Файл: Митропольский Ю.А. Интегральные многообразия в нелинейной механике.pdf
ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 10.04.2024
Просмотров: 202
Скачиваний: 1
434 ГЛ. V III. МНОГООБР. УР-НИЙ В БАНАХОВОМ ПРОСТРАНСТВЕ
+ e~Sx [Xs(T, U + eSxfk, s \ e) — X3 (т, |
U + eSxf ~ \ sk, e) + |
|||||||||
+ X3(r, и + eSxfk~ \ sk, e) — X3 |
(r, u, 0, e) — ^ |
|
||||||||
|
— X3(r, и -j- eSxfk~ \ sk~ \ |
e) + X 3(r, и, 0, e)]} dr, |
||||||||
откуда находим |
|
|
|
|
|
|
|
|||
i/fc+1-/i< |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
t |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
< j' lyII f |
|
- f~xII+ Я(IIfk- |
fk~lII +«s*- |
II)] är < |
||||||
со |
f |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
C |
[2a, |
IУII е~их + |
Iу Ie~ßT |
dr < |
|
|||||
|
|
< - ^ ( 1 |
+ Щ > ||У ||< Г ^ < х \y\é~ * |
^4.37) |
||||||
при y - ( l + |
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
Далее |
имеем: |
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
t |
|
|
|
|
|
|
|
|
sM-i — $k = |
\ eA2 |
(/“T) [X4(x, U 4- eSxf , |
sk, e) — |
|
|
|||||
|
|
6 |
|
|
|
|
t |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
— X4 (x, U + |
eSxfk~ \ sk~l, e)] dr = |
\ eA*('~T>[Х4(т, U + |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
ö |
|
|
|
+ eSxf , |
sk, e) — Х4 (г, |
и + |
eSxf ~ x, sk, e) + |
X 4(т, U 4 |
- |
|||||
|
|
|
4 - eSxfk~ \ sk, e) — X 4(r, |
и + eSxf ~ l, sft_1, e)J dr, |
||||||
откуда, мажорируя правую часть, получаем |
|
|
||||||||
|
|
|
t |
|
|
|
|
|
|
|
ISA+I _ s* [|< |
|
J De~» {t~x) К(If |
- f - 11+ 1s* - |
I) dr < |
||||||
< .f |
|
,—ß d-г) |
\ly\e-»x + D lk\ly\\e -ЦТ dr < |
|
||||||
De |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
< |
Dkk+i Iу Ie-ßi, |
(4.38) |
||
где Xk+l = |
X (1 4 |
- DXk). |
|
|
|
|
|
|
||
§ 4. ИССЛЕДОВАНИЕ УСТОЙЧИВОСТИ РЕШЕНИЙ |
435 |
Итак, мы установили неравенства
м ч о - г 1т < - т т е ~ ѵ*>
IIS» (t) - s'-« (t) ||.< DKliy \\e ^ ( n = 1 , 2 , . . .),
из которых следует, что последовательности f (/), sk (t) равномерно сходятся при достаточно малом значении | у |.
Положим
lim /* (t, р, у) = f(t, р, у),
lim s* (t, р, у) = s (/, р, у). |
(4 '39^ |
&-+со |
|
Так как последовательности f (t), sk (() сходятся рав номерно, то функции f (t, р, у), s (t, р, у) определены и непрерывны при ( > 0 и достаточно малом значении |]і/|)
( Ы < 8 і) -
Переходя к пределу в оценках (4.21), получаем |
|
\\f(t,P ,y)\\< -±-\\y\\e-ßt, |
(4.40) |
1 |
И * . Р . У ) і < Щ у \ \ е - » ‘ .
Принимая во внимание (4.15), получаем окончательно
ІИ*, р. р)|І< 4 -ІІР Іе ßt’ |
(4.41) |
||
II s(t, Р, у) II < D |
I! у II |
||
|
|||
Следовательно, v (t, р, у) - > |
0, s (t, р, у) -»- 0 при / |
оо. |
|
Из (4.41), в частности, вытекает неравенство |
|
||
И ° . Р. У)II < 4 "І УI' |
(4-42> |
||
Предельный переход при п - > оо в (4.19), (4.20) показы вает, что функции / (t, р, у), s (t, р, у) удовлетворяют си стеме интегральных уравнений (4.17), (4.18).
Дифференцируя систему (4.17), (4.18), получаем, что функции f (t, р, у), s (t, р, у) представляют собой решение дифференциальных уравнений (4.4).
Установим теперь справедливость представления
l(t, х, у) = |
ц(/, |
р) + о(/, р, р), |
(4.43) |
|
И . X, у) = |
g (f, |
Р, у). |
||
|
436 ГЛ. VIII. МНОГООБР. УР-НИЙ В БАНАХОВОМ ПРОСТРАНСТВЕ
Здесь I (О, X, у) — X, s (О, х, у) = у, и (0, р ) = p , g (0, р, у) =
— у. В силу теоремы единственности для выполнения соот ношений (4.43) необходимо и достаточно их выполнение при
/ = |
0: |
|
|
х = р |
+ |
ѵ { 0, р , |
у), |
|
|
|
|
|
|
|
|
(4.44) |
|||||
|
|
|
|
У = У, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
alt I у || < |
|
|
|
|||
при |
этом II/? II < |
ос2, (|х|| < |
6t. |
|
|
|||||
Выражение (4.44) определяет отображение Т, заданное на |
||||||||||
произведении |
Uai X t/p, |
|
(Uai — открытый шар в Вг ра |
|||||||
диуса а2 с центром в точке |
|
| = 0; £/р, — открытый шар в |
||||||||
В2радиуса ßi с центром в точке у = |
0), и действует в произ |
|||||||||
ведение пространств Bl X В2. |
|
во внимание, что |
||||||||
Согласно неравенству (4.24) (принимая |
||||||||||
I/1 = |
I of), |
для |
любых двух |
точек р ', р" |
из шара £/«, вы |
|||||
полняется |
неравенство |
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
II о (0 , |
р ' , у ) — ѵ { 0, |
р " , //) II <1 <7fl р ' |
— р " II, |
(4 .4 5 ) |
|||
где q <z 1 для всех у £ U$t. |
|
|
|
|
|
|||||
Кроме того, |
согласно неравенству (4.42), |
|
||||||||
|
|
|
|
Iо(0, |
0 , / / ) ||< 4 ß 1. |
|
(4.46) |
|||
Следовательно [45], существует такая открытая окрест |
||||||||||
ность U а . , X t/р, точки р |
= |
0, у = |
0 (а3 с |
а 2), что сужение |
||||||
на |
U |
X {/ß, |
отображения |
(4.44) |
является гомеоморфиз |
|||||
мом окрестности Ua3 X (Ур, |
иа некоторую открытую окрес |
|||||||||
тность точки X = 0, у — 0 в пространстве Bt X В2. |
(4.44), |
|||||||||
Отсюда |
вытекает справедливость представления |
|||||||||
а следовательно, и представления (4.43). |
|
|
||||||||
Для функций V (t, р , у), |
g (t, р , у) выполняются соотно |
|||||||||
шения |
V ( t , р , у) -> 0, g |
(t, |
р , у) -у 0 при |
/ -> оо. Поэтому |
||||||
если решение £ = 0 уравнения (4.5) устойчиво, то, как было показано, для решения и (t, р ) , входящего в представление (4.43), выполняется неравенство (4.10), и из (4.43), при нимая во внимание формулу замены (4.3), следует, что ре
шение £ = 0, |
s = 0 уравнений (4.4) устойчиво. |
|||||
Если |
решение |
£ = 0 уравнения (4.5) |
асимптотически |
|||
устойчиво, то |
для |
решения и (t, р ) , кроме |
неравенства |
|||
(4.10), выполняется также |
соотношение и |
(t, |
р ) - у 0 при |
|||
t - у о с . |
Следовательно, из |
представления |
(4.43), учитывая |
|||
соотношения |
и (/, |
р , у) -у |
0, s (t, р , у) ~у 0 |
при t -у оо, |
||
§ 5. УРАВНЕНИЯ В БАНАХОВОМ ПРОСТРАНСТВЕ |
437 |
вытекает, что решение £ =0, s=0 уравнений (4.4) асимпто тически устойчиво.
Пусть нулевое решение £ = 0 уравнения (4.5) не устойчиво. Поскольку это уравнение описывает поток па инвариантном многообразии S(, то, следовательно, состо яние равновесия g = 0, s = 0 на St неустойчиво. Отсюда следует, что нулевое решение £ = 0, s = 0 уравнений (4.4) также неустойчиво.
§ 5. Интегральные многообразия нерегулярно-возмущенных дифференциальных уравнений в банаховом пространстве
1. Основные предположения. Пусть В1 и В2 — банаховы пространства. Рассмотрим следующую систему уравнений:
= X (t, X, у, е),
(5.1)
е -^§- = Ay + Y (t, X, у, е),
где X £ В1, у £ В2, t£ R, А — линейный ограниченный оператор, определенный в В2, X (t, х, у, е), Y (t, х, у, г) —■ вектор-функции со значениями соответственно в В1 и В2, 8 — малый параметр, е £ ЕВо.
Предположим, что выполняются следующие условия. 1°. Спектр а (Л) оператора А разбивается на замкнутые
непересекающиеся части о(Л) = о1 [J |
U ФГ таким обра |
||
зом, что при некотором а > 0 |
|
|
|
I Re А I < |
а, |
А, £ ах, |
|
Re А > |
а, |
А £ о^, |
|
Re А < |
— а, |
А £ а2 . |
|
2°. Вектор-функции X (/, х, у, e), Y (t, х, у, е) определе ны на множестве
В1 X В2 X R X ЕЕо,
сильно непрерывны по / и удовлетворяют неравенствам
|
!*(*, |
X, |
у, |
е) И-С сь |
|
|
IIУ (t, |
X, |
у, |
е) I < р, |
|
flX(t, |
X, у , e) — X(t, |
X, |
у, |
г)< £ (||л ; —х\ + \у — у\), |
|
IIУ (f, |
X, у, е) — Y (t, |
X, |
у, |
е ) К ^ ( ||х — х\ + \ у ~ 0 |), |
|
