Iуіе-*1= D (1 + XDk)| у ||е~*.

(4.32) Из полученных оценок вытекает равномерная сходимость

интегралов в (4.19), Д4.20) при

0 и достаточно

малом

значении | г/1. Отсюда следует,

что функции f (t,

р, у),

sk (I, РуУ) определены и непрерывны при достаточно малом значении [|t/|j.

Установим теперь равномерную сходимость последова­

тельностей fk (і, р, у), sk (t, р, у) (k = 0, 1, 2, ...) при £>■ О и достаточно малом |]г/||.

Из выражений

/° == 0, s° = еА*1у,

t

Р = j {Np + e~Sx [Х3 (т, и + eSxf \ s°, s) — Х3(т, и, 0, е)]}dx,

со

t

 

s1 _ e A t t y _ j_ j e A 2

(т, U -f- eSxf°, s°, e) dx

о

 

432 ГЛ. V III. МНОГООБР. УР-НИЙ В БАНАХОВОМ ПРОСТРАНСТВЕ

имеем, учитывая, что /° г= 0,

=

1, Х3 (t, х, у,

е) £

€ Lip {х,у; X (е, а, б)},

 

 

 

 

I I / 1 — H < J ^ | | S ° | d T <

 

 

 

 

 

оо

 

 

 

 

 

 

t

 

 

 

 

 

 

 

< J A, . D ■IIу IIe~ßTdx <

IIу IIе~ці < -у-ЛУIе~** (4-33)

оо

 

 

 

 

 

 

 

ЯО

^

1

 

 

 

 

 

при —jj—С — , а также

 

 

 

 

 

і

еАг(<-х) jX4(т, и +

 

 

 

 

^

eST/°, s°, е) -f-

 

 

о

 

 

 

t

 

 

 

 

 

 

 

<<-х) XIIs° IIdx <

+ ^4 (т, « + е5т/°, О, е)] dt < I"

 

 

 

 

 

6

 

 

 

t

 

 

 

 

 

 

< D f <Г* ^

Я • D • fl у I <ГЙТ dx <

Iу II в"*,

(4.34)

 

О

 

 

 

 

 

 

где X, = DA.

 

 

 

 

 

 

Далее

имеем:

 

 

 

 

 

/

 

 

 

 

 

 

f - M

 

+

 

+

 

« ,0,8)1 -

оо

 

 

 

 

 

 

 

— Х/° — е " 6х [Х8 (т, и +

«s7°, s°, е) — Х3 (т, «, 0, е)]} dx =

 

/

 

 

« Г * [Xg (T, u +

es-f\ s \ 8) -

 

= j

(X (Д -

/«) +

 

OQ

 

 

 

 

 

 

— X3 (x, U + eSx f°, s\ e) +

X3 (т, U + eSxf°, s\ e) —

— Хд(т, «, 0, e) — Х д ( т ,

и + eSTf°, s°, e) — X3(x, u, 0, e)]} dx,

откуда следует

 

 

 

 

 

 

t

 

 

 

 

 

 

i /2- Z1fl <

J(YIIZ1-

/° II+ Я.IIZ1-

/° II+ aAs1- S» II) dx <

 

CO

 

 

 

 

 

 

t

< Э Д 2Я -^Ш е-'и + Я . 0 . Я 1|у||в -'« dx <

§ 4. ИССЛЕДОВАНИЕ УСТОЙЧИВОСТИ РЕШЕНИЙ

433

 

 

г

 

 

+

- Vг

D ■к • № ||«г* <

 

 

 

 

< - ^ ( 1 + DK1)\\y\\e^t <

-L\\y\\e~tlt

(4.35)

при — (1 +

DKX) С

z

,

Я4 == DK.

 

 

 

fX

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Принимая во внимание выражения для s2, s1, можем на­

писать

t

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

s2 — s1 =

f

(/_х) [Х4(т, и 4- eSxfl, s1, е) —

 

 

о

 

 

 

 

t

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

— Х4(т, и + еЬт/°, s ° ,

е)] dx = §еА*((~х) (Х4(т,

sx,e) —

 

 

 

 

 

 

о

 

 

 

 

— Х 4 (т, и + eSxf°, s1, е) +

Х 4( т , и -f eSxf°, sl, е) —

 

 

 

 

 

 

 

— Х 4(х, и + es%f°, s°, е)} dr,

откуда получаем неравенство

 

 

 

 

 

 

t

 

 

 

 

 

 

 

 

I s2 - s11<

J D e-* {‘- с) [К(fl Z1 -

Н +

1 si -

s» |)J dr <

 

 

О

 

 

 

 

 

 

 

 

 

t

 

 

 

 

 

 

 

 

 

<

J

 

(' - т) Я

 

-т\\у\\е-

Ц Т

О К У У— Ц Т dr <

 

о

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

< т

а№№ -ц<,

(4.36)

где Я2 =

Я (1 +

ПЯ^.

 

 

 

 

 

 

Полагая, что неравенства типа (4.33)—(4.36) выполня­

ются для некоторого целого k,

установим их справедливость

для k -f 1.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Имеем

 

 

 

 

 

 

 

 

 

f +> _ f

=

J

+

 

e- Sx [Х8(т, и + esY , s*. 8) -

 

 

 

-f-cc

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

t

 

 

 

 

— X3(r, u, 0, e)]} d x ~

]

{Nfk~~^ -f- e~s%(X3(т, и -f-

 

 

 

 

 

 

-J-OO

 

J {N { f - /*“ ') +

+ е * у - \

sk-\ e) -

X3(T,

u, 0, e)]} dr =

Смотрите также файлы